VEKTORSKA ALGEBRA: OSNOVE, VELIČINE, VEKTORI - MATEMATIKA

Vektor Algebra je grana matematike koja studije sustavi linearnih jednadžbi, vektore, matrice, vektor prostora i linearne transformacije. Povezano je s područjima kao što su inženjering, rješavanje diferencijalnih jednadžbi, funkcionalna analiza, istraživanje operacija, računalna grafika, među ostalim.

Drugo područje koje je linearna algebra usvojila je fizika jer je kroz to bilo moguće razviti proučavanje fizikalnih pojava, opisujući ih uporabom vektora. To je omogućilo bolje razumijevanje svemira.

Osnove

Vektorska algebra potječe iz proučavanja kvateriona (proširenje stvarnih brojeva) 1, i, j i k, kao i iz kartezijanske geometrije koju su promovirali Gibbs i Heaviside, koji su shvatili da će vektori služiti kao instrument za predstavljaju razne fizičke pojave.

Vektorska algebra proučava se kroz tri osnova:

geometrijsko

Vektori su predstavljeni linijama orijentacije, a operacije poput zbrajanja, oduzimanja i množenja stvarnim brojevima definirane su geometrijskim metodama.

analitički

Opis vektora i njihovo djelovanje provodi se brojevima koji se nazivaju komponentama. Ova vrsta opisa rezultat je geometrijskog prikaza jer se koristi koordinatni sustav.

aksiomatski

Izrađuje se opis vektora, bez obzira na koordinatni sustav ili bilo koju vrstu geometrijskog prikaza.

Proučavanje figura u prostoru vrši se kroz njihovo predstavljanje u referentnom sustavu, koji može biti u jednoj ili više dimenzija. Među glavnim sustavima su:

- Jednodimenzionalni sustav, koji je ravna linija gdje jedna točka (O) predstavlja ishodište, a druga točka (P) određuje skalu (dužinu) i njegov smjer:

- Pravokutni koordinatni sustav (dvodimenzionalni), koji se sastoji od dviju okomitih linija nazvanih osi x i osi y, koje prolaze kroz ishodište točke (O); na taj se način ravnina dijeli na četiri regije koje se nazivaju kvadranti. U tom se slučaju točka (P) u ravnini daje udaljenostima koje postoje između osi i P.

- Polarni koordinatni sustav (dvodimenzionalni). U ovom se slučaju sustav sastoji od točke O (podrijetla) koja se naziva pol i zrake s podrijetlom u O koja se naziva polarna os. U tom je slučaju točka P ravnine, s obzirom na pol i polarnu os, dana kutom (Ɵ), koji je formiran razmakom koji postoji između podrijetla i točke P.

- Pravokutni trodimenzionalni sustav, formiran s tri okomite linije (x, y, z) čija je izvornica točka O u prostoru. Formiraju se tri koordinatne ravnine: xy, xz i yz; prostor će biti podijeljen u osam regija zvanih oktani. Referenca točke P u prostoru dana je udaljenostima između ravnina i P.

magnitude

Veličina je fizička veličina koja se može računati ili mjeriti numeričkom vrijednošću, kao u slučaju nekih fizičkih pojava; međutim, mnogo je puta potrebno biti u stanju te pojave opisati drugim faktorima koji nisu brojčani. Zato se veličine razvrstavaju u dvije vrste:

Skalarna veličina

To su one količine koje su definirane i predstavljene numerički; odnosno pomoću modula zajedno s jedinicom mjere. Na primjer:

a) Vrijeme: 5 sekundi.

b) Masa: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) temperatura: 40 ºC.

Veličine

To su one količine koje su definirane i predstavljene modulom zajedno s jedinicom, kao i po osjećaju i smjeru. Na primjer:

a) Brzina: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Ubrzanje: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Sila: 280 N, 120º.

d) Težina: -40 ĵ kg-f.

Vektorske količine grafički su prikazane vektorima.

Što su vektori?

Vektori su grafički prikazi vektorske količine; to jest, oni su linijski segmenti u kojima je njihov krajnji vrh vrh strelice.

Određuje ih modul ili duljina segmenta, njegov smjer koji je naznačen vrhom strelice i njegov smjer prema liniji kojoj pripada. Podrijetlo vektora poznato je i kao točka primjene.

