- Što je Moivreov teorem?
- Demonstracija
- Induktivna baza
- Induktivna hipoteza
- Verifikacija
- Negativni cijeli broj
- Riješene vježbe
- Proračun pozitivnih moći
- Vježba 1
- Riješenje
- Vježba 2
- Riješenje
- Proračun negativnih sila
- Vježba 3
- Riješenje
- Reference
Teorem Moivrea primijenjena algebra temeljne procese, kao što su ovlasti i vađenje korijena u kompleksnih brojeva. Teorem je iznio poznati francuski matematičar Abraham de Moivre (1730), koji je složene brojeve povezao s trigonometrijom.
Abraham Moivre je ovo druženje ostvario kroz izraze sinusa i kosinusa. Ovaj je matematičar stvorio svojevrsnu formulu preko koje je moguće podići složeni broj z na snagu n, koja je pozitivni cijeli broj veći od ili jednak 1.

Što je Moivreov teorem?
Moivreov teorem navodi sljedeće:
Ako imamo složen broj u polarnom obliku z = r Ɵ, gdje je r modul složenog broja z, a kut called nazivamo amplitudom ili argumentom bilo kojeg složenog broja s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, da izračunamo njegov n– snage neće biti potrebno množiti sam sebe n-puta; to jest, nije potrebno napraviti sljedeći proizvod:
Z n = z * z * z *.,. * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *.,. * r Ɵ n-puta.
Naprotiv, teorema kaže da, pišući z u svom trigonometrijskom obliku, za izračunavanje n-te snage postupimo kako slijedi:
Ako je z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), onda je z n = r n (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).
Na primjer, ako je n = 2, tada je z 2 = r 2. Ako je n = 3, tada je z 3 = z 2 * z. Također:
z 3 = r 2 * r = r 3.
Na taj se način mogu dobiti trigonometrijski omjeri sinusa i kosinusa za višekratnike kuta, sve dok su poznati trigonometrijski omjeri kuta.
Na isti se način može koristiti preciznije i manje zbunjujuće izraze za n-ti korijen složenog broja z, tako da je z n = 1.
Za dokazivanje Moivreovog teorema koristi se princip matematičke indukcije: ako cijeli broj "a" ima svojstvo "P" i ako je za bilo koji cijeli broj "n" veći od "a" koji ima svojstvo "P" Ispunjava da n + 1 također ima svojstvo "P", tada svi cijeli brojevi veći ili jednaki "a" imaju svojstvo "P".
Demonstracija
Dakle, dokaz teoreme vrši se sljedećim koracima:
Induktivna baza
Prvo se provjerava za n = 1.
Budući da je z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1, teorema vrijedi za n = 1.
Induktivna hipoteza
Pretpostavlja se da je formula istinita za neki pozitivni cijeli broj, to jest, n = k.
z k = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + i * sin k Ɵ).
Verifikacija
Dokazano je da je istina za n = k + 1.
Budući da je z k + 1 = z k * z, tada je z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + i * senƟ).
Tada se izrazi množe:
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * senƟ)).
Na trenutak se zanemaruje faktor r k + 1, a uzima se uobičajeni faktor i:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sin kƟ) * (sinƟ).
Kako je i 2 = -1, zamjenjujemo ga u izrazu i dobivamo:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ).
Sada su pravi i imaginarni dio naređeni:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i.
Da bi se pojednostavio izraz, za kosinus i sinus primjenjuju se trigonometrijski identiteti zbroja kutova, a to su:
cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
sin (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.
U ovom su slučaju varijable kutovi Ɵ i kƟ. Primjenjujući trigonometrijske identitete, imamo:
cos kƟ * cosƟ - sin kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
grijeh kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = grijeh (kƟ + Ɵ)
Na taj je način izraz:
z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + i * sin).
Tako bi se moglo pokazati da je rezultat istinit za n = k + 1. Po principu matematičke indukcije zaključuje se da je rezultat istinit za sve pozitivne cijeli brojeve; to jest n ≥ 1.
Negativni cijeli broj
Moivreova teorema također se primjenjuje kada je n ≤ 0. Razmotrimo negativni cijeli broj «n»; tada se "n" može zapisati kao "-m", to jest, n = -m, gdje je "m" pozitivni cijeli broj. Tako:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
Da bi dobili eksponent «m» na pozitivan način, izraz se piše obratno:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
Sada se koristi da ako je z = a + b * i složen broj, tada je 1 z z = ab * i. Tako:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i * sin (mƟ).
Koristeći taj cos (x) = cos (-x) i taj -sen (x) = sin (-x), imamo:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n =
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-mƟ)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i * sin (nƟ).
Dakle, može se reći da se teorem odnosi na sve cjelobrojne vrijednosti "n".
Riješene vježbe
Proračun pozitivnih moći
Jedna od operacija s kompleksnim brojevima u njihovom polarnom obliku je množenje od dva; u tom slučaju se moduli množe i argumenti se dodaju.
Ako imate dva složena broja z 1 i z 2 i želite izračunati (z 1 * z 2) 2, tada nastavite na sljedeći način:
z 1 z 2 = *
Distributivno svojstvo se odnosi na:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2).
Oni su grupirani, uzimajući izraz "i" kao zajednički faktor izraza:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Kako je i 2 = -1, on je supstituiran u izrazu:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Stvarni izrazi su pregrupirani u stvarni, a imaginarni s imaginarnim:
z 1 z 2 = r 1 r 2
I na kraju vrijede trigonometrijska svojstva:
z 1 z 2 = r 1 r 2.
U zaključku:
(z 1 * z 2) 2 = (r 1 r 2) 2
= r 1 2 r 2 2.
Vježba 1
Zapišite složen broj u polarnom obliku ako je z = - 2 -2i. Zatim pomoću Moivreovog teorema izračunajte z 4.
Riješenje
Složeni broj z = -2 -2i izražava se u pravokutnom obliku z = a + bi, gdje:
a = -2.
b = -2.
Znajući da je polarni oblik z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), moramo odrediti vrijednost modula „r“ i vrijednost argumenta „Ɵ“. Budući da je r = √ (a² + b²), dane vrijednosti su supstituirane:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
Zatim se za određivanje vrijednosti «Ɵ» primjenjuje oblik pravokutnika, koji je dan formulom:
tan Ɵ = b ÷ a
tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
Budući da je tan (Ɵ) = 1 i imamo <0, tada imamo:
Ɵ = arctan (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
Kako su vrijednosti «r» i «Ɵ» već dobivene, složen broj z = -2 -2i može se izraziti u polarnom obliku zamjenom vrijednosti:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)).
Sada koristimo Moivreovu teoremu za izračunavanje z 4:
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + i * sin (5Π)).
Vježba 2
Nađite proizvod složenih brojeva tako da ga izrazite u polarnom obliku:
z1 = 4 (cos 50 o + i * sin 50 o)
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o).
Zatim izračunajte (z1 * z2) ².
Riješenje
Prvo se formira proizvod zadanih brojeva:
z 1 z 2 = *
Tada se moduli množe jedan s drugim i dodaju se argumenti:
z 1 z 2 = (4 * 7) *
Izraz je pojednostavljen:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o).
Konačno, Moivreova teorija vrijedi:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o)) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o)).
Proračun negativnih sila
Da bismo podijelili dva složena broja z 1 i z 2 u njihovom polarnom obliku, modul se dijeli, a argumenti oduzimaju. Dakle, kvocijent je z 1 ÷ z 2 i izražava se kako slijedi:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ().
Kao i u prethodnom slučaju, ako želimo izračunati (z1 ÷ z2) ³, prvo se provodi podjela, a zatim se koristi Moivreova teorema.
Vježba 3
kockice:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), izračunati (z1 ÷ z2) ³.
Riješenje
Slijedom gore opisanih koraka može se zaključiti da:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).
Reference
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
- Croucher, M. (drugi). Iz Moivreove teoreme za trijaške identitete. Projekt demonstracija Wolframa.
- Hazewinkel, M. (2001). Matematička enciklopedija.
- Max Peters, WL (1972). Algebra i trigonometrija.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.
- Stanley, G. (drugi). Linearna algebra. Graw-Hill.
- , M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
