TRAPEZOID IZOSCELE: SVOJSTVA, ODNOSI I FORMULE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Trokut je četverokut u kojoj dva od strane su međusobno paralelni i osim toga, dva susjedna kutova od tih paralelnih strana imaju iste mjere.

Na slici 1 imamo četverostrani ABCD, u kojem su stranice AD ​​i BC paralelne. Uz to, kutovi ∠DAB i ∠ADC uz paralelnu stranu AD imaju istu mjeru α.

Slika 1. Isosceles trapezium. Izvor: F. Zapata.

Dakle, ovaj četverostrani, ili četverostrani mnogokut, zapravo je jednaki osmaški trapez.

U trapezu se paralelne strane nazivaju osnove, a paralelne strane nazivaju se bočne. Druga važna karakteristika je visina, a to je udaljenost koja razdvaja paralelne strane.

Pored izosceleskog trapeza, postoje i druge vrste trapeza:

-T rapezoidna skala koja ima sve svoje kutove i različite strane.

- Pravokutni rapezoid, u kojem jedna strana ima prave susjedne kutove.

Trapezni oblik uobičajen je u raznim područjima dizajna, arhitekture, elektronike, proračuna i mnogim drugim, kao što ćemo vidjeti kasnije. Otuda je važnost upoznavanja s njegovim svojstvima.

Svojstva

Isključivo izosceles trapez

Ako je trapez izosceles, onda ima sljedeća karakteristična svojstva:

1.- Stranice imaju isto mjerenje.

2.- Kutovi uz baze su jednaki.

3.- Suprotni kutovi su dopunski.

4.- Dijagonale su iste duljine, dva segmenta koji se spajaju sa suprotnim vrhovima su jednaki.

5.- Kut formiran između baza i dijagonala svi su iste mjere.

6.- Ima obrisan opseg.

Suprotno tome, ako trapezoid zadovoljava bilo koje od gore navedenih svojstava, onda je to jednaki jednako trapez.

Ako je u jednakomjernom trapezu jedan od kutova ispravan (90 °), tada će i svi ostali kutovi biti pravi, tvoreći pravokutnik. Odnosno, pravokutnik je poseban slučaj trapezoida izooscele.

Slika 2. Kontejner s kokicama i školski stolovi oblikovani su kao jednaki izolirani trapez. Izvor: Pxfuel (slijeva) / McDowell Craig preko Flickr-a. (pravo)

Za sve trapeze

Sljedeći skup svojstava vrijedi za bilo koji trapez:

7.- Medijan trapeza, to jest segmenta koji spaja sredinu njegovih neparalelnih strana, paralelan je bilo kojoj od osnova.

8.- Dužina medijane jednaka je polukrugu (zbroj podijeljenom sa 2) duljine njegovih baza.

9.- Medijan trapeza presijeca dijagonale u sredini.

10.- Dijagonale trapeza presijecaju se u točki koja ih dijeli na dva dijela proporcionalna kvocijentima baza.

11.- Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je zbroju kvadrata njegovih strana plus dvostrukog produkta njegovih baza.

12.- Segment koji spaja srednje točke dijagonala ima duljinu jednaku polu-razlici baza.

13.- Kutovi susjednih strana su dopunski.

14.- Trapez ima upisani obim ako i samo ako je zbroj njegovih baza jednak zbroju njegovih strana.

15.- Ako trapez ima upisani opseg, tada su kutovi s vrhom u sredini navedenog obima i stranice koje prolaze krajevima iste strane pravi kutovi.

Odnosi i formule

Sljedeći skup odnosa i formula odnosi se na sliku 3, gdje su pored isosceles trapeza prikazani i drugi važni segmenti, kao što su dijagonala, visina i medijan.

Slika 3. Medijan, dijagonala, visina i obrise opsega u jednakometnom trapezu. Izvor: F. Zapata.

Jedinstveni odnosi isosceles trapezija

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA i ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º i ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C i D pripadaju opisanom krugu.

Odnosi za bilo koji trapez

1. Ako su AK = KB i DL = LC ⇒ KL - AD i KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 i DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC i DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º i ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Ako je AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R od jednake udaljenosti od AD, BC, AB i DC

15.- Ako je equ R jednak od AD, BC, AB i DC, tada:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Odnosi za isosceles trapezij s upisanim opsegom

Ako je u jednakomjernom trapezu zbroj baza jednak dvaput bočnom, tada postoji upisani opseg.

Slika 4. Trapez s upisanim opsegom. Izvor: F. Zapata.

Sljedeća svojstva primjenjuju se kada je jednaki iskočni trapez upisanom opsegu (vidi sliku 4 gore):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Dijagonale se presijecaju pod pravim kutom: AC ⊥ BD

18.- Visina mjeri istu vrijednost kao medijan: HF = KL, to jest, h = m.

19.- Kvadrat visine jednak je proizvodu baza: h ² = BC⋅AD

20.- Pod ovim specifičnim uvjetima, površina trapeza jednaka je kvadraturi visine ili proizvodu baze: Površina = h ² = BC⋅AD.

