OCTALNI SUSTAV: POVIJEST, SUSTAV NUMERIRANJA, PRETVORBE - MATEMATIKA - 2025

Komutacijski sustav je baza osam (8) pozicijski sustav numeriranja; to jest, sastoji se od osam znamenki, a to su: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Stoga svaka znamenka oktalnog broja može imati bilo koju vrijednost od 0 do 7. Oktalni brojevi nastaju iz binarnih brojeva.

To je zato što je njegova baza tačna snaga dva (2). Odnosno, brojevi koji pripadaju oktalnom sustavu formiraju se kada su grupirani u tri uzastopne znamenke, poredane s desna na lijevo, dobivajući na taj način njihovu decimalnu vrijednost.

Povijest

Octalni sustav ima svoje podrijetlo u davnim vremenima, kada su ljudi rukama koristili brojanje životinja od osam do osam.

Na primjer, za brojanje broja krava u štali, jedna je počela brojati desnom rukom, spajajući palac s malim prstom; Zatim, za brojanje druge životinje, palac se pridružio kažiprstom i tako dalje s preostalim prstima svake ruke, sve dok ne popunite 8.

Postoji mogućnost da se u davnim vremenima oktalni sistem numeriranja koristio prije decimalnih brojeva kako bi se mogao brojiti interdigitalni razmak; to jest, izbrojite sve prste osim palca.

Kasnije je uspostavljen oktalni sustav brojanja, koji je nastao iz binarnog sustava, jer treba mnogo znamenki da predstavlja samo jedan broj; od tada su stvoreni oktalni i šesterokutni sustavi koji ne zahtijevaju toliko brojki i lako se mogu pretvoriti u binarni sustav.

Octalni brojevni sustav

Octalni sustav sastoji se od osam znamenki koje idu od 0 do 7. One imaju istu vrijednost kao u slučaju decimalnog sustava, ali njihova se relativna vrijednost mijenja ovisno o položaju koji zauzimaju. Vrijednost svakog položaja daje se ovlastima baze 8.

Položaji znamenki u oktalnom broju imaju sljedeću težinu:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, oktalna točka, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

Najveća oktalna znamenka je 7; na taj način, pri brojanju u ovom sustavu, položaj znamenke se povećava od 0 do 7. Kada se dosegne 7, on se reciklira na 0 za sljedeće brojanje; na taj se način povećava sljedeća znamenka. Na primjer, za brojanje nizova, u oktalnom sustavu to će biti:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Postoji temeljna teorema koja se primjenjuje na oktalni sustav, a izražava se na sljedeći način:

Di u ovom izrazu predstavlja cifru pomnoženu s snagom baze 8, koja označava vrijednost mjesta svake znamenke, na isti način kao što je naređeno u decimalnom sustavu.

Na primjer, imate broj 543.2. Da bi ga doveo do oktalnog sustava, rastavlja se na sljedeći način:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Dakle, imamo 543,2 _q = 354,25 _d. Potpis q označava da je to oktalni broj koji se također može predstaviti brojem 8; a pretplata d odnosi se na decimalni broj koji se također može predstaviti brojem 10.

Pretvaranje iz oktalnog u decimalni sustav

Da biste broj iz oktalnog sustava pretvorili u njegov ekvivalent u decimalnom sustavu, jednostavno pomnožite svaku oktalnu znamenku s njegovom vrijednošću, počevši s desne strane.

Primjer 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Primjer 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Pretvaranje iz decimalnog u oktalni sustav

Decimalni cijeli broj može se pretvoriti u oktalni broj korištenjem metode ponavljanja dijeljenja, gdje je decimalni cijeli broj podijeljen sa 8 sve dok kvocijent ne bude jednak 0, a ostatak svake podjele predstavlja oktalni broj.

Ostaci su poredani od posljednjeg do prvog; to jest, prvi ostatak bit će najmanje značajna znamenka oktalnog broja. Na taj način najznačajnija znamenka bit će posljednji ostatak.

