SVOJSTVA JEDNAKOSTI - MATEMATIKA - 2025

Na svojstva jednakosti odnose na odnos između dvaju matematičkih predmeta, da li su brojevi ili varijable. Označen je simbolom "=", koji uvijek ide između ta dva objekta. Izraz se koristi za utvrđivanje da dva matematička objekta predstavljaju isti objekt; drugim riječima, da su dva predmeta ista stvar.

Postoje slučajevi u kojima je trivijalno koristiti jednakost. Na primjer, jasno je da je 2 = 2. Međutim, kad su u pitanju varijable više nisu trivijalne i imaju specifičnu upotrebu. Na primjer, ako imamo da je y = x, a s druge strane x = 7, možemo zaključiti da je y = 7.

Gornji se primjer temelji na jednom od svojstava jednakosti, kao što ćete vidjeti uskoro. Ova su svojstva ključna za rješavanje jednadžbi (jednakosti koje uključuju varijable), koje čine vrlo važan dio matematike.

Koja su svojstva jednakosti?

Reflektivno svojstvo

Refleksivno svojstvo, u slučaju jednakosti, kaže da je svaki broj jednak sebi i da je izražen kao b = b za bilo koji stvarni broj b.

U konkretnom slučaju jednakosti ovo se svojstvo čini očiglednim, ali u drugim vrstama odnosa između brojeva to nije. Drugim riječima, ne postoji svaki odnos stvarnog broja s ovim svojstvom. Na primjer, takav slučaj odnosa "manje od" (<); nijedan broj nije manji od sebe.

Simetrično svojstvo

Simetrično svojstvo za jednakost kaže da ako je a = b, onda je b = a. Bez obzira koji se redoslijed koristi u varijablama, sačuvat će ga odnos jednakosti.

Izvrsna analogija ovog svojstva s svojstvom komutacije može se primijetiti u slučaju zbrajanja. Na primjer, zbog ovog svojstva ekvivalent je pisanju y = 4 ili 4 = y.

Prijelazno svojstvo

Prijelazno svojstvo o jednakosti kaže da ako su a = b i b = c, onda je a = c. Na primjer, 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; stoga po tranzitivnom svojstvu imamo da je 2 + 7 = 6 + 3.

Jednostavna aplikacija je sljedeća: pretpostavimo da Julian ima 14 godina i da je Mario iste dobi kao i Rosa. Ako je Rosa istog doba kao i Julián, koliko je star Mario?

Iza ovog scenarija tranzitno svojstvo koristi se dva puta. Matematički se to tumači na sljedeći način: neka "a" bude Mariovo doba, "b" doba Rosa i "c" doba Julijana. Poznato je da je b = c i da je c = 14.

Prijelaznim svojstvom imamo da je b = 14; odnosno Rosa ima 14 godina. Budući da su a = b i b = 14, koristeći ponovo svojstvo tranzitiva imamo da je a = 14; to jest, Mariova godina je također 14 godina.

Jedinstvena imovina

Jedinstveno svojstvo je da ako se obje strane jednakosti dodaju ili množe s istim iznosom, jednakost se čuva. Na primjer, ako je 2 = 2, tada je 2 + 3 = 2 + 3, što je jasno, jer je 5 = 5. Ovo svojstvo je najkorisnije kada pokušavate riješiti jednadžbu.

Na primjer, pretpostavimo da se od vas traži da riješite jednadžbu x-2 = 1. Prikladno je zapamtiti da se rješavanje jednadžbe sastoji iz eksplicitnog određivanja uključene varijable (ili varijable) na temelju određenog broja ili prethodno određene varijable.

Vraćajući se jednadžbi x-2 = 1, ono što morate učiniti je pronaći izričito koliko vrijedi x. Da biste to učinili, varijabla se mora očistiti.

Pogrešno je naučeno da u ovom slučaju, budući da je broj 2 negativan, s pozitivnim predznakom prelazi na drugu stranu jednakosti. Ali nije tačno to reći.

U osnovi, ono što radite je primjena jednoobraznog vlasništva, kao što ćemo vidjeti u nastavku. Ideja je očistiti "x"; to jest, ostavite ga na jednoj strani jednadžbe. Po dogovoru se obično ostavlja na lijevoj strani.

U tu svrhu, broj koji treba "eliminirati" je -2. Način za to bio bi dodavanjem 2, jer je -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Da bi se to postiglo bez promjene jednakosti, ista se operacija mora primijeniti i na drugoj strani.

To nam omogućuje da shvatimo jednolično svojstvo: budući da je x-2 = 1, ako se na obje strane jednakosti doda broj 2, jednolično svojstvo kaže da nije izmijenjeno. Tada imamo taj x-2 + 2 = 1 + 2, što je ekvivalentno kazivanju da je x = 3. S tim bi jednadžba bila riješena.

Slično tome, ako želite riješiti jednadžbu (1/5) y-1 = 9, možete nastaviti s uniformnim svojstvom kako slijedi:

Općenitije, mogu se dati sljedeće izjave:

- Ako je ab = cb, tada je a = c.

- Ako je xb = y, onda je x = y + b.

- Ako je (1 / a) z = b, tada je z = a ×

- Ako je (1 / c) a = (1 / c) b, tada je a = b.

Otkazivanje imovine

Svojstvo otkazivanja je poseban slučaj jednoobraznog svojstva, posebno imajući u vidu slučaj oduzimanja i podjele (koji u osnovi također odgovaraju zbrajanju i množenju). Ova nekretnina ovaj slučaj tretira odvojeno.

Na primjer, ako je 7 + 2 = 9, onda je 7 = 9-2. Ili ako je 2y = 6, onda je y = 3 (dijeljenje s dva na obje strane).

Analogno prethodnom slučaju, putem svojstva otkaza mogu se utvrditi sljedeće izjave:

- Ako je a + b = c + b, tada je a = c.

- Ako je x + b = y, onda je x = yb.

- Ako je az = b, tada je z = b / a.

- Ako je ca = cb, tada je a = b.

Imovina supstitucije

Ako znamo vrijednost matematičkog objekta, svojstvo supstitucije kaže da se ta vrijednost može zamijeniti u bilo kojoj jednadžbi ili izrazu. Na primjer, ako je b = 5 i a = bx, zamjenjujući vrijednost "b" u drugoj jednakosti imamo da je a = 5x.

Drugi primjer je sljedeći: ako "m" dijeli "n" i također "n" dijeli "m", tada moramo imati to m = n.

Doista, reći da "m" dijeli "n" (ili ekvivalentno, da je "m" djelitelj od "n") znači da je podjela m ÷ n točna; to jest, dijeljenje "m" na "n" daje cijeli broj, a ne decimalnu. To se može izraziti tvrdnjom da postoji cijeli broj "k" takav da je m = k × n.

Budući da "n" također dijeli "m", tada postoji cijeli broj "p" takav da je n = p × m. Zbog svojstva supstitucije imamo da je n = p × k × n, a da se to dogodi postoje dvije mogućnosti: n = 0, u kojem bi slučaju imali identitet 0 = 0; op × k = 1, otuda je identitet n = n.

Pretpostavimo da je "n" nula. Tada je nužno p × k = 1; dakle, p = 1 i k = 1. Koristeći svojstvo supstitucije ponovo, zamjenom k ​​= 1 u jednakosti m = k × n (ili ekvivalentno p = 1 u n = p × m), konačno dobivamo taj m = n, što smo željeli dokazati.

Moć moći u jednakosti

Kao što je ranije viđeno da ako se operacija poput zbrajanja, množenja, oduzimanja ili podjele vrši u oba slučaja jednakosti, ona se sačuva, na isti način mogu se primijeniti i druge operacije koje ne mijenjaju jednakost.

Ključno je uvijek izvoditi na obje strane jednakosti i unaprijed se uvjeriti da se operacija može izvesti. Takav je slučaj osnaživanja; to jest, ako su obje strane jednačine podignute na istu snagu, još uvijek imamo jednakost.

Na primjer, budući da je 3 = 3, pa je 3 ² = 3 ² (9 = 9). Općenito, s obzirom na cijeli broj "n", ako je x = y, onda je x ⁿ = y ⁿ.

Root svojstvo u jednakosti

To je poseban slučaj osnaživanja i primjenjuje se kada je snaga ne-cijeli racionalni broj, poput ½, koji predstavlja kvadratni korijen. Ovo svojstvo kaže da ako se isti korijen primijeni na obje strane jednakosti (kad god je to moguće), jednakost se čuva.

Za razliku od prethodnog slučaja, ovdje morate biti oprezni s paritetom korijena koji se primjenjuje, jer je dobro poznato da čak ni korijen negativnog broja nije dobro definiran.

U slučaju da je radikal jednak, nema problema. Na primjer, ako je x ³ = -8, iako je to jednakost, na primjer, ne možete primijeniti kvadratni korijen na obje strane. Međutim, ako možete primijeniti kocku kocke (što je još prikladnije ako želite eksplicitno znati vrijednost x), čime ćete dobiti x = -2.

Reference

1. Aylwin, CU (2011). Logika, skupovi i brojevi. Mérida - Venezuela: Vijeće za publikacije, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
3. Lira, ML (1994). Simon i matematika: matematički tekst za drugi razred: knjiga učenika. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematičke aktivnosti i igre s Miguelom i Luciom. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., i Preciado, M. (1985). 2. tečaj matematike. Urednički Progreso.