KVADRATNI NIZOVI: PRIMJERI, PRAVILA I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

U kvadratne nasljeđivanje, u matematičkim terminima, sastoji se od nizova brojeva koji slijede određeni pravila aritmetike. Zanimljivo je znati ovo pravilo da se utvrdi bilo koji izraz niza.

Jedan od načina za to je utvrditi razliku između dva uzastopna termina i vidjeti hoće li se dobivena vrijednost uvijek ponavljati. Kad je to slučaj, kaže se da je to redovan slijed.

Nizovi broja su način organiziranja niza brojeva. Izvor: pixabay.com

Ali ako se to ne ponovi, tada možete pokušati ispitati razliku između razlika i vidjeti je li ta vrijednost konstantna. Ako je tako, onda je to kvadratni slijed.

Primjeri pravilnih nizova i kvadratnih nizova

Sljedeći primjeri pomažu u rasvjetljavanju onoga što je dosad objašnjeno:

Primjer redovitog sukcesije

Neka je niz S = {4, 7, 10, 13, 16,……}

Taj niz, označen sa S, je beskonačni skup broja, u ovom slučaju cijeli brojevi.

Može se vidjeti da je to redovan niz, jer je svaki pojam dobiven dodavanjem 3 prethodnom pojmu ili elementu:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Drugim riječima: ovaj je slijed redovan jer razlika između sljedećeg i prethodnog izraza daje fiksnu vrijednost. U navedenom primjeru ova vrijednost je 3.

Uobičajeni nizovi koji