LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA: DEFINICIJA, POVIJEST I ČEMU SLUŽI - MATEMATIKA - 2026

Laplaceova transformacija je u posljednjih nekoliko godina od velike važnosti u inženjerskih studija, matematike, fizike, među ostalim znanstvenim područjima, kao i da je od velikog interesa u teoriji, pruža jednostavan način za rješavanje problema koji dolaze iz znanosti i inženjerstva.

Izvorno je Laplasovu transformaciju predstavio Pierre-Simón Laplace u svojoj studiji o teoriji vjerojatnosti i u početku je tretiran kao matematički objekt od čisto teorijskog interesa.

Trenutne primjene nastaju kada su razni matematičari pokušali dati formalno opravdanje "operativnim pravilima" koje je Heaviside koristio u proučavanju jednadžbi elektromagnetske teorije.

Definicija

Neka je f funkcija definirana za t ≥ 0. Laplaceova transformacija je definirana na sljedeći način:

Kaže se da Laplaceova transformacija postoji ako se prethodni integral konvergira, inače se kaže da Laplaceova transformacija ne postoji.

Općenito, mala slova se koriste za označavanje funkcije koja se transformira, a veliko slovo odgovara njenoj transformaciji. Na ovaj način imat ćemo:

Primjeri

Razmotrimo konstantnu funkciju f (t) = 1. Imamo njezinu transformaciju:

Kad god se integral konvergira, to je kad god je s> 0. Inače, s <0, integral se razilazi.

Neka je g (t) = t. Laplasovu transformaciju daje

Integrirajući dijelove i znajući da te ^-st teži 0 kada t teži beskonačnosti i s> 0, zajedno s prethodnim primjerom imamo:

Transformacija može postojati ili ne mora postojati, na primjer za funkciju f (t) = 1 / t integral koji definira Laplaceovu transformaciju ne konvergira se i zato ne postoji.

Dovoljni uvjeti koji jamče da Laplaceova transformacija funkcije f postoji jesu da je f komadno kontinuiran za t ≥ 0 i da je eksponencijalnog reda.

Kaže se da je funkcija komadno kontinuirana za t ≥ 0, kada za bilo koji interval s> 0 postoji konačan broj točaka t _k, gdje f ima diskontinuitete i kontinuirano je u svakom podinvalvatu.

S druge strane, funkcija se kaže eksponencijalnog reda c ako postoje stvarne konstante M> 0, c i T> 0 takve:

Kao primjere imamo da je f (t) = t ² eksponencijalnog reda, budući da je -t ² - <e ^3t za sve t> 0.

Formalno imamo slijedeću teoremu

Teorem (Dovoljni uvjeti za postojanje)

Ako je f djelomična kontinuirana funkcija za t> 0 i eksponencijalnog reda c, tada Laplaceova transformacija postoji za s> c.

Važno je naglasiti da je to uvjet dostatnosti, to je, možda, slučaj da postoji funkcija koja ne zadovoljava ove uvjete, pa čak i tada postoji njegova Laplaceova transformacija.

Primjer za to je funkcija f (t) = t ^-1/2 koja nije ^komadno kontinuirana za t ≥ 0, ali postoji njegova Laplaceova transformacija.

Laplasova transformacija nekih osnovnih funkcija

Sljedeća tablica prikazuje Laplaceove transformacije najčešćih funkcija.

Povijest

Laplaceova transformacija svoje ime duguje Pierre-Simonu Laplaceu, francuskom matematičaru i teoretskom astronomu, koji je rođen 1749., a umro 1827. Njegova slava bila je takva da je bio poznat kao Newton of France.

Godine 1744. Leonard Euler posvetio je svoje studije integracijama s oblikom

kao rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi, ali je brzo odustao od ove istrage. Kasnije je Joseph Louis Lagrange, koji se silno divio Euleru, također istraživao ove vrste integrala i povezao ih s teorijom vjerojatnosti.

1782., Laplace

1782. Laplace je počeo proučavati takve integrale kao rješenja diferencijalnih jednadžbi, a prema povjesničarima, 1785. odlučio je preformulirati problem, što je kasnije dovelo do Laplaceovih transformacija onako kako se danas razumiju.

Nakon što je uveden u područje teorije vjerojatnosti, to je za znanstvenike u to vrijeme malo zanimalo i shvaćeno je samo kao matematički objekt od samo teorijskog interesa.

