AKSIOMATSKA METODA: KARAKTERISTIKE, KORACI, PRIMJERI - KULTURNI VOKABULAR - 2025

Aksiomatski način ili se nazivaju aksiomatika je formalni postupak koji se koristi od strane znanosti pomoću kojih se formuliraju izjave ili prijedloge zovu aksiomi, međusobno povezani relacijom odbitak, te da su temelj hipoteza ili uvjetima određenog sustava.

Ta se opća definicija mora uokviriti unutar evolucije koju je ta metodologija imala tijekom povijesti. Na prvom mjestu je drevna ili sadržajna metoda, rođena u drevnoj Grčkoj od Euklida, a kasnije je razvio Aristotel.

Kao drugo, već u 19. stoljeću pojava geometrije s aksiomima različitom od one Euklida. I na kraju, formalna ili moderna aksiomatska metoda, čiji je najveći uzor bio David Hilbert.

Ovaj proces je izvan svog razvoja tijekom vremena bio osnova deduktivne metode, a korišten je u geometriji i logici odakle potječe. Također se koristi u fizici, kemiji i biologiji.

A čak se primjenjuje i unutar pravne znanosti, sociologije i političke ekonomije. Međutim, trenutno je najvažnija njegova primjena matematika i simbolička logika te neke grane fizike, poput termodinamike, mehanike, između ostalih disciplina.

karakteristike

Iako je temeljna karakteristika ove metode formulacija aksioma, oni nisu uvijek razmatrani na isti način.

Postoje neki koji se mogu definirati i konstruirati na proizvoljni način. I drugi, prema modelu u kojem se intuitivno razmatra njegova zajamčena istina.

Da bi se razumjelo konkretno od čega se sastoji ta razlika i njezine posljedice, potrebno je proći evoluciju ove metode.

Drevna ili sadržajna aksiomatska metoda

Ona je uspostavljena u drevnoj Grčkoj prema 5. stoljeću prije Krista. Njegova primjena je geometrija. Temeljno djelo ove faze su Elevdovi Euklida, iako se smatra da je prije njega, Pitagora, već rodila aksiomatičnu metodu.

Stoga Grci određene činjenice uzimaju kao aksiome, ne tražeći nikakav logički dokaz, odnosno bez potrebe za dokazivanjem, jer su za njih oni istinita očigledna istina.

Sa svoje strane, Euclid predstavlja pet aksioma za geometriju:

1-S obzirom na dvije točke postoji linija koja ih sadrži ili ih spaja.

2-Bilo koji segment može se kontinuirano produžavati u neograničenom nizu na obje strane.

3-Možete nacrtati krug koji ima središte u bilo kojoj točki i bilo kojem polumjeru.

4-Pravi kutovi su svi isti.

5 -Uzevši bilo koju ravnu liniju i bilo koju točku koja nije u njoj, postoji ravna linija paralelna s njom koja sadrži tu točku. Taj je aksiom kasnije poznat kao aksiom paralela, a također je označen kao: jedna paralela može se izvući iz točke izvan crte.

Međutim, i Euklid i kasniji matematičari slažu se da peti aksiom nije tako intuitivno jasan kao ostali 4. Još tijekom renesanse pokušava se izvući petu od ostale 4, ali to nije moguće.

To je učinilo da su se već u XIX stoljeću zalagali za euklidsku geometriju, a oni koji su negirali petu, oni koji su stvorili ne-euklidsku geometriju.

Non-euklidska aksiomatska metoda

Upravo Nikolaj Ivanovič Lobačevski, János Bolyai i Johann Karl Friedrich Gauss vide mogućnost konstruiranja, bez proturječnosti, geometrije koja potječe iz aksioma sustava koji nisu iz Euklida. To uništava vjerovanje u apsolutnu istinu ili apriori aksioma i teorija koje iz njih proizlaze.

Prema tome, aksiomi se počinju shvaćati kao polazišta za datu teoriju. Isto tako i njegov izbor i problem njegove važnosti u ovom ili onom smislu, počinju biti povezani s činjenicama izvan aksiomatske teorije.

Na taj se način pojavljuju geometrijske, algebarske i aritmetičke teorije izgrađene aksiomatskom metodom.

Ova faza kulminira stvaranjem aksiomatskih sustava za aritmetiku poput Giuseppea Peanoa 1891; Geometrija Davida Huberta 1899.; izjave i predikatski proračuni Alfreda North Whiteheada i Bertranda Russella u Engleskoj 1910.; Aksiomatska teorija skupova Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela 1908. godine.

Moderna ili formalna aksiomatska metoda

Upravo je David Hubert inicirao koncepciju formalne aksiomatske metode i to je dovelo do njezine kulminacije, David Hilbert.

Upravo Hilbert formalizira znanstveni jezik, smatrajući njegove izjave formulama ili nizovima znakova koji sami po sebi nemaju značenja. Oni dobivaju značenje samo u određenoj interpretaciji.

U "Temeljima geometrije" objašnjava prvi primjer ove metodologije. Od ovog trenutka geometrija postaje znanost čistih logičkih posljedica koje su izvađene iz sustava hipoteza ili aksioma, bolje artikuliranih od euklidovog sustava.

To je zato što se u drevnom sustavu aksiomatska teorija temelji na dokazima aksioma. Dok se u temelju formalne teorije daje demonstracijom nesavjesnosti njegovih aksioma.

koraci

Postupak koji provodi aksiomatsko strukturiranje unutar znanstvenih teorija prepoznaje:

a-izbor određenog broja aksioma, tj. niza prijedloga određene teorije koji su prihvaćeni bez potrebe za dokazivanjem.

b-pojmovi koji su dio ovih propozicija nisu određeni u okviru date teorije.

c-postavljena su pravila definicije i dedukcije date teorije i omogućavaju uvođenje novih pojmova unutar teorije i logički izvode neke propozicije od drugih.

d-ostale tvrdnje teorije, tj. teorema, izvode se iz a na temelju c.

Primjeri

Ovu metodu možemo potvrditi dokazom dvaju najpoznatijih Euklidovih teorema: teorem o nogama i teorem o visini.

Oboje proizlazi iz opažanja ovog grčkog geometra da se, kada se visina u odnosu na hipotenuzu crta unutar pravog trokuta, pojavljuju još dva trokuta izvornika. Ti su trokuti slični jedni drugima i istodobno slični trokutu podrijetla. To pretpostavlja da su njihove homologne strane proporcionalne.

Može se vidjeti da kongruentni kutovi u trokutima na ovaj način potvrđuju sličnost koja postoji između tri uključena trokuta prema kriteriju sličnosti AAA. Ovaj kriterij drži da kada dva trokuta imaju jednake kutove slični su.

Jednom kada se pokaže da su trokuti slični, mogu se uspostaviti proporcije određene u prvoj teoremi. Ista izjava da je u pravom trokutu mjera svake noge geometrijska proporcionalna sredina između hipotenuze i projekcije noge na nju.

Druga teorema je visina. Specificira da je svaki desni trokut visina koja se crta prema hipotenuzi geometrijska proporcionalna sredina između segmenata koja je određena geometrijskom sredinom na hipotenuzi.

Naravno, obje teoreme imaju brojne primjene diljem svijeta, ne samo u nastavi, već i u inženjerstvu, fizici, kemiji i astronomiji.

Reference

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrija, formalizam i intuicija: David Hilbert i formalna aksiomatska metoda (1895-1905). Revista de Filosofía, vol. 39 br. 2, str.121-146. Preuzeto iz magazina.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918.) Aksiomatska misao. U W. Ewaldu, uredniku, od Kanta do Hilberta: izvorna knjiga u osnovama matematike. Svezak II, pp 1105-1114. Oxford University Press. 2005. a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Koja je aksiomatska metoda? Synthese, studeni 2011, svezak 189, str.69-85. Preuzeto sa link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Uvod u suvremenu filozofiju prava. (Pp.48-49). Preuzeto sa books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Aksiomatična metoda, čitanje Ricarda Nirenberga, Jesen 1996, Sveučilište u Albanyju, Projekt Renesansa. Preuzeto s Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert između formalne i neformalne strane matematike. Rukopis sv. 38 br. 2, Campinas srpanj / august 2015. Preuzeto s scielo.br.