BOOLOVA ALGEBRA: POVIJEST, TEOREME I POSTULATI, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Logička algebra ili logička algebra je algebarska oznaka se koristi za liječenje binarne varijable. Obuhvaća studije bilo koje varijable koja ima samo 2 moguća ishoda, komplementarna i međusobno isključiva. Na primjer, varijable čija je jedina mogućnost istinita ili lažna, ispravna ili netočna, uključene ili isključene, osnova su proučavanja Boolove algebre.

Boolova algebra osnova je digitalne elektronike zbog čega je danas prilično prisutna. Njime upravlja koncept logičkih vrata, gdje se značajno utječu poznate operacije u tradicionalnoj algebri.

Izvor: pexels.com

Povijest

Booleovu algebru uveo je 1854. godine engleski matematičar George Boole (1815. - 1864.), koji je tada bio učenjak samouk. Njegova zabrinutost nastala je iz postojećeg spora između Augustusa De Morgana i Williama Hamiltona, oko parametara koji definiraju ovaj logički sustav.

George Boole tvrdio je da definicija numeričkih vrijednosti 0 i 1, u području logike, odgovara interpretaciji Ništa i Univerzuma.

Namjera Georgea Boolea bila je, kroz svojstva algebre, definirati izraze prijedloge logike neophodne za bavljenje varijablama binarnog tipa.

1854. u knjizi "Istraživanje zakona mišljenja na kojoj se temelje matematičke teorije logike i vjerojatnosti" objavljeni su najznačajniji odjeljci boolove algebre.

Ovaj znatiželjni naslov kasnije bi bio sažet kao "zakoni misli" ("zakoni misli"). Naslov je postao slavan zahvaljujući neposrednoj pažnji koju je dobila od tadašnje matematičke zajednice.

1948. Claude Shannon primijenio ga je za dizajn bistabilnih električnih sklopnih krugova. Ovo je poslužilo kao uvod u primjenu logičke algebre u čitavoj elektroničko-digitalnoj shemi.

Struktura

Elementarne vrijednosti u ovoj vrsti algebre su 0 i 1, što odgovara FALSE i TRUE. Temeljne operacije u booleovoj algebri su 3:

- I operacija ili konjukcija. Zastupljen razdobljem (.). Sinonim proizvoda.

- ILI rad ili disjunkcija. Prikazana križom (+). Sinonim sume.

- NIJE rad ili negacija. Predstavljen prefiksom NOT (NOT A). Poznat je i kao nadopuna.

Ako su u skupu A2 zakoni unutarnjeg sastava definirani kao produkt i zbroj (. +), Trostruka (A. +) se kaže da je Boolova algebra ako i samo ako navedena trostruka ispunjava uvjet da je rešetka distributivne.

Za definiranje distributivne rešetke, moraju se ispuniti uvjeti raspodjele između datih operacija:

, je distributivni s obzirom na zbroj + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ je distributivan u odnosu na proizvod. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementi koji čine skup A moraju biti binarni, tako da imaju univerzalne ili prazne vrijednosti.

Prijave

Glavni scenarij njegove primjene je digitalna grana gdje služi za strukturiranje krugova koji čine logičke operacije. Umjetnost jednostavnosti kruga u korist optimizacije procesa rezultat je ispravne primjene i prakse Boolove algebre.

Od razrade električnih panela, prenošenja podataka, pa sve do programiranja na različitim jezicima, često možemo pronaći booleovu algebru u svim vrstama digitalnih aplikacija.

Boolove varijable vrlo su česte u strukturi programiranja. Ovisno o korištenom programskom jeziku, u kodu će biti strukturne operacije koje koriste ove varijable. Uvjeti i argumenti svakog jezika omogućuju logičke varijable za definiranje procesa.

postulati

Postoje teoreme koje upravljaju strukturalnim logičkim zakonima Boolove algebre. Na isti način postoje postulati koji znaju moguće rezultate u različitim kombinacijama binarnih varijabli, ovisno o izvršenoj operaciji.

