Green „s teorem je metoda izračuna koristi se za povezivanje linija integrali dvostrukih integrala ili površine. Uključene funkcije moraju biti označene kao vektorska polja i definirane unutar putanje C.
Na primjer, linijski integralni izraz može biti vrlo teško riješiti; međutim provođenjem Greenova teorema dvostruki integrali postaju sasvim osnovni. Uvijek je važno poštovati pozitivni smjer putanje, to se odnosi na smjer suprotnom od kazaljke na satu.
Greenov teorem poseban je slučaj Stokesove teoreme, gdje se projekcija vektorske funkcije vrši u xy ravnini.
Definicija
Izraz Greenove teoreme je sljedeći:
Prvi pojam prikazuje liniju koja je definirana stazom "C" skalarnog produkta između vektorske funkcije "F" i vektora "r".
C: To je definirana staza na kojoj će se projicirati vektorska funkcija sve dok je definirana za tu ravninu.
F: Vektorska funkcija, gdje je svaka njezina komponenta definirana funkcijom kao takvom (f, g).
r: Vektorska tangenta na regiju R nad kojom je definiran integral. U ovom slučaju djelujemo s diferencijalom ovog vektora.
U drugom smo terminu vidjeli da je Greenov teorem razvijen, gdje je dvostruki integral definiran u području R razlike parcijalnih derivata g i f, s obzirom na x i y. Područjem razlike koja nije ništa drugo do proizvod obostranih dvodimenzionalnih diferencijala (dx.dy).
Ovaj je teorem savršeno primjenjiv za svemirske i površinske integrale.
Demonstracija
Da bi dokazali Greenin teorem na jednostavan način, ovaj zadatak će se raščlaniti na 2 dijela. Prije svega, pretpostavit ćemo da vektorska funkcija F ima samo definiciju u verziji i. Dok će funkcija "g" koja odgovara verzoru j biti jednaka nuli.
Autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Prvo razvijamo liniju integralnu preko puta C, za koju je staza podijeljena u 2 dijela koja idu prvo od a do b, a zatim od b do a.
Za određeni integral primijenjena je definicija temeljnog teorema izračuna.
Izraz je preuređen u jedan integral, negativan je zajednički faktor, a redoslijed faktora je obrnut.
Kada detaljno posmatramo ovaj izraz, postaje očito da smo kod primjene kriterija primitivne funkcije prisutni integral izraza izveden iz f u odnosu na y. Procjenjuje se u parametrima
Sada je dovoljno pretpostaviti da je vektorska funkcija F definirana samo za g (x, y) j. Kada se djeluje na način sličan prethodnom slučaju, dobiva se sljedeće:
Za kraj se uzimaju 2 dokaza i spajaju se u slučaju kada vektorska funkcija uzima vrijednosti za oba versora. Na taj je način prikazano kako se linijski integral nakon što je definiran i smatra jednodimenzionalnom putanjom može u potpunosti razviti za ravninu i prostor.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Na ovaj se način dokazuje Greenin teorem.
Prijave
Primjene Greenova teorema široke su grane fizike i matematike. One se proširuju na bilo koju aplikaciju ili upotrebu koja se može dati linijskoj integraciji.
Mehanički rad koji izvodi sila F kroz stazu C može se razviti linijskim integralom koji je Greenovim teoremom izražen dvostrukim integralom područja.
Trenuci inercije mnogih tijela izloženih vanjskim silama u različitim točkama primjene također odgovaraju na linijske integrale koji se mogu razviti Greenovim teoremom.
To ima višestruke funkcionalnosti u studijama otpornosti materijala koji se koriste. Ako se vanjske vrijednosti mogu kvantificirati i uzeti u obzir prije razvoja različitih elemenata.
Općenito, Greenov teorem olakšava razumijevanje i definiranje područja u kojima su vektorske funkcije definirane s obzirom na regiju na putu.
Povijest
Objavljeno je 1828. u radu Matematička analiza teorijama električne energije i magnetizma, koji je napisao britanski matematičar George Green. U njemu se istražuju prilično odlučujući odjeljci u primjeni računa u fizici, poput koncepta potencijalnih funkcija, Greenovih funkcija i primjene njegova istoimenog teorema.
George Green formalizirao je svoju studentsku karijeru u 40. godini života, do sada potpuno matematičar samouk. Nakon studija na Sveučilištu u Cambridgeu, nastavio je sa svojim istraživanjima, dajući doprinos u akustiku, optiku i hidrodinamici koji vrijede i danas.
Odnos s drugim teoremima
Greenin teorem je poseban slučaj i proizlazi iz dvije druge vrlo važne teoreme iz područja računice. To su teorem Kelvin-Stokes i divergencija ili Gauss Ostrogradski teorem.
Polazeći od bilo koje od dvije teoreme, može se doći do Greeninog teorema. Za razvijanje takvih dokaza potrebne su određene definicije i prijedlozi.
vježbe
- Sljedeća vježba pokazuje kako transformirati liniju integral u dvostruki integral u odnosu na područje R.
Izvorni izraz je sljedeći:
Odakle su preuzete odgovarajuće funkcije af i g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Ne postoji jedinstveni način definiranja granica integracije pri primjeni Greeninog teorema. Ali postoje načini na kojima integrali nakon što se definiraju mogu biti jednostavniji. Stoga optimizacija granica integracije zaslužuje pozornost.
Gdje pri rješavanju integrala dobivamo:
Ova vrijednost odgovara u kubičnim jedinicama području ispod funkcije vektora i preko trokutaste regije koja je definirana s C.
U slučaju cjelovitog retka bez provođenja Greenove metode, bilo bi potrebno parametrizirati funkcije u svakom odjeljku regije. To jest, za rezoluciju izvedite 3 parametrizirana integrala. To je dovoljan dokaz učinkovitosti koju je Robert Green svojim teoremom donio u računici.
Reference
- Uvod u mehaniku kontinuiteta. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. srpnja. 2009
- Multivarijantni račun. James Stewart. Cengage Learning, 22. ožujka 2011
- Neformalna povijest Greenove teoreme i pridružene ideje. James Joseph Cross. Odjel za matematiku, Sveučilište u Melbourneu, 1975
- Izvođenje topline pomoću zelenih funkcija. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. srpnja 2010
- Primjena Greenove teoreme za ekstremizam linearnih integrala. Obrambeno tehnički informativni centar, 1961