SERIJA SNAGE: PRIMJERI I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Serija snaga sastoji se od zbrajanja pojmova u obliku moći varijable x, ili općenito, xc, gdje je c konstantni realni broj. U zbroju notacija izražava se niz ovlasti kako slijedi:

Tamo gdje su koeficijenti a _o, a, ₁, ₂ … stvarni brojevi i niz započinje s n = 0.

Slika 1. Definicija niza snaga. Izvor: F. Zapata.

Ova serija je usmjerena na vrijednost c koja je konstantna, ali možete odabrati da je c jednak 0, u kojem slučaju je serija snage pojednostavljena na:

Niz započinje s _ili (xc) ⁰ i a _ili x ⁰. Ali to znamo:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Stoga je _o (xc) ⁰ = a _ili x ⁰ = a _o (neovisan pojam)

Dobra stvar kod moćnih serija je ta što se funkcije mogu izraziti s njima i to ima brojne prednosti, posebno ako želite raditi sa kompliciranom funkcijom.

U tom slučaju, umjesto da izravno upotrebljavate funkciju, upotrijebite njezino širenje niza snaga koje može biti lakše numerirati, integrirati ili raditi.

Naravno, sve je uvjetovano konvergencijom niza. Niz konvergira kad dodavanjem određenog velikog broja pojmova daje fiksnu vrijednost. Ako dodamo još pojmova, nastavit ćemo dobivati ​​tu vrijednost.

Funkcionira kao Power Series

Kao primjer funkcije izražene kao niz snaga, uzmimo f (x) = e ^x.

Ova se funkcija može izraziti nizom ovlasti kako slijedi:

i ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ / za 3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) +…

Gdje! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… a treba 0! = 1.

Pomoću kalkulatora provjerit ćemo se da li se serija podudara s izričito određenom funkcijom. Na primjer, započnimo s pravljenjem x = 0.

Znamo da je e ⁰ = 1. Pogledajmo što radi serija:

i ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ / za 3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + = 1…

A sada pokušajmo x = 1. Kalkulator vraća taj e ¹ = 2.71828, a zatim usporedimo sa serijom:

i ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ / za 3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Sa samo 5 izraza već imamo točnu podudarnost u e ≈ 2,71. Naša serija ima još malo vremena, ali kako se dodaje više pojmova, serija se sigurno svodi na točnu vrijednost e. Reprezentacija je točna kad je n → ∞.

Ako se prethodna analiza ponovi za n = 2, dobivaju se vrlo slični rezultati.

Na taj smo način sigurni da eksponencijalna funkcija f (x) = e ^x može biti predstavljena ovim nizom moći:

Slika 2. U ovoj animaciji možemo vidjeti kako se niz snaga približava eksponencijalnoj funkciji kako se uzima više termina. Izvor: Wikimedia Commons.

Geometrijski niz moći

Funkcija f (x) = e ^x nije jedina funkcija koja podržava predstavljanje niza snaga. Na primjer, funkcija f (x) = 1/1 - x jako sliči dobro poznatom konvergentnom geometrijskom nizu:

Dovoljno je učiniti a = 1 i r = x da bi se dobio niz prikladan za ovu funkciju, koji je centriran u c = 0:

Međutim, poznato je da je ovaj niz konvergentan za │r│ <1, stoga je reprezentacija valjana samo u intervalu (-1,1), iako funkcija vrijedi za sve x, osim x = 1.

Kad ovu funkciju želite definirati u drugom rasponu, jednostavno se usredotočite na prikladnu vrijednost i gotovi ste.

Kako pronaći serijsko širenje ovlasti funkcije

Bilo koja funkcija može se razviti u nizu moći usredotočenim na c, sve dok ima derivate svih naloga u x = c. Postupak koristi sljedeći teorem, nazvan Taylorov teorem:

Neka je f (x) funkcija s izvedenicama reda n, označenim kao f ⁽ⁿ⁾, koja dopušta serijsko širenje snaga na intervalu I. Njegov serijski razvoj Taylora je:

Tako da:

Tamo gdje R _n, koji je peti pojam u nizu, naziva se ostatak:

Kada je c = 0, niz se naziva Maclaurinov niz.

Ovdje navedena serija identična je nizu danim na početku, tek sada imamo način da izričito pronađemo koeficijente svakog pojma, dati pomoću:

Međutim, moramo osigurati da se serija konvergira u funkciju koja će biti predstavljena. Događa se da se svaki Taylorov niz nužno ne svodi na f (x) koji je imao na umu prilikom izračuna koeficijenata na _n.

To se događa zato što se možda derivati ​​funkcije, procjenjeni na x = c, podudaraju s istom vrijednošću derivata drugog, također pri x = c. U ovom bi slučaju koeficijenti bili isti, ali razvoj bi bio dvosmislen jer nije sigurno kojoj funkciji odgovara.

Srećom postoji način da se sazna:

Kriterij konvergencije

Kako bi se izbjegla nejasnoća, ako je R _n → 0 kao n → ∞ za sve x u intervalu I, niz se konvergira u f (x).

vježba

- Vježba riješena 1

Pronađite niz geometrijskih snaga za funkciju f (x) = 1/2 - x u središtu c = 0.

Riješenje

Moramo izraziti zadanu funkciju na način da se ona što bliže podudara s 1/1 x, čiji je niz poznat. Pa da prepišemo brojnik i nazivnik bez mijenjanja izvornog izraza:

1/2 - x = (1/2) /

Budući da je 1/2 konstanta, izvodi se iz zbrajanja, a piše se u obliku nove varijable x / 2:

Imajte na umu da x = 2 ne pripada domeni funkcije, a prema kriteriju konvergencije danom u odjeljku Geometrijska snaga serije, proširenje vrijedi za │x / 2│ <1 ili ekvivalentno -2 <x <2.

- Vježba riješena 2

Pronađite prvih 5 pojmova Maclaurinove serije proširenja funkcije f (x) = sin x.

Riješenje

Korak 1

Prvo su derivati:

-Dodvod reda 0: to je ista funkcija f (x) = sin x

-Prva izvedenica: (sin x) ′ = cos x

-Sekutan derivat: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Treći derivat: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Četvrta izvedenica: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Korak 2

Tada se svaki derivat procjenjuje na x = c, kao što je i Maclaurinova ekspanzija, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

3. korak

Izgrađeni su koeficijenti a _n;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

4. korak

Konačno, serija se sastavlja u skladu s:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0..x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Treba li čitatelju više termina? Koliko još, serija je bliža funkciji.

Imajte na umu da u koeficijentima postoji obrazac, sljedeći je nulta nulta izraz _5, a svi oni s neparnim indeksom također su različiti od 0, izmjenjujući znakove, tako da:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Kao vježba provjerava se konvergira li se, kvocijentni kriterij može se koristiti za konvergenciju niza.

Reference

1. Zaklada CK-12. Serija snage: prikaz funkcija i operacija. Oporavilo sa: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integralni račun. Nacionalno sveučilište Litoral.
3. Larson, R. 2010. Proračun varijable. 9.. Izdanje. McGraw Hill.
4. Matematika Besplatni tekstovi. Serija napajanja. Oporavak s: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Serija napajanja. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.