TEOREM POSTOJANJA I JEDINSTVENOSTI: DOKAZ, PRIMJERI I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Postojanje i jedinstvenost teorem uspostavlja potrebne i dovoljne uvjete za diferencijalne jednadžbe prvog reda, s određenom početnom stanju, da ima rješenje i za to rješenje biti samo jedan.

Međutim, teorem ne daje nikakvu tehniku ​​ili naznaku kako pronaći takvo rješenje. Teorem postojanja i jedinstvenosti također se proširuje na diferencijalne jednadžbe višeg reda s početnim uvjetima, što je poznato kao Cauchyjev problem.

Slika 1. Prikazana je diferencijalna jednadžba s početnim uvjetom i njegovim rješenjem. Teorem postojanja i jedinstvenosti jamči da je to jedino moguće rješenje.

Formalna izjava postojanja i jedinstvenosti teorema je sljedeća:

"Za diferencijalnu jednadžbu y '(x) = f (x, y) s početnim uvjetom y (a) = b, postoji barem jedno rješenje u pravokutnom području ravnine XY koje sadrži točku (a, b), ako je f (x, y) je kontinuiran u toj regiji. A ako je djelomična derivacija f u odnosu na y: g = ∂f / ∂y kontinuirana u istoj pravokutnoj regiji, tada je rješenje jedinstveno u susjedstvu točke (a, b) koja se nalazi u području kontinuiteta fy g. "

Korisnost ove teoreme prvo leži u saznanju koja su područja XY ravnine u kojoj rješenje može postojati, a također znajući je li pronađeno rješenje jedino moguće ili postoje druge.

Imajte na umu da u slučaju da uvjet jedinstvenosti nije zadovoljen, teorema ne može predvidjeti koliko rješenja ukupno ima Cauchyjev problem: možda je to jedno, dva ili više.

Dokaz postojanja i jedinstvenosti teorema

Slika 2. Charles Émile Picard (1856. - 1941.) zaslužan je za jedan od prvih dokaza teorema postojanja i jedinstvenosti. Izvor: Wikimedia Commons.

Za ovu teoremu poznata su dva moguća dokaza, jedan je dokaz Charlesa Émile Picarda (1856.-1941.), A drugi je zaslužan Giuseppe Peano (1858.-1932.) Temeljen na djelima Augustina Louisa Cauchija (1789-1857), Znakovito je da su u dokazu ove teoreme sudjelovali najbriljantniji matematički umovi 19. stoljeća, pa se može intuitivno zaključiti da nijedno od njih nije jednostavno.

Da bi se teorema službeno dokazala, potrebno je najprije uspostaviti niz naprednijih matematičkih koncepata, poput funkcija tipa Lipschitz, Banachovih prostora, teorema postojanja Carathéodoryja i nekoliko drugih, koji su izvan okvira članka.

Veliki dio diferencijalnih jednadžbi kojima se bavi fizika bavi se kontinuiranim funkcijama u područjima koja nas zanimaju, stoga ćemo se ograničiti na prikazivanje primjene teorema u jednostavnim jednadžbama.

Primjeri

- Primjer 1

Razmotrimo sljedeću diferencijalnu jednadžbu s početnim uvjetom:

y '(x) = - y; s y (1) = 3

Postoji li rješenje za ovaj problem? Je li to jedino moguće rješenje?

odgovori

Prije svega se procjenjuje postojanje rješenja diferencijalne jednadžbe te da ona ujedno ispunjava i početni uvjet.

U ovom primjeru f (x, y) = - i uvjet postojanja zahtijeva saznanje je li f (x, y) kontinuiran u području ravnine XY koja sadrži točku koordinata x = 1, y = 3.

Ali f (x, y) = - y je afinska funkcija, koja je kontinuirana u domenu realnih brojeva i postoji u čitavom rasponu stvarnih brojeva.

Stoga je zaključeno da je f (x, y) je kontinuirano istraživanje ², pa je teorem jamči postojanje barem jednog rješenja.

Znajući to, potrebno je procijeniti je li rješenje jedinstveno ili, naprotiv, ima ih više. Za to je potrebno izračunati parcijalni derivat f u odnosu na varijablu y:

Zatim g (x, y) = -1, što je stalna funkciju, koji je definiran za sve R ², a također je kontinuirano tamo. Iz toga slijedi da teorem postojanja i jedinstvenosti jamči da ovaj problem s početnom vrijednošću ima jedinstveno rješenje, iako nam ne govori o čemu se radi.

- Primjer 2

Razmotrimo sljedeću redovnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda s početnim uvjetom:

y '(x) = 2√y; i (0) = 0.

Postoji li rješenje y (x) za ovaj problem? Ako je odgovor da, utvrdite postoji li jedan ili više njih.

Odgovor

Smatramo da je funkcija f (x, y) = 2√y. Funkcija f je definirana samo za y≥0, jer znamo da negativnom broju nedostaje pravi korijen. Nadalje f (x, y) je kontinuirano u gornjoj ravnini pola R ², uključujući osi X, tako da se postojanje i jedinstvenost teorem garantira najmanje jedna otopina u navedenom području.

Sada je početni uvjet x = 0, y = 0 na rubu područja rješenja. Zatim uzmemo djelomičnu derivaciju f (x, y) u odnosu na y:

∂f / ∂y = 1 / √y

U ovom slučaju funkcija nije definirana za y = 0, upravo tamo gdje je početni uvjet.

Što nam govori teorem? To nam govori da iako znamo da postoji najmanje jedno rješenje u gornjoj polovini ravnine osi X, uključujući os X, budući da jedinstveni uvjet nije ispunjen, ne postoji jamstvo da će postojati jedinstveno rješenje.

To znači da bi moglo postojati jedno ili više rješenja u području kontinuiteta f (x, y). I kao i uvijek, teorema nam ne govori što bi mogli biti.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Riješite problem Cauchyja u primjeru 1:

y '(x) = - y; s y (1) = 3.

Pronađite funkciju y (x) koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu i početni uvjet.

Riješenje

U primjeru 1 utvrđeno je da ovaj problem ima rješenje i da je također jedinstven. Da bi se pronašlo rješenje, prvo što treba napomenuti je da je riječ o diferencijalnoj jednadžbi prvog stupnja razdvojivih varijabli prvog stupnja, koja je napisana na sljedeći način:

Podjelu između i u oba člana za razdvajanje varijabli koje imamo:

Neograničeni integral primjenjuje se u oba člana:

Rješavanje neodređenih integrala imamo:

gdje je C konstanta integracije koja je određena početnim uvjetom:

Zamjena vrijednosti C i preuređivanje ostaje:

Primjena sljedećeg svojstva logaritama:

Gornji izraz može se prepisati ovako:

Eksponencijalna funkcija s bazom e u oba člana primjenjuje se za dobivanje:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Što je ekvivalent:

y = 3e e ^-x

Ovo je jedinstveno rješenje jednadžbe y '= -y s y (1) = 3. Graf ovog rješenja prikazan je na slici 1.

- Vježba 2

Pronađite dva rješenja za problem postavljen u primjeru 2:

y '(x) = 2√ (y); i (0) = 0.

Riješenje

To je ujedno i jednadžba odvojivih varijabli koje, napisane u različitom obliku, izgledaju ovako:

dy / √ (y) = 2 dx

Uzimajući neodređeni integral u oba člana ostaje:

2 √ (y) = 2 x + C

Budući da znamo da je y≥0 u području rješenja, imamo:

y = (x + C) ²

Ali budući da je početni uvjet x = 0, y = 0 mora biti ispunjen, tada je konstanta C jednaka nuli i ostaje sljedeće rješenje:

y (x) = x ².

Ali ovo rješenje nije jedinstveno, funkcija y (x) = 0 je također rješenje za postavljeni problem. Teorem postojanja i jedinstvenosti primijenjen na ovaj problem u primjeru 2 već je predvidio da postoji više rješenja.

Reference

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Teorija uobičajenih diferencijalnih jednadžbi, New York: McGraw-Hill.
2. Matematička enciklopedija. Teorem Cauchy-Lipschitz. Oporavilo sa: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des aproksimacija sukcesiva aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Svezak 116, 1894, str. 454-457. Oporavak od: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picard-ova metoda sukcesivnih aproksimacija. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf teorem. Oporavak od: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementarne diferencijalne jednadžbe s aplikacijama.