Elementi vektora su kako slijedi:

Modul

To je udaljenost od izvora do kraja vektora, predstavljena stvarnim brojem zajedno s jedinicom. Na primjer:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresa

To je mjera kuta koja postoji između osi x (od pozitivne) i vektora, kao i kardinalne točke (sjever, jug, istok i zapad).

Osjećaj

Daje se strelicom smještenom na kraju vektora, naznačavajući kuda ide.

Klasifikacija vektora

Vektori su uglavnom klasificirani kao:

Fiksni vektor

Ona je čija je točka primjene (podrijetlo) fiksirana; to jest, ostaje povezana s točkom u prostoru, tako da se u njoj ne može kretati.

Besplatni vektor

Može se slobodno kretati u prostoru jer se njegovo podrijetlo kreće do bilo koje točke bez promjene modula, smjera ili smjera.

Klizni vektor

Ona može preneti svoje podrijetlo duž svoje linije djelovanja bez promjene modula, smjera ili smjera.

Svojstva vektora

Među glavnim svojstvima vektora su sljedeća:

Vektorski timovi

Oni su oni slobodni vektori koji imaju isti modul, smjer (ili su paralelni) i imaju osjećaj kao klizni vektor ili fiksni vektor.

Ekvivalentni vektori

Javlja se kada dva vektora imaju isti smjer (ili su paralelni), istog smisla, i uprkos tome što imaju različite module i točke primjene, uzrokuju iste efekte.

Jednakost vektora

Oni imaju isti modul, smjer i smisao, čak i kad su njihove početne točke različite, što omogućava paralelnom vektoru da se sam prevede, a da na to ne utječe.

Nasuprot vektorima

Oni su koji imaju isti modul i smjer, ali njihovo je značenje suprotno.

Jedinica vektora

To je onaj u kojem je modul jednak jedinici (1). To se dobiva dijeljenjem vektora sa njegovim modulom i koristi se za određivanje smjera i osjećaja vektora, bilo u ravnini ili u prostoru, pomoću baznih ili normaliziranih jediničnih vektora, a to su:

Nulti vektor

Ona je čiji je modul jednak 0; to jest da se njegova točka nastanka i kraja podudaraju na istoj točki.

Komponente vektora

Komponente vektora su one vrijednosti projekcija vektora na osi referentnog sustava; Ovisno o raspadanju vektora koji može biti na dvodimenzionalnoj ili trodimenzionalnoj osi, dobit će se dvije, odnosno tri komponente.

Komponente vektora su stvarni brojevi, koji mogu biti pozitivni, negativni ili čak nula (0).

Dakle, ako imamo vektor Ā, s podrijetlom u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini xy (dvodimenzionalni), projekcija na osi x je Āx, a projekcija na osi y je Āy. Dakle, vektor će se izraziti kao zbroj njegovih komponentnih vektora.

Primjeri

Prvi primjer

Imamo vektor Ā koji polazi od izvora i daju se koordinate njegovih krajeva. Dakle, vektor Ā = (Ā _x, A _y) = (4, 5) cm.

Ako vektor Ā djeluje na izvor trodimenzionalnog trokutastog koordinatnog sustava (u prostoru) x, y, z, do druge točke (P), projekcije na njegove osi bit će Āx, Āy i Āz; prema tome, vektor će se izraziti kao zbroj njegovih triju komponentnih vektora.

Drugi primjer

Imamo vektor Ā koji polazi od izvora i daju se koordinate njegovih krajeva. Dakle, vektor Ā = (A _x, A _y, A _z) = (4, 6, -3) cm.

Vektori koji imaju svoje pravokutne koordinate mogu se izraziti u odnosu na njihove osnovne vektore. Za to se mora svaka koordinata množiti samo s njezinim pripadajućim vektorima na takav način da za ravninu i prostor budu sljedeći:

Za ravninu: Ā = A _x i + A _y j.

Za prostor: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektorske operacije

Postoje mnoge količine koje imaju modul, smisao i smjer, poput ubrzanja, brzine, pomaka, sile između ostalog.

