- Demonstracija
- Kako se to rješava?
- Raspadanje u jednostavne frakcije
- Povijest
- vježbe
- Vježba 1
- Vježba 2
- Reference
Zbroj teleskopska je grana operacije numerički niz. Bavi se zbrajanjem elemenata od početne vrijednosti do „n” izraza čiji argument se pokorava bilo kojem od sljedećih obrazaca:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Kao i:
Izvor: Pixabay.com
Predstavljaju zbroj elemenata koji se, kad se razviju, podvrgnu otkazivanju suprotnih izraza. Omogućavanje definiranja sljedeće jednakosti za teleskopske sumacije:
Ime mu dolazi od povezanosti s pojavom klasičnog teleskopa koji se mogao saviti i razviti, napose mijenjajući svoju dimenziju. Na isti se način teleskopske svote, koje su beskonačne prirode, mogu sažeti u pojednostavljenom izrazu:
F 1 - F n + 1
Demonstracija
Pri razvoju zbrajanja pojmova uklanjanje čimbenika je sasvim očito. Ako će se za svaki slučaj pojaviti suprotni elementi u sljedećoj se iteraciji.
Kao primjer ćemo uzeti prvi slučaj (F x - F x + 1), jer postupak djeluje na homologan način za (F x + 1 –F x).
Razvijajući prve 3 vrijednosti {1, 2, 3} uočava se trend pojednostavljenja
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
Gdje pri izražavanju zbroja opisanih elemenata:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Uočeno je da su pojmovi F 2 i F 3 opisani zajedno sa suprotnostima, što pojednostavljenje čini neizbježnim. Na isti se način primjećuje da se održavaju izrazi F 1 i F 4.
Ako je zbroj napravljen od x = 1 do x = 3, to znači da element F 4 odgovara generičkom pojmu F n + 1.
Tako demonstrirajući jednakost:
Kako se to rješava?
Svrha teleskopskih sažetaka je olakšati rad, tako da nije potrebno razvijati beskonačan broj pojmova ili pojednostaviti neki lanac dodataka koji je predug.
Za njezino rješavanje bit će potrebno samo procijeniti izraze F 1 i F n + 1. Ove jednostavne zamjene čine konačni rezultat zbrajanja.
Ukupnost izraza neće biti izražena, jer će ona postati nužna samo za demonstraciju rezultata, ali ne i za uobičajeni postupak izračuna.
Važno je primijetiti konvergenciju nizova brojeva. Ponekad argument zbrajanja neće biti izražen teleskopski. U tim je slučajevima primjena alternativnih metoda faktoringa vrlo česta.
Karakteristična metoda faktorizacije u teleskopskim dodavanjima je ona jednostavnih frakcija. To se događa kada se originalni frakcija razgradi u zbroj nekoliko frakcija, gdje se može promatrati teleskopski uzorak (F x - F x + 1) ili (F x + 1 - F x).
Raspadanje u jednostavne frakcije
Za provjeru konvergencije numeričkih nizova vrlo je česta transformacija racionalnih izraza metodom jednostavne frakcije. Cilj je oblikovati zaplet u oblik teleskopskog zbrajanja.
Na primjer, sljedeća jednakost predstavlja raspadanje na jednostavne frakcije:
Pri razvoju nizova brojeva i primjeni odgovarajućih svojstava, izraz ima sljedeći oblik:
Tamo gdje se cijeni teleskopski oblik (F x - F x + 1).
Postupak je prilično intuitivan i sastoji se od pronalaženja vrijednosti brojnika koje nam, bez narušavanja jednakosti, omogućuju odvajanje proizvoda pronađenih u nazivniku. Jednadžbe koje nastaju pri određivanju tih vrijednosti postavljaju se prema usporedbama obje strane jednakosti.
Ovaj postupak se promatra korak po korak u razvoju vježbe 2.
Povijest
Sasvim je nesigurno biti u stanju definirati povijesni trenutak u kojem su prikazani teleskopski sažeci. Međutim, njegova primjena počinje se viđati u sedamnaestom stoljeću, u studijama numeričkih serija koje su proveli Leibniz i Huygens.
Obojica matematičara, istražujući zbrajanje trokutastih brojeva, počinju primjećivati trendove konvergencije određenih serija uzastopnih elemenata. No još je zanimljiviji početak modeliranja tih izraza, u elementima koji ne moraju nužno slijediti jedan drugoga.
Zapravo, ranije upotrijebljeni izraz za označavanje jednostavnih frakcija:
Uveo ga je Huygens i odmah privukao Leibnizovu pažnju. Tko je s vremenom mogao promatrati konvergenciju vrijednosti 2. Ne znajući za to, implementirao je teleskopski format zbrajanja.
vježbe
Vježba 1
Odredite za koji se termin konvertira sljedeća suma:
Pri ručnom razvoju zbroja primjećuje se sljedeći obrazac:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6).,,, (2 10 - 2 11)
Tamo gdje faktori od 2 4 do 2 10 predstavljaju pozitivne i negativne dijelove, čineći njihovo otkazivanje očiglednim. Tada će jedini faktori koji neće biti pojednostavljeni biti prvi "2 3 " i posljednji "2 11 ".
Na taj se način, pri provedbi kriterija zbrajanja teleskopskim, postiže sljedeće:
Vježba 2
Pretvorite argument u zbroj teleskopskog tipa i definirajte konvergenciju niza:
Kao što je navedeno u izjavi, prvo što treba učiniti je razgraditi u jednostavne frakcije, kako bi se argument ponovno pokrenuo i na teleskopski način izrazio.
Morate pronaći 2 ulomaka čiji su nazivnici respektivno "n" i "n + 1", pri čemu dolje korištena metoda mora dobiti vrijednosti brojnika koje zadovoljavaju jednakost.
Nastavljamo s definiranjem vrijednosti A i B. Prvo dodamo frakcije.
Potom su nazivnici pojednostavljeni i uspostavljena je linearna jednadžba.
U sljedećem koraku djeluje izraz na desnoj strani dok se ne postigne obrazac usporediv sa "3" na lijevoj strani.
Za definiranje jednadžbi koje se koriste, moraju se usporediti rezultati obje strane jednakosti. Drugim riječima, na lijevoj strani se ne opažaju vrijednosti varijable n, na taj način A + B će morati biti jednak nuli.
A + B = 0; A = -B
S druge strane, konstantna vrijednost A morat će biti jednaka konstantnoj vrijednosti 3.
A = 3
Tako.
A = 3 i B = -3
Jednom kada su vrijednosti brojnika za jednostavne ulomke već definirane, zbrajanje se ponovno pokreće.
Tamo gdje je već postignut generički oblik teleskopskog zbrajanja. Razvijena je teleskopska serija.
Gdje se pri dijeljenju s vrlo velikim brojem rezultat približava i približava nuli, promatrajući konvergenciju niza u vrijednost 3.
Ovu vrstu serija nije bilo moguće riješiti na bilo koji drugi način, zbog beskonačnog broja iteracija koje definiraju problem. Međutim, ova metoda, zajedno s mnogim drugim, uokviruje granu proučavanja numeričkih nizova čiji je cilj odrediti vrijednosti konvergencije ili definirati divergenciju navedenog niza.
Reference
- Lekcije za beskonačno izračunavanje. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integralni račun: redoslijedi i niz funkcija. Antonio Rivera Figueroa. Grupo uredništvo Patria, 21. listopada. 2014.
- Tečaj računanja i stvarne analize. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. lipnja. 2006.
- Beskonačna serija. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Elementi teorije beskonačnih procesa. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923. godine.