SFERNE KOORDINATE: PRIMJERI I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

U sferne koordinate su skup točaka lokaciji u trodimenzionalnom prostoru koji se sastoji od radijalne koordinirati i dvije ugaone koordinate nazivaju polarni koordinatni i azimutalna koordinirati.

Slika 1, koju vidimo dolje, prikazuje sferne koordinate (r, θ, φ) točke M. Te se koordinate nazivaju ortogonalnim sustavom kartezijanskih osi X, Y, Z podrijetla O.

Slika 1. Sferne koordinate (r, θ, φ) točke M. (wikimedia commons)

U ovom je slučaju koordinata r točke M udaljenost od te točke do ishodišta O. Polarna koordinata θ predstavlja kut između pozitivne poluosi Z i vektora polumjera OM. Dok je azimutna koordinata φ kut između pozitivne poluosi X i vektora radijusa OM ', gdje je M' ortogonalna projekcija M na ravnini XY.

Radialna koordinata r uzima samo pozitivne vrijednosti, ali ako se točka nalazi na početku, r = 0. Polarna koordinata θ uzima minimalnu vrijednost 0º za točke smještene na pozitivnoj poluosi Z, a maksimalna vrijednost 180º za točke nalazi se na negativnoj poluosi Z. Konačno, azimutna koordinata φ uzima minimalnu vrijednost 0º i maksimalnu visinu od 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Promjena koordinata

Dat će formule koje omogućuju dobivanje kartezijanskih koordinata (x, y, z) točke M pod pretpostavkom da su poznate sferne koordinate iste (r, θ, φ) točke:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Na isti je način korisno pronaći odnose koji idu od kartezijanskih koordinata (x, y, z) određene točke do sfernih koordinata navedene točke:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorska baza u sfernim koordinatama

Od sfernih koordinata definirana je ortonormalna osnova osnovnih vektora koja su označena s Ur, Uθ, Uφ. Na slici 1 prikazana su ova tri jedinična vektora koja imaju sljedeće karakteristike:

- Ur je jedinični vektor tangenta na radijalnu liniju θ = ctte i φ = ctte;

- Uθ je jedinični vektor tangenta na luk φ = ctte i r = ctte;

- Uφ je jedinični vektor tangenta na luk r = ctte i θ = ctte.

Elementi linija i volumena u sfernim koordinatama

Vektor pozicije točke u prostoru u sfernim koordinatama piše ovako:

r = r Ur

Ali infinitezimalna varijacija ili pomicanje točke u trodimenzionalnom prostoru, u ovim koordinatama, izražava se sljedećim odnosom vektora:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Napokon, infinitezimalni volumen dV u sfernim koordinatama piše ovako:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Ovi su odnosi vrlo korisni za izračunavanje integrala linija i volumena u fizičkim situacijama koje imaju sfernu simetriju.

Odnos s geografskim koordinatama

Pod geografskim koordinatama podrazumijevaju se one koje služe za pronalaženje mjesta na zemljinoj površini. Ovaj sustav koristi koordinate zemljopisne širine i dužine za pronalaženje položaja na površini Zemlje.

U zemljopisnom koordinatnom sustavu pretpostavlja se da je zemaljska površina sferna s polumjerom Rt, iako je poznato da je spljoštena na polovima, a razmatra se niz imaginarnih linija nazvanih paralele i meridijani.

Slika 2. Zemljopisna širina α i širina β promatrača na zemljinoj površini.

Zemljopisna širina β je kut formiran polumjerom koji počinje od središta Zemlje do točke koju želite pozicionirati. Ona se mjeri iz ekvatorijalne ravnine, kao što je prikazano na slici 2. S druge strane, dužina α je kut koji oblikuje meridijan točke koja se nalazi u odnosu na nulti meridijan (poznat kao Greenwich-ov meridijan).

Zemljopisna širina može biti sjeverna ili južna, ovisno o tome nalazi li se mjesto na sjevernoj ili na južnoj. Slično tome, zemljopisna dužina može biti zapadna ili istočna, ovisno o tome je li lokacija zapadna ili istočna od nultog meridijana.

Formule za promjenu od geografskih do sfernih

Za dobivanje ovih formula prva je stvar uspostaviti koordinatni sustav. Ravnina XY odabrana je tako da se podudara s ekvatorijalnom ravninom, pozitivna X poluos je ona koja ide iz središta Zemlje i prolazi kroz nulti meridijan. Zauzvrat, osi Y prolazi kroz meridijan 90 ° E. Zemljina površina ima polumjer Rt.

Transformacije iz zemljopisnog u sferni sustav izgledaju ovako:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Primjeri

Primjer 1

Zemljopisne koordinate Palma de Mallorca (Španjolska) su:

Istočna dužina 38.847º, a sjeverna širina 39.570º. Za određivanje sfernih koordinata koje odgovaraju Palma de Majorci, primjenjuje se prva od formula u prethodnom odjeljku:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Dakle, sferne koordinate su:

Palma de Majorka: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

U prethodnom odgovoru r uzet je jednak prosječnom polumjeru Zemlje.

Primjer 2

Znajući da otoci Malvinas (Falkland) imaju geografske koordinate 59 ° O 51,75 ° S, odredite odgovarajuće polarne koordinate. Zapamtite da osi X ide od središta Zemlje do meridijana 0 ° i u ekvatorijalnoj ravnini; os Y također u ekvatorijalnoj ravnini i prolazi kroz zapadni meridijan 90 °; konačno osi Z na Zemljinoj osi rotacije u smjeru jug-sjever.

Da bismo pronašli odgovarajuće sferne koordinate, koristimo formule predstavljene u prethodnom odjeljku:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) što je

Malvine: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

vježbe

Vježba 1

Pronađite kartezijanske koordinate Palma de Mallorca u XYZ kartezijanskom referentnom sustavu prikazanom na slici 2.

Rješenje: Prije toga, u primjeru 1, sferne koordinate dobivene su počevši od geografskih koordinata Palme de Mallorca. Formule predstavljene gore mogu se prebaciti od sfernih do kartezijanskih:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Izvođenje odgovarajućih izračuna imamo:

Palma de Majorka: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Vježba 2

Pronađite kartezijanske koordinate Folklandskih otoka u XYZ kartezijanskom referentnom sustavu prikazanom na slici 2.

Rješenje: Prije toga, u primjeru 2, sferne koordinate dobivene su počevši od geografskih koordinata Malvinskih otoka. Formule predstavljene gore mogu se prebaciti od sfernih do kartezijanskih:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Izvodeći odgovarajuće proračune, dobivamo:

Folklandski otoci: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Reference

1. Arfken G i Weber H. (2012). Matematičke metode za fizičare. Opsežan vodič. 7. izdanje. Akademska štampa. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Riješeni problemi cilindričnih i sfernih koordinata. Oporavak od: izračuna.cc
3. Radionica iz astronomije. Zemljopisna širina i dužina. Oporavilo od: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sferne koordinate." S MathWorld-a Wolfram Weba. Oporavak od: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sferni koordinatni sustav. Oporavilo sa: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorska polja u cilindričnim i sfernim koordinatama. Oporavilo sa: en.wikipedia.com