One se primjenjuju u raznim područjima znanosti, a da bi se primijenila, potrebno je u nekim slučajevima izvoditi operacije poput zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja vektora i skalara.

zbrajanje i oduzimanje vektora

Zbrajanje i oduzimanje vektora smatra se jednom algebrskom operacijom, jer se oduzimanje može napisati kao zbroj; na primjer, oduzimanje vektora Ā i Ē može se izraziti kao:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Postoje različite metode za obavljanje sabiranja i oduzimanja vektora: mogu biti grafičke ili analitičke.

Grafičke metode

Koristi se kada vektor ima modul, smjer i smjer. U tu svrhu crtaju se crte koje tvore lik koji će kasnije pomoći u određivanju rezultata. Među najpoznatije su sljedeće:

Paralelogramska metoda

Za dodavanje ili oduzimanje dvaju vektora izabrana je zajednička točka na koordinatnoj osi - koja će predstavljati točku podrijetla vektora -, zadržavajući njegov modul, smjer i smjer.

Linije se zatim povlače paralelno s vektorima kako bi tvorile paralelogram. Rezultirajući vektor je dijagonala koja ide od točke podrijetla oba vektora do vrha paralelograma:

Trokutna metoda

U ovoj se metodi vektori postavljaju jedan za drugim, zadržavajući svoje module, upute i upute. Rezultirajući vektor bit će sjedinjenje podrijetla prvog vektora s krajem drugog vektora:

Analitičke metode

Dva ili više vektora mogu se dodati ili oduzeti geometrijskom ili vektorskom metodom:

Geometrijska metoda

Kad dva vektora tvore trokut ili paralelogram, m).push ({});

- Skelarno distribucijsko svojstvo: ako se vektor pomnoži sa zbrojem dva skalara, ono je jednako množenju vektora za svaki skalar.

Umnožavanje vektora

Umnožavanje ili produkt vektora mogao bi se izvršiti kao zbrajanje ili oduzimanje, ali to na taj način gubi fizičko značenje i gotovo se nikad ne nalazi u aplikacijama. Iz tog razloga, najčešće korištene vrste proizvoda su skalarni i vektorski proizvod.

Skalarni proizvod

Poznat je i kao točkasti produkt dva vektora. Kad se moduli dvaju vektora pomnože s kosinusom najmanjeg kuta koji se formira između njih, dobiva se skalar. Za izražavanje skalarnog proizvoda između dva vektora, između njih se postavlja točka, a to se može definirati kao:

Vrijednost kuta koji postoji između dva vektora ovisit će o tome jesu li paralelni ili okomiti; Dakle, morate:

- Ako su vektori paralelni i imaju isti smisao, kosinus 0º = 1.

- Ako su vektori paralelni i imaju suprotne smjerove, kosinus je 180º = -1.

- Ako su vektori okomiti, kosinus 90º = 0.

Taj se kut također može izračunati znajući da:

Točkasti proizvod ima sljedeća svojstva:

- komutativno svojstvo: redoslijed vektora ne mijenja skalar.

-Distributivno svojstvo: ako se skalar množi zbrojem dva vektora, ono je množenje skalara za svaki vektor.

Vektorski proizvod

Vektorsko množenje, ili unakrsni produkt dva vektora A i B, rezultirat će novim vektorom C i izražava se križom između vektora:

Novi vektor imat će svoje karakteristike. Onuda:

- Smjer: ovaj novi vektor bit će okomit na ravninu, koja je određena izvornim vektorima.

- Smjer: ovo se određuje pravilom desne ruke, gdje se vektor A okreće prema B, što označava smjer vrtnje prstima, a smjer vektora je označen palcem.

- Modul: određuje se množenjem modula vektora AxB, sinusom najmanjeg kuta koji postoji između ovih vektora. Izražava se:

Vrijednost kuta koji postoji između dva vektora ovisit će o tome jesu li paralelni ili okomiti. Dakle, moguće je navesti sljedeće:

- Ako su vektori paralelni i imaju isti smisao, sinus 0º = 0.

- Ako su vektori paralelni i imaju suprotne smjerove, sine 180º = 0.

- Ako su vektori okomiti, sinus 90º = 1.

Kad se vektorski proizvod izrazi u baznim vektorima, imamo: