SUKCESIVNI DERIVATI ​​(S VJEŽBAMA RIJEŠENIM) - MATEMATIKA - 2025

A uzastopna derivati su one koje potječu od jedne funkcije nakon drugog derivata. Proces izračunavanja sukcesivnih derivata je sljedeći: imamo funkciju f, koju možemo izvesti i na taj način dobiti izvedenu funkciju f '. Ovu izvedenicu f možemo izvesti opet, dobivajući (f ')'.

Ova se nova funkcija naziva drugi derivat; svi su derivati ​​izračunati iz drugog uzastopno; Oni, također nazvani višim redom, imaju velike primjene, poput davanja podataka o crtežu grafikona neke funkcije, ispitivanja drugog derivata za relativne krajnosti i određivanja beskonačnog niza.

Definicija

Koristeći Leibnizovu notu, imamo da je derivat funkcije "y" u odnosu na "x" dy / dx. Da bismo drugu izvedenu riječ "y" izrazili pomoću Leibnizove notacije, pišemo kako slijedi:

Općenito, možemo izraziti sukcesivne derivate na sljedeći način s Leibnizovom notacijom, gdje n predstavlja redoslijed derivata.

Ostale upotrijebljene oznake su sljedeće:

Neki primjeri u kojima možemo vidjeti različite oznake su:

Primjer 1

Dobivaju sve izvedenice funkcije f definirane s:

Korištenjem uobičajenih tehnika izvedbe, imamo da je izvedenica f sljedeća:

Ponavljanjem postupka možemo dobiti drugi derivat, treći derivat i tako dalje.

Imajte na umu da je četvrti derivat jednak nuli, a derivat nula jednak nuli, tako da imamo:

Primjer 2

Izračunajte četvrtu izvedenicu sljedeće funkcije:

Izvođenje određene funkcije kao rezultat:

Brzina i ubrzanje

Jedna od motivacija koja je dovela do otkrića derivata bila je potraga za definicijom trenutne brzine. Formalna definicija je sljedeća:

Neka je y = f (t) funkcija čiji graf opisuje putanju čestice u trenutku t, tada je njena brzina u vremenu t dana:

Jednom kada dobijemo brzinu čestice, možemo izračunati trenutačno ubrzanje, koje je definirano na sljedeći način:

Trenutno ubrzanje čestice čiji je put dan y = f (t) iznosi:

Primjer 1

Čestica se kreće duž crte prema funkciji položaja:

Gdje se "y" mjeri u metrima, a "t" u sekundama.

- U kojem trenutku je njegova brzina 0?

- U kojem trenutku je njegovo ubrzanje 0?

Kod izvedbe pozicijske funkcije «i» imamo da su njena brzina i ubrzanje dati:

Da biste odgovorili na prvo pitanje, dovoljno je odrediti kada funkcija v postaje nula; ovo je:

Analogno nastavljamo sa sljedećim pitanjem:

Primjer 2

Čestica se kreće duž crte prema sljedećoj jednadžbi gibanja:

Odredite "t, y" i "v" kada je a = 0.

Znajući da su brzina i ubrzanje dati od

Nastavljamo dobivanjem i dobivanjem:

Ako napravimo a = 0, imamo:

Odakle možemo zaključiti da je vrijednost t za a jednaka nuli t = 1.

Zatim, ocjenjujući funkciju položaja i funkciju brzine na t = 1, imamo:

Prijave

Eksplicitna izvedenica

Sukcesivni derivati ​​mogu se dobiti i implicitnom izvedbom.

Primjer

S obzirom na sljedeću elipsu pronađite "y":

Implicitno se odnosi na x, imamo:

Tada nam se podrazumijeva ponovna izvedba s obzirom na x:

Napokon imamo:

Relativne krajnosti

Druga namjena koju možemo dati derivatima drugog reda je u izračunavanju relativnih krajnosti funkcije.

Kriterij prve izvedenice za lokalne krajnosti govori nam da ako imamo kontinuiranu funkciju f na intervalu (a, b) i da c navedenom intervalu pripada c, da f 'nestaje u c (to jest, c je kritična točka), može se dogoditi jedan od tri slučaja:

- Ako je f (x)> 0 za bilo koji x koji pripada (a, c) i f´ (x) <0 za x koji pripada (c, b), tada je f (c) lokalni maksimum.

- Ako je f´ (x) <0 za bilo koji x koji pripada (a, c) i f´ (x)> 0 za x koji pripada (c, b), tada je f (c) lokalni minimum.

- Ako f´ (x) ima isti znak (a, c) i u (c, b), to implicira da f (c) nije lokalni ekstrem.

Korištenjem kriterija drugog derivata možemo znati je li kritični broj funkcije lokalni maksimum ili minimum, a da ne moramo vidjeti koji je znak funkcije u spomenutim intervalima.

Drugi kriterij pomicanja govori nam da ako je f´ (c) = 0 i da je f´´ (x) neprekidan u (a, b), dogodi se da ako je f´´ (c)> 0, onda f (c) je lokalni minimum, a ako je f´ (c) <0, tada je f (c) lokalni maksimum.

Ako je f´´ (c) = 0, ne možemo ništa zaključiti.

Primjer

S obzirom na funkciju f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², pronađite relativne maksimume i minimume f koristeći kriterij druge izvedenice.

Prvo izračunavamo f´ (x) i f´´ (x) i imamo:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Sada, f´ (x) = 0 ako, i samo ako je 4x (x + 2) (x - 1) = 0, i to se događa kada je x = 0, x = 1 ili x = - 2.

Da biste utvrdili da li su dobiveni kritični brojevi relativni krajnosti, dovoljno je procijeniti na ´ i na taj način promatrati njen znak.

f´´ (0) = - 8, pa je f (0) lokalni maksimum.

f´´ (1) = 12, pa je f (1) lokalni minimum.

f´´ (- 2) = 24, pa je f (- 2) lokalni minimum.

Taylor serija

Neka je f funkcija definirana na sljedeći način:

Ova funkcija ima radijus konvergencije R> 0 i ima derivate svih reda u (-R, R). Sukcesivni derivati ​​f daju nam:

Uzimajući x = 0, možemo dobiti vrijednosti c _n kao funkciju njihovih derivata kako slijedi:

Ako uzmemo an = 0 kao funkciju f (to jest, f ^ 0 = f), tada možemo funkciju prepisati na sljedeći način:

Sad razmotrimo funkciju kao niz moći pri x = a:

Ako izvršimo analizu analognu prethodnoj, imali bismo mogućnost da funkciju f napišemo kao:

Te su serije poznate kao Taylor-ove serije od f do a. Kad je a = 0, imamo određeni slučaj koji se zove Maclaurinov niz. Ova vrsta serija ima veliku matematičku važnost, posebno u numeričkoj analizi, jer zahvaljujući njima možemo definirati funkcije u računalima kao što su e ^x, sin (x) i cos (x).

Primjer

Dobivanje Maclaurinove serije za e ^x.

Imajte na umu da ako je f (x) = e ^x, tada je f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x i f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, pa je njegov Maclaurinov niz sljedeći:

Reference

1. Frank Ayres, J., i Mendelson, E. (drugo). Proračun 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Proračun s analitičkom geometrijom. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Proračun. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencijalno računanje. Hipotenuza.
5. Saenz, J. (drugi). Integralno računanje. Hipotenuza.