MOIVREOV TEOREM: DOKAZ I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Teorem Moivrea primijenjena algebra temeljne procese, kao što su ovlasti i vađenje korijena u kompleksnih brojeva. Teorem je iznio poznati francuski matematičar Abraham de Moivre (1730), koji je složene brojeve povezao s trigonometrijom.

Abraham Moivre je ovo druženje ostvario kroz izraze sinusa i kosinusa. Ovaj je matematičar stvorio svojevrsnu formulu preko koje je moguće podići složeni broj z na snagu n, koja je pozitivni cijeli broj veći od ili jednak 1.

Što je Moivreov teorem?

Moivreov teorem navodi sljedeće:

Ako imamo složen broj u polarnom obliku z = r _Ɵ, gdje je r modul složenog broja z, a kut called nazivamo amplitudom ili argumentom bilo kojeg složenog broja s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, da izračunamo njegov n– snage neće biti potrebno množiti sam sebe n-puta; to jest, nije potrebno napraviti sljedeći proizvod:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*.,. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.,. *} r _Ɵ n-puta.

Naprotiv, teorema kaže da, pišući z u svom trigonometrijskom obliku, za izračunavanje n-te snage postupimo kako slijedi:

Ako je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), onda je z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Na primjer, ako je n = 2, tada je z ² = r ². Ako je n = 3, tada je z ³ = z ² _* z. Također:

z ³ = r ² _* r = r ³.

Na taj se način mogu dobiti trigonometrijski omjeri sinusa i kosinusa za višekratnike kuta, sve dok su poznati trigonometrijski omjeri kuta.

Na isti se način može koristiti preciznije i manje zbunjujuće izraze za n-ti korijen složenog broja z, tako da je z ⁿ = 1.

Za dokazivanje Moivreovog teorema koristi se princip matematičke indukcije: ako cijeli broj "a" ima svojstvo "P" i ako je za bilo koji cijeli broj "n" veći od "a" koji ima svojstvo "P" Ispunjava da n + 1 također ima svojstvo "P", tada svi cijeli brojevi veći ili jednaki "a" imaju svojstvo "P".

Demonstracija

Dakle, dokaz teoreme vrši se sljedećim koracima:

Induktivna baza

Prvo se provjerava za n = 1.

Budući da je z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, teorema vrijedi za n = 1.

Induktivna hipoteza

Pretpostavlja se da je formula istinita za neki pozitivni cijeli broj, to jest, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verifikacija

Dokazano je da je istina za n = k + 1.

Budući da je z ^{k + 1} = z ^k _* z, tada je z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Tada se izrazi množe:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Na trenutak se zanemaruje faktor r ^{k + 1}, a uzima se uobičajeni faktor i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Kako je i ² = -1, zamjenjujemo ga u izrazu i dobivamo:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Sada su pravi i imaginarni dio naređeni:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Da bi se pojednostavio izraz, za kosinus i sinus primjenjuju se trigonometrijski identiteti zbroja kutova, a to su:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

U ovom su slučaju varijable kutovi Ɵ i kƟ. Primjenjujući trigonometrijske identitete, imamo:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

grijeh kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = grijeh (kƟ + Ɵ)

Na taj je način izraz:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Tako bi se moglo pokazati da je rezultat istinit za n = k + 1. Po principu matematičke indukcije zaključuje se da je rezultat istinit za sve pozitivne cijeli brojeve; to jest n ≥ 1.

Negativni cijeli broj

Moivreova teorema također se primjenjuje kada je n ≤ 0. Razmotrimo negativni cijeli broj «n»; tada se "n" može zapisati kao "-m", to jest, n = -m, gdje je "m" pozitivni cijeli broj. Tako:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Da bi dobili eksponent «m» na pozitivan način, izraz se piše obratno:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Sada se koristi da ako je z = a + b * i složen broj, tada je 1 z z = ab * i. Tako:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Koristeći taj cos (x) = cos (-x) i taj -sen (x) = sin (-x), imamo:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Dakle, može se reći da se teorem odnosi na sve cjelobrojne vrijednosti "n".

Riješene vježbe

Proračun pozitivnih moći

Jedna od operacija s kompleksnim brojevima u njihovom polarnom obliku je množenje od dva; u tom slučaju se moduli množe i argumenti se dodaju.

Ako imate dva složena broja z _{1 i} z ₂ i želite izračunati (z ₁ * z ₂) ², tada nastavite na sljedeći način:

z ₁ z ₂ = *

Distributivno svojstvo se odnosi na:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Oni su grupirani, uzimajući izraz "i" kao zajednički faktor izraza:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Kako je i ² = -1, on je supstituiran u izrazu:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Stvarni izrazi su pregrupirani u stvarni, a imaginarni s imaginarnim:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

I na kraju vrijede trigonometrijska svojstva:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

U zaključku:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Vježba 1

Zapišite složen broj u polarnom obliku ako je z = - 2 -2i. Zatim pomoću Moivreovog teorema izračunajte z ⁴.

Riješenje

Složeni broj z = -2 -2i izražava se u pravokutnom obliku z = a + bi, gdje:

a = -2.

b = -2.

Znajući da je polarni oblik z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), moramo odrediti vrijednost modula „r“ i vrijednost argumenta „Ɵ“. Budući da je r = √ (a² + b²), dane vrijednosti su supstituirane:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Zatim se za određivanje vrijednosti «Ɵ» primjenjuje oblik pravokutnika, koji je dan formulom:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Budući da je tan (Ɵ) = 1 i imamo <0, tada imamo:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kako su vrijednosti «r» i «Ɵ» već dobivene, složen broj z = -2 -2i može se izraziti u polarnom obliku zamjenom vrijednosti:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Sada koristimo Moivreovu teoremu za izračunavanje z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Vježba 2

Nađite proizvod složenih brojeva tako da ga izrazite u polarnom obliku:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Zatim izračunajte (z1 * z2) ².

Riješenje

Prvo se formira proizvod zadanih brojeva:

z ₁ z ₂ = *

Tada se moduli množe jedan s drugim i dodaju se argumenti:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Izraz je pojednostavljen:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Konačno, Moivreova teorija vrijedi:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Proračun negativnih sila

Da bismo podijelili dva složena broja z _{1 i} z ₂ u njihovom polarnom obliku, modul se dijeli, a argumenti oduzimaju. Dakle, kvocijent je z ₁ ÷ z ₂ i izražava se kako slijedi:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Kao i u prethodnom slučaju, ako želimo izračunati (z1 ÷ z2) ³, prvo se provodi podjela, a zatim se koristi Moivreova teorema.

Vježba 3

kockice:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), izračunati (z1 ÷ z2) ³.

Riješenje

Slijedom gore opisanih koraka može se zaključiti da:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
2. Croucher, M. (drugi). Iz Moivreove teoreme za trijaške identitete. Projekt demonstracija Wolframa.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematička enciklopedija.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra i trigonometrija.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (drugi). Linearna algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculation. Pearson Education.