Formule za određivanje jedne strane, poznavanje ostalih i kut

Poznavajući bazu, bočni i kut, druga se baza može odrediti prema:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Ako se dužina baza i kut daju kao poznati podaci, tada su duljine obje strane sljedeće:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Određivanje jedne strane, poznavanje drugih i dijagonala

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Gdje je d ₁ duljina dijagonala.

Podnožje od visine, površine i ostalih baza

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Poznate bočne baze, područje i kut

c = (2A) /

Poznata bočna srednja sredina, područje i kut

c = A / (m sin α)

Poznata visina strana

h = √

Poznata visina kut i dvije strane

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Dijagonale su poznate sa svih strana, ili s dvije strane i pod kutom

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perimetar isoscelesnog trokuta

P = a + b + 2c

Područje trapezija Isosceles

Postoji nekoliko formula za izračunavanje površine, ovisno o poznatim podacima. Sljedeće je najpoznatije, ovisno o bazama i visini:

A = h⋅ (a + b) / 2

A možete koristiti i ove druge:

-Ako su strane poznate

A = √

-Kada imate dvije strane i kut

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Ako su poznati polumjer upisanog kruga i kut

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kada su poznati baze i kut

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Ako se trapezu može upisati obim

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Znajte dijagonale i kut koji međusobno tvore

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2), d Sen

-Kada imate bočni, srednji i kut

A = mc.sen α = mc.sen β

Polumjer opisanog kruga

Samo trapezoidi izoscelesa imaju precizno definirani opseg. Ako _{su poznata} veća baza a, bočni c i dijagonala d ₁, tada je polumjer R kružnice koja prolazi kroz četiri vrha trapeza:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Gdje je p = (a + c + d ₁) / 2

Primjeri upotrebe isosceles trapeza

Trapezoid izosila pojavljuje se u polju dizajna, kao što je prikazano na slici 2. I evo nekoliko dodatnih primjera:

U arhitekturi i graditeljstvu

Drevni Inki poznavali su isosceles trapezoid i koristili su ga kao građevni element na ovom prozoru u gradu Cuzco u Peruu:

Slika 5. Trapezoidni prozor Coricancha, Cuzco. Izvor: Wikimedia Commons.

I ovdje se trapez pojavljuje u takozvanom trapeznom listu, materijalu koji se često koristi u gradnji:

Slika 6. Trapezni metalni lim privremeno štiti prozore zgrade. Izvor: Wikimedia Commons.

U dizajnu

Već smo vidjeli da se jednakokraki trapez pojavljuje u svakodnevnim predmetima, uključujući hranu poput ove čokoladice:

Slika 7. Čokoladica čija su lica oblikovana kao jednaki jednaki trapez. Izvor: Pxfuel.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Izostelesni trapez ima bazu veću od 9 cm, bazu manju od 3 cm, a dijagonale 8 cm svaki. Izračunati:

a) strana

b) Visina

c) Perimetar

d) Područje

Slika 8. Shema vježbe 1. Izvor: F. Zapata

Rješenje za

Visina CP = h je prikazana, gdje podnožje visine definira segmente:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Korištenje pitagorejskog teorema za desni trokut DPC:

c ² -h ² + (a - b) ² /4

A također i pravokutni trokut APC:

d ² -h ² + AP ² -h ² + (a + b) ² /4

Na kraju se oduzima član po članu, a druga jednadžba je od prve i pojednostavljena:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Rješenje b

h ² -d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - C6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Rješenje c

Perimetar = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Rješenje d

Površina = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Vježba 2

Postoji isosceles trapez čija je veća baza dvostruko manja, a njegova manja baza jednaka je visini, koja iznosi 6 cm. Odlučiti:

a) Duljina bočnih

b) Perimetar

c) Područje

d) kutovi

Slika 8. Shema vježbe 2. Izvor: F. Zapata

Rješenje za

Podaci: a = 12, b = a / 2 = 6 i h = b = 6

Nastavljamo na sljedeći način: crtamo visinu h i primjenjujemo pitagorejski teorem na trokut hipotenuze «c» i noge h i x:

c ² = h ² + xc ²

Tada morate izračunati vrijednost visine iz podataka (h = b) i visine kraka x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Zamjenom prethodnih izraza imamo:

c ² -b ² + (ab) ² /2 ²

Sada su uvedene numeričke vrijednosti i pojednostavljeno je:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

dobivanje:

c = 3√5 = 6,71 cm

Rješenje b

Perimetar P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Rješenje c

Područje kao funkcija visine i duljine baze je:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Rješenje d

Kut α koji bočni oblik tvori većom bazom dobiva se trigonometrijom:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Drugi kut, onaj koji tvori bočnu stranu s manjom bazom je β, koji je dopunjen α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Reference

1. EA 2003. Elementi geometrije: s vježbama i geometrijom kompasa. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Otkrijte poligone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generalizirani poligoni. Birkhauser.
5. Iger. Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
6. Jr. geometrija. 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. 2006. Matematika: obrazloženje i primjene. 10.. Izdanje. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Urednički zbornik.
9. Wikipedia. Trapez. Oporavak od: es.wikipedia.com