Primjer

Decimalni broj oktalni 266 ₁₀

- Podijelite decimalni broj 266 s 8 = 266/8 = 33 + ostatak od 2.

- Zatim podijelite 33 sa 8 = 33/8 = 4 + ostatak od 1.

- Podijelite 4 sa 8 = 4/8 = 0 + ostatak od 4.

Kao i kod posljednje podjele, kvocijent manji od 1, znači da je rezultat pronađen; Ostatak morate naručiti samo obrnuto, na način da oktalni broj decimalnih 266 iznosi 412, kao što je vidljivo na sljedećoj slici:

Konverzija iz oktalnog u binarni sustav

Pretvaranje iz oktalnog u binarno stanje vrši se pretvaranjem oktalne znamenke u ekvivalentnu binarnu znamenku, koja se sastoji od tri znamenke. Postoji tablica koja prikazuje kako se pretvara osam mogućih znamenki:

Iz tih pretvorbi, bilo koji broj iz oktalnog sustava u binarni sustav može se mijenjati, na primjer, za pretvaranje broja 572 _8, u tablici tražimo njegove ekvivalente. Dakle, morate:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Stoga je 572 ₈ u binarnom sustavu ekvivalentno 10111110.

Pretvaranje iz binarnog u oktalni

Proces pretvaranja binarnih celih brojeva u oktalne cijele brojeve obrnut je od prethodnog postupka.

Odnosno, bitovi binarnog broja grupirani su u dvije skupine od tri bita, počevši s desna na lijevo. Zatim se pretvaranje iz binarnog u oktalni način vrši pomoću gornje tablice.

U nekim slučajevima binarni broj neće imati skupine od 3 bita; da biste ga dovršili, dodaje se jedna ili dvije nule s lijeve strane prve grupe.

Na primjer, za promjenu binarnog broja 11010110 u oktalni učinite sljedeće:

- Grupe od 3 bita formiraju se počevši od desnog (zadnjeg bita):

11010110

- Budući da je prva skupina nepotpuna, dodaje se vodeća nula:

011010110

- Pretvorba se vrši iz tablice:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Tako je binarni broj 011010110 jednak 326 ₈.

Pretvaranje iz oktalnog u heksadecimalni i obrnuto

Za promjenu oktalnog broja u heksadecimalni ili heksadecimalni u oktalni broj potrebno je prvo pretvoriti u binarni, a potom u željeni sustav.

Za to postoji tablica u kojoj je svaka šesterokutna znamenka predstavljena s njezinim ekvivalentom u binarnom sustavu, sastavljenom od četiri znamenke.

U nekim slučajevima binarni broj neće imati skupine od 4 bita; da biste ga dovršili, dodaje se jedna ili dvije nule s lijeve strane prve grupe

Primjer

Pretvorite oktalni broj 1646 u heksadecimalni broj:

- Pretvorite broj iz oktalnog u binarni

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Dakle, 1646. ₈ = 1110100110.

- Da biste pretvorili iz binarnog u heksadecimalni oblik, prvo ih se naređuje u grupi od 4 bita, počevši s desna na lijevo:

11 1010 0110

- Prva grupa je završena nulama tako da može imati 4 bita:

0011 1010 0110

- Pretvara se iz binarnog u heksadecimalni. Protuvrijednosti se zamjenjuju pomoću tablice:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Dakle, oktalni broj 1646 jednak je 3A6 u heksadecimalnom sustavu.

Reference

1. Bressan, AE (1995). Uvod u brojevne sustave. Argentinsko sveučilište tvrtke.
2. Harris, JN (1957). Uvod u binarne i oktalne brojevne sustave: Lexington, Mass.
3. Kumar, AA (2016). Osnove digitalnih krugova. Učenje Pvt-a.
4. Peris, XC (2009). Jedinstveni operativni sustavi.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitalni sustavi: načela i primjene. Pearson Education.