Zbroj (+)

Operater ILI čiji je logički element unija (U) definiran je za binarne varijable na sljedeći način:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Proizvod (.)

Operator AND čiji je logički element sjecište (∩) definiran je za binarne varijable na sljedeći način:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

jedan. 0 = 0

jedan. 1 = 1

Suprotno (NIJE)

Operator NOT čiji je logički element komplement (X) 'definiran je za binarne varijable na sljedeći način:

NIJE 0 = 1

NIJE 1 = 0

Mnogi se postulati razlikuju od svojih kolega u konvencionalnoj algebri. To je zbog domene varijabli. Na primjer, dodavanje univerzumskih elemenata u Booleovoj algebri (1 + 1) ne može dati konvencionalni rezultat 2, jer ne pripada elementima binarnog skupa.

teoremi

Pravilo nula i jedinstva

Definirana je svaka jednostavna operacija koja uključuje element s binarnim varijablama:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

jedan. A = A

Jednake moći ili idempotencija

Operacije između jednakih varijabli definirane su kao:

A + A = A

TO. A = A

dopunjavanje

Svaka operacija između varijable i njezinog komplementa definirana je kao:

A + NE A = 1

TO. NIJE A = 0

Involucija ili dvostruka negacija

Svaka dvostruka negacija smatrat će se prirodnom varijabli.

NOT (NOT A) = A

zamjenski

A + B = B + A; Komutativnost zbroja.

TO. B = B. TO; Komutativnost proizvoda.

asocijacioni

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asocijativnost zbroja.

TO. (B. C) = (A. B). C = A B. C; Asocijativnost proizvoda.

distributivan

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Raspodjela zbroja s obzirom na proizvod.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivnost proizvoda s obzirom na zbroj.

Zakoni apsorpcije

Postoji nekoliko zakona apsorpcije među više referenci, neki od najpoznatijih su:

TO. (A + B) = A

TO. (NIJE A + B) = A. B

NOT A (A + B) = NOT A. B

(A + B). (A + NE B) = A

A + A B = A

A + NE A. B = A + B

NE A + A. B = NE A + B

TO. B + A NIJE B = A

Morganova teorema

Oni su zakoni transformacije, koji obrađuju parove varijabli koje međusobno djeluju između definiranih operacija Boolove algebre (+.).

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT (A + B) = NE NE B

A + B = NE (NIJE A + NE B)

TO. B = NE (NIJE A. NE B)

dvojnost

Svi postulati i teore posjeduju sposobnost dualnosti. To podrazumijeva da se razmjenom varijabli i operacijama dobiveni prijedlog provjerava. Odnosno, pri razmjeni 0 za 1 i AND za ILI ili obrnuto; stvara se izraz koji će također biti potpuno valjan.

Na primjer, ako se uzima postulat

jedan. 0 = 0

I primjenjuje se dualnost

0 + 1 = 1

Dobiva se još jedan savršeno valjan postulat.

Karnaugh karta

Karnaughova karta je dijagram koji se koristi u boolejskoj algebri radi pojednostavljenja logičkih funkcija. Sastoji se od dvodimenzionalnog rasporeda sličnog tablicama istine prijedloge logike. Podaci iz tablica istine mogu se izravno zabilježiti na Karnaughhovoj karti.

Karnaugh-ova karta može smjestiti procese do 6 varijabli. Za funkcije s većim brojem varijabli, za pojednostavljenje postupka preporučuje se uporaba softvera.

Predložio ga je 1953. Maurice Karnaugh, uspostavljeno je kao fiksno sredstvo na polju boolove algebre, jer njegova implementacija sinkronizira ljudski potencijal s potrebom da se pojednostave boolski izrazi, ključni aspekt u fluidnosti digitalnih procesa.

Primjeri

Booleova algebra koristi se za smanjivanje logičkih vrata u krugu, gdje je prioritet dovođenje složenosti ili razine kruga u najmanji mogući izraz. To je zbog kašnjenja u računanju koje pretpostavljaju svaka vrata.

U slijedećem primjeru promatrat ćemo pojednostavljenje logičkog izraza do njegovog minimalnog izraza, koristeći teoreme i postulate Boolove algebre.

NE (AB + A + B). NE (A + B)

NE. NE (A + NE B); Faktoring A s uobičajenim faktorom.

NE. NE (A + NE B); Po teoremu A + 1 = 1.

NE (A + B). NE (A + NE B); po teoremu A. 1 = A

(NE A. NE B).;

Po Morganovoj teoremi NE (A + B) = NE A. NE B

(NE A. NE B). (NIJE A. B); Dvostrukom negacijom teoreme NIJE (NIJE A) = A

NIJE A. NE B. NIJE A. B; Algebarska skupina.

NIJE A. NIJE A. NE B. B; Komutativnost proizvoda A. B = B. DO

NIJE A. NE B. B; Teoremom A. A = A

NIJE A. 0; Teoremom A. NIJE A = 0

0; Teoremom A. 0 = 0

TO. B. C + NE A + A NE B. C

TO. C. (B + NE B) + NE A; Faktoring (A. C) sa zajedničkim faktorom.

TO. C. (1) + NE A; Po teoremu A + NE A = 1

TO. C + NE A; Po pravilu nulte teoreme i jedinstva 1. A = A

NIJE A + C; Morganskim zakonom A + NE A. B = A + B

Za ovo rješenje Morganov zakon mora biti proširen na definiranje:

NE (NIJE A). C + NOT A = NE A + C

Jer NIJE (NE A) = A involucijom.

Pojednostavite logičku funkciju

NIJE A. NE B. NE C + NOT A. NE B. C + NE A. NE C do minimalnog izraza

NIJE A. NE B. (NE C + C) + NE NE C; Faktoring (NE A. NE B) sa zajedničkim faktorom

NIJE A. NE B. (1) + NE NE C; Po teoremu A + NE A = 1

(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); Po pravilu nulte teoreme i jedinstva 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Faktoring NOT A zajedničkim faktorom

NIJE A. NE (B. C); Po Morganovim zakonima NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NE Po Morganovim zakonima NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Bilo koja od 4 podebljane mogućnosti predstavlja moguće rješenje za smanjenje razine kruga

Pojednostavite logičku funkciju do njenog najjednostavnijeg oblika

(A. NE B. C + A. NE B. B. D + NOT A. NOT B). C

(A. NE B. C + A. 0. D + NE A. NE B). C; Teoremom A. NIJE A = 0

(A. NE B. C + 0 + NOT A. NOT B). C; Teoremom A. 0 = 0

(A. NE B. C + NE A. NE B). C; Po teoremu A + 0 = A

TO. NE B. C. C + NE A. NE B. C; Distribucijom proizvoda u odnosu na zbroj

TO. NE B. C + NE A. NE B. C; Teoremom A. A = A

NE B. C (A + NE A) ; Faktoring (NE B. C) sa zajedničkim faktorom

NE B. C (1); Po teoremu A + NE A = 1

NE B. C; Po pravilu nulte teoreme i jedinstva 1. A = A

Reference

1. Booleova algebra i njezine primjene J. Eldon Whitesitt. Izdavačka kuća Continental, 1980.
2. Matematika i inženjerstvo u računalnim znanostima. Christopher J. Van Wyk. Institut za računalne znanosti i tehnologiju. Nacionalni biro za norme. Washington, DC 20234
3. Matematika za informatiku. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Odjel za matematiku i računalnu znanost i AI laboratoriju, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.

4. Elementi apstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Sc. Odjel za matematiku. Sveučilišni fakultet Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.