Oliver Heaviside

Sredinom 19. stoljeća engleski je inženjer Oliver Heaviside otkrio da se diferencijalni operatori mogu tretirati kao algebarske varijable, čime Laplace transformira svoju modernu primjenu.

Oliver Heaviside bio je engleski fizičar, inženjer elektrotehnike i matematičar koji je rođen u Londonu 1850., a umro 1925. Dok je pokušavao riješiti probleme diferencijalne jednadžbe primijenjene na teoriju vibracija i koristeći Laplaceove studije, počeo je oblikovati Suvremene primjene Laplaceovih transformacija.

Rezultati koje je Heaviside predstavio brzo su se proširili u tadašnju znanstvenu zajednicu, ali kako njegov rad nije bio strog, brzo su ga kritikovali tradicionalni matematičari.

Međutim, korisnost Heavisideova rada u rješavanju jednadžbi u fizici učinila je njegove metode popularnima među fizičarima i inženjerima.

Unatoč tim zastojima i nakon nekoliko desetljeća neuspjelih pokušaja, na početku 20. stoljeća moglo bi se dobiti strogo opravdanje operativnih pravila koja je dao Heaviside.

Ovi su pokušaji urodili plodom zahvaljujući naporima različitih matematičara kao što su Bromwich, Carson, van der Pol, između ostalih.

Svojstva

Među svojstvima Laplaceove transformacije ističu se:

linearnost

Neka su c1 i c2 konstante i f (t) i g (t) funkcije čiji su Laplasovi transformati F (s) i G (s), tada imamo:

Zbog ovog svojstva kaže se da je Laplasova transformacija linearni operator.

Primjer

Prva teorema prevođenja

Ako se dogodi da:

A "a" je bilo koji stvarni broj, pa:

Primjer

Budući da je Laplasova transformacija cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), tada:

Druga teorema prevođenja

Da

Tako

Primjer

Ako je f (t) = t ^ 3, tada je F (s) = 6 / s ^ 4. I zato transformacija

je G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Promjena razmjera

Da

A 'a' je stvarna stvar koja nije nula, moramo

Primjer

Budući da je transformacija f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), imamo to

Laplasova transformacija derivata

Ako su f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ neprekidne za t ≥ 0 i eksponencijalnog su reda, a f ⁽ⁿ⁾ (t) je komadno kontinuiran za t ≥ 0, tada

Laplasova transformacija integrala

Da

Tako

Pomnoženje s t

Ako moramo

Tako

Podjela po t

Ako moramo

Tako

Periodične funkcije

Neka je f periodična funkcija s vremenom T> 0, to jest f (t + T) = f (t), dakle

Ponašanje F (s) kao što je tendencija u beskonačnost

Ako je f kontinuiran u dijelovima i eksponencijalnog reda i

Tako

Inverzni transformi

Kada primijenimo Laplasovu transformaciju na funkciju f (t), dobit ćemo F (s), što predstavlja ovu transformaciju. Na isti način možemo reći da je f (t) inverzna Laplasova transformacija F (s) i zapisuje se kao

Znamo da su Laplasove transformacije f (t) = 1 i g (t) = t F (s) = 1 / s i G (s) = 1 / s ², dakle, imamo

Neke su uobičajene inverzne Laplasove transformacije

Nadalje, inverzna Laplasova transformacija je linearna, to jest, istina je da

vježba

Pronaći

Da bismo riješili ovu vježbu, moramo funkciju F (s) uskladiti s jednom iz prethodne tablice. U ovom slučaju, ako uzmemo + 1 = 5 i koristeći svojstvo linearnosti inverzne transformacije, množimo i dijelimo sa 4! dobivanje

Za drugi inverzni transform pretvorimo djelomične frakcije za prepisati funkciju F (s), a zatim svojstvo linearnosti, dobivajući

Kao što vidimo iz ovih primjera, uobičajeno je da funkcija F (a) koja se procjenjuje ne odgovara točno nijednoj od funkcija navedenih u tablici. U tim je slučajevima, kao što se može vidjeti, dovoljno prepisati funkciju dok ne postigne odgovarajući oblik.

Primjene Laplaceove transformacije

Diferencijalne jednadžbe

Glavna primjena Laplasovih transformacija je rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Pomoću svojstva transformacije derivata jasno je da

Y od n-1 derivata ocijenjeno na t = 0.

Ovo svojstvo čini transformaciju vrlo korisnom za rješavanje problema početne vrijednosti gdje su uključene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima.

Sljedeći primjeri pokazuju kako koristiti Laplaceovu transformaciju za rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Primjer 1

S obzirom na sljedeći problem s početnom vrijednošću

Za rješenje potražite Laplaceovu transformaciju.

Na svaki član diferencijalne jednadžbe primjenjujemo Laplasovu transformaciju

Svojstvom transformacije derivata imamo

Razvojem svih izraza i raščlanjivanjem Y (i) koje imamo

Pomoću djelomičnih frakcija napišite desnu stranu jednadžbe koju smo dobili

Napokon, naš je cilj pronaći funkciju y (t) koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Korištenje inverzne Laplasove transformacije daje nam rezultat

Primjer 2

Riješiti

Kao i u prethodnom slučaju, primjenjujemo transformaciju na obje strane jednadžbe i zaseban pojam izrazom.

Na taj način imamo kao rezultat

Zamjena zadanim početnim vrijednostima i rješavanje za Y (s)

Pomoću jednostavnih frakcija jednadžbu možemo prepisati na sljedeći način

I primjena inverzne Laplasove transformacije daje nam rezultat

U ovim se primjerima može pogrešno zaključiti da ova metoda nije puno bolja od tradicionalnih metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi.

Prednosti Laplaceove transformacije su u tome što ne morate koristiti varijaciju parametara ili brinuti o različitim slučajevima metode neodređenog koeficijenta.

Pored toga, pri rješavanju početnih problema ovom metodom od početka koristimo početne uvjete, tako da nije potrebno obavljati druge proračune za pronalaženje određenog rješenja.

Sustavi diferencijalnih jednadžbi

Laplaceova transformacija se također može koristiti za pronalaženje rješenja istodobnih običnih diferencijalnih jednadžbi, kao što pokazuje slijedeći primjer.

Primjer

Odlučnost

Uz početne uvjete x (0) = 8 i y (0) = 3.

Ako moramo

Tako

Rješavanje nam daje kao rezultat

I primjenom obrnute Laplasove transformacije

Mehanika i električni krugovi

Laplaceova transformacija je od velike važnosti u fizici, ona se uglavnom koristi za mehaniku i električne krugove.

Jednostavni električni krug sastoji se od sljedećih elemenata

Prekidač, baterija ili izvor, induktor, otpornik i kondenzator. Kad se prekidač zatvori, nastaje električna struja koja je označena s i (t). Naboj na kondenzatoru označen je s q (t).

Prema drugom zakonu Kirchhoffa, napon proizveden od izvora E u zatvorenom krugu mora biti jednak zbroju svakog pada napona.

Električna struja i (t) povezana je s nabojem q (t) na kondenzatoru i = dq / dt. S druge strane, pad napona u svakom od elemenata definiran je na sljedeći način:

Pad napona preko otpornika je iR = R (dq / dt)

Pad napona preko induktora je L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

Pad napona preko kondenzatora je q / C

Pomoću tih podataka i primjenom Kirchhoffovog drugog zakona na jednostavan zatvoreni krug, dobiva se diferencijalna jednadžba drugog reda koja opisuje sustav i omogućava nam određivanje vrijednosti q (t).

Primjer

Induktor, kondenzator i otpornik spojeni su na bateriju E, kao što je prikazano na slici. Induktor je 2 henrija, kondenzator je 0,02 farasa, a otpor je 16 ohma. U trenutku t = 0 krug je zatvoren. Pronađite naboj i struju u bilo kojem trenutku t> 0 ako je E = 300 volti.

Imamo da je diferencijalna jednadžba koja opisuje ovaj krug sljedeća

Tamo gdje su početni uvjeti q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Primjenom Laplaceove transformacije to dobivamo

I rješavanje za Q (t)

Zatim, primjenom obrnute Laplaceove transformacije

Reference

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformacija za inženjere elektronike. Limusa.
2. Ruiz, LM, i Hernandez, saborski zastupnik (2006). Diferencijalne jednadžbe i Laplaceova transformacija s aplikacijama. Uredništvo UPV.
3. Simmons, GF (1993). Diferencijalne jednadžbe s aplikacijama i povijesnim bilješkama. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace transformira. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, i Cullen, MR (2008). Diferencijalne jednadžbe s problemima granične vrijednosti. Cengage Learning Editores, SA