ASOCIJATIVNO SVOJSTVO: ZBRAJANJE, MNOŽENJE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Asocijativnost od toga predstavlja asocijativnu karakter dodatnog rada u raznim matematičkim setovima. U njemu su povezana tri (ili više) elemenata navedenih skupova, zvanih a, b i c, tako da je uvijek istina:

a + (b + c) = (a + b) + c

Na taj se način jamči da je rezultat, bez obzira na način grupiranja za izvođenje operacije, isti.

Slika 1. Prilikom izvođenja aritmetičkih i algebričnih operacija mnogo puta koristimo asocijativno svojstvo zbrajanja. (Crtež: freepik Sastav: F. Zapata)

Ali treba napomenuti da asocijativno svojstvo nije sinonim za komutacijsko svojstvo. Odnosno, znamo da redoslijed dodataka ne mijenja zbroj ili da redoslijed faktora ne mijenja proizvod. Dakle, za zbroj se može napisati ovako: a + b = b + a.

Međutim, u asocijativnom svojstvu je drukčije, budući da se redoslijed elemenata koji se dodaju održava i što se mijenja je operacija koja se prvo izvršava. Što znači da dodavanje prvog (b + c) i dodavanje a ovom rezultatu nije važno nego započinjanje dodavanjem a s prema dodavanju rezultata c.

Mnoge su važne operacije poput dodavanja asocijativne, ali nisu sve. Na primjer, pri oduzimanju stvarnih brojeva događa se da:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ako je a = 2, b = 3, c = 1, tada je:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Asocijativno svojstvo množenja

Kao što je učinjeno za dodavanje, asocijativno svojstvo množenja kaže da:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

U slučaju skupa stvarnih brojeva, lako je provjeriti da je to uvijek tako. Na primjer, koristeći vrijednosti a = 2, b = 3, c = 1, imamo:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Stvarni brojevi ispunjavaju asocijativno svojstvo i sabiranja i množenja. S druge strane, u drugom skupu, primjerice onom vektora, zbroj je asocijativan, ali umreženi proizvod ili vektorski proizvod nisu.

Primjene asocijativnog svojstva množenja

Prednost operacija u kojima je asocijativno svojstvo ispunjeno je mogućnost grupiranja na najprikladniji način. To znatno olakšava razlučivost.

Na primjer, pretpostavimo da u maloj knjižnici postoje 3 police s po 5 polica. Na svakoj polici nalazi se 8 knjiga. Koliko je knjiga uopće?

Radnju možemo izvesti ovako: ukupno knjiga = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 knjiga.

Ili ovako: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 knjiga.

Slika 2. Jedna primjena asocijativnog svojstva množenja je izračunavanje broja knjiga na svakoj polici. Slika stvorio F. Zapata.

Primjeri

-U skupovima prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, stvarnih i složenih brojeva ispunjeno je asocijativno svojstvo sabiranja i množenja.

Slika 3. Za stvarne brojeve ispunjeno je asocijativno svojstvo zbrajanja. Izvor: Wikimedia Commons.

-Za polinomi se također primjenjuju u ovim operacijama.

-U slučajevima operacija oduzimanja, dijeljenja i eksponencijacije, asocijativno svojstvo ne vrijedi za stvarne brojeve ili polinom.

-U slučaju matrica, asocijativno svojstvo je ispunjeno za zbrajanje i množenje, mada u potonjem slučaju komutativnost nije ispunjena. To znači da je, s obzirom na matrice A, B i C, točno da:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ali… A x B ≠ B x A

Asocijativno svojstvo u vektorima

Vektori tvore različite skupove od stvarnih brojeva ili složenih brojeva. Operacije definirane za skup vektora nešto su različite: postoje zbrajanje, oduzimanje i tri vrste proizvoda.

Zbir vektora ispunjava asocijativno svojstvo, kao što to čine brojevi, polinomi i matrice. Što se tiče skalarnih proizvoda, skalarnih vektora i križa koji se izrađuju između vektora, ovaj ih ne ispunjava, ali skalarni proizvod, koji je druga vrsta operacije između vektora, ispunjava ga, uzimajući u obzir sljedeće:

- Proizvod skalara i vektora rezultira vektorom.

-A kada skalarno množenje dva vektora, nastaje skalarna razlika.

Stoga je, s obzirom na vektore v, u i w, a uz to i skalarni λ, moguće napisati:

- Zbir vektora: v + (u + w) = (v + u) + w

-Skalarni proizvod: λ (v • u) = (λ v) • u

Potonje je moguće zahvaljujući činjenici da je v • u skalar, a λ v vektor.

Međutim:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Faktorizacija polinoma grupiranjem termina

Ova je aplikacija vrlo zanimljiva, jer kao što je već rečeno, asocijativno svojstvo pomaže u rješavanju određenih problema. Zbroj monomija asocijativan je i to se može koristiti za faktoring kada se očigledan zajednički faktor ne pojavi na prvi pogled.

Na primjer, pretpostavimo da se od vas traži da uključite faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Ovaj polinom nema zajednički faktor, ali pogledajmo što se događa ako je grupiran ovako:

Prvi zagrade imaju zajednički faktor sjekire ²:

U drugom je zajednički faktor 3:

vježbe

- Vježba 1

Školska zgrada ima 4 kata i svaka ima 12 učionica sa 30 stolova unutra. Koliko radnih stolova ima škola?

Riješenje

Ovaj se problem rješava primjenom asocijativnog svojstva množenja, da vidimo:

Ukupni broj stolova = 4 kata x 12 učionica / kat x 30 stolova / učionica = (4 x 12) x 30 stolova = 48 x 30 = 1440 stolova.

Ili ako želite: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 stolova

- Vježba 2

S obzirom na polinom:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8 x ² + 3x -7

Primijenite pridruživanje asocijativnog svojstva kako biste pronašli A (x) + B (x) + C (x).

Riješenje

Možete grupirati prva dva i dodati treću u rezultat:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Odmah se dodaje polinom C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Čitatelj može potvrditi da je rezultat identičan ako se rješava opcijom A (x) +.

Reference

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
2. Math je zabavan, zakoni o komutaciji, udruživanju i distribuciji. Oporavilo od: mathisfun.com.
3. Skladište matematike. Definicija asocijativnog vlasništva. Oporavak od: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Pridruženo i komutativno svojstvo zbrajanja i množenja (s primjerima). Oporavilo od: sciaching.com.
5. Wikipedia. Pridruženo vlasništvo. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.