Bolzano teorem kaže da ako je funkcija neprekidna u svakoj točki zatvorenom intervalu i uvjerio se da je slika „a” i „b” (pod funkciji) imaju suprotan predznak, onda će se barem jedan bod " c "u otvorenom intervalu (a, b), na način da će funkcija procijenjena u" c "biti jednaka 0.
Taj je teorem iznio filozof, teolog i matematičar Bernard Bolzano 1850. Ovaj znanstvenik, rođen u današnjoj Češkoj, bio je jedan od prvih matematičara u povijesti koji je formalno dokazao svojstva kontinuiranih funkcija.
Obrazloženje
Bolzanoov teorem poznat je i kao teorem srednjih vrijednosti, koji pomaže u određivanju specifičnih vrijednosti, posebno nula, određenih stvarnih funkcija realne varijable.
U datoj funkciji f (x) se nastavlja - to jest, da su f (a) i f (b) povezani krivuljom-, gdje je f (a) ispod osi x (negativna je), a f (b) od iznad osi x (pozitivno je), ili obrnuto, grafički će na osi x biti granična točka koja će predstavljati intermedijarnu vrijednost «c», koja će biti između «a» i «b», i vrijednost f (c) bit će jednak 0.
Kada se grafički analizira Bolzanov teorem, može se vidjeti da će za svaku kontinuiranu funkciju f definiranu na intervalu, gdje je f (a) * f (b) manji od 0, postojati barem jedan korijen «c» te funkcije unutar intervala (a, b).
Ova teorema ne utvrđuje broj točaka u tom otvorenom intervalu, samo navodi da postoji barem 1 bod.
Demonstracija
Da bi se dokazao Bolzanoov teorem, pretpostavlja se bez gubitka općenitosti da je f (a) <0 i f (b)> 0; dakle, može biti mnogo vrijednosti između "a" i "b" za koje je f (x) = 0, ali samo jedna mora biti prikazana.
Započinjemo ocjenom f u sredini (a + b) / 2. Ako je f ((a + b) / 2) = 0, dokaz se ovdje završava; u suprotnom, tada je f ((a + b) / 2) pozitivan ili negativan.
Odabrana je jedna polovica intervala, tako da su znakovi funkcije procijenjeni u krajnostima različiti. Taj novi interval će biti.
Ako, ako vrijednost f ocijenjena na sredini nije jednaka nuli, izvodi se ista operacija kao i prije; odnosno odabrana je polovica tog intervala koja ispunjava uvjet znakova. Neka ovo bude novi interval.
Ako nastavite s ovim postupkom, imat ćete dvije sekvence {an} i {bn}, tako da:
{an} se povećava, a {bn} smanjuje:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Ako računate duljinu svakog intervala, morat ćete:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Stoga je granica kako se n približava beskonačnosti (bn-an) jednaka 0.
Koristeći to da se {an} povećava i ograničava, a {bn} se smanjuje i ograničava, imamo vrijednost «c» takva da:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Granica an je "c", a granica {bn} je također "c". Stoga, s obzirom na bilo koji δ> 0, uvijek postoji "n" takav da se interval nalazi unutar intervala (c-δ, c + δ).
Sada se mora pokazati da je f (c) = 0.
Ako je f (c)> 0, tada je f kontinuiran, postoji ε> 0 takav da je f pozitivan tijekom cijelog intervala (c - ε, c + ε). Međutim, kao što je gore spomenuto, postoji vrijednost "n" takva da f mijenja prijavu i, osim toga, sadrži unutar (c - ε, c + ε), što je kontradikcija.
Ako je f (c) <0, tada je f kontinuiran, postoji ε> 0 takav da je f negativan kroz cijeli interval (c - ε, c + ε); ali postoji vrijednost "n" takva da f mijenja prijavu. Ispada da je ona sadržana unutar (c - ε, c + ε), što je također kontradikcija.
Stoga je f (c) = 0 i to smo željeli dokazati.
Čemu služi?
Iz svoje grafičke interpretacije, Bolzanov teorem koristi se za pronalaženje korijena ili nula u kontinuiranoj funkciji, kroz bisekciju (aproksimaciju), što je inkrementalna metoda pretraživanja koja uvijek dijeli intervale na 2.
Zatim se uzima interval ili gdje se događa promjena znaka i postupak se ponavlja sve dok interval nije manji i manji kako bi se mogao pristupiti željenoj vrijednosti; to jest na vrijednost koju funkcija čini 0.
Ukratko, da biste primijenili Bolzanov teorem i tako pronašli korijene, ograničili nule funkcije ili dali rješenje jednadžbi, provode se sljedeći koraci:
- Provjerava se je li f kontinuirana funkcija na intervalu.
- Ako interval nije dan, mora se naći tamo gdje je funkcija kontinuirana.
- Provjerava se ako krajnosti intervala daju suprotne znakove kada se ocjenjuju u f.
- Ako se ne dobiju suprotni znakovi, interval se mora podijeliti u dva podintervala pomoću srednje točke.
- Ocijenite funkciju u sredini i provjerite je li ispunjena Bolzanova hipoteza, gdje je f (a) * f (b) <0.
- Ovisno o znaku (pozitivnoj ili negativnoj) pronađene vrijednosti, postupak se ponavlja s novim podinvalom dok se prethodno ne ispuni spomenuta hipoteza.
Riješene vježbe
Vježba 1
Utvrdite ima li funkcija f (x) = x 2 - 2 u intervalu najmanje jedno stvarno rješenje.
Riješenje
Imamo funkciju f (x) = x 2 - 2. Budući da je polinom, to znači da je kontinuirana u bilo kojem intervalu.
Od njega se traži da utvrdi ima li stvarno rješenje u intervalu, tako da je sada samo potrebno zamijeniti krajeve intervala u funkciji kako bi znali znak tih i znali ispunjavaju li uvjet da su različiti:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativno)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitivno)
Stoga je znak f (1) ≠ znak f (2).
To osigurava da postoji barem jedna točka "c" koja pripada intervalu, u kojem je f (c) = 0.
U tom se slučaju vrijednost „c“ može lako izračunati na sljedeći način:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Dakle, √2 ≈ 1,4 pripada intervalu i ispunjava da je f (√2) = 0.
Vježba 2
Pokažite da jednadžba x 5 + x + 1 = 0 ima barem jedno stvarno rješenje.
Riješenje
Prvo napomenimo da je f (x) = x 5 + x + 1 polinomna funkcija, što znači da je kontinuirana na svim stvarnim brojevima.
U ovom slučaju nije dat interval, tako da vrijednosti moraju biti odabrane intuitivno, po mogućnosti blizu 0, kako bi se procijenila funkcija i pronašli promjene znaka:
Ako koristite interval, morate:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Kako nema znakova promjene, postupak se ponavlja s još jednim intervalom.
Ako koristite interval, morate:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
U ovom intervalu dolazi do promjene znaka: znak f (-1) ≠ znak f (0), što znači da funkcija f (x) = x 5 + x + 1 ima barem jedan pravi korijen «c» u intervalu, tako da je f (c) = 0. Drugim riječima, istina je da x 5 + x + 1 = 0 ima stvarno rješenje u intervalu.
Reference
- Bronshtein I, SK (1988). Priručnik matematike za inženjere i studente., Uredništvo MIR.
- George, A. (1994). Matematika i um. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematička analiza. U tri sveska.,
- Jesús Gómez, FG (2003). Učitelji srednjoškolskog obrazovanja. Svezak II. LUD.
- Mateos, ML (2013). Osnovna svojstva analize u R. Editores, 20. prosinca.
- Piskunov, N. (1980). Diferencijalni i integralni račun.,
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika za ekonomsku analizu. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (drugi). Kontinuirana simetrija: od Euklida do Kleina. Američki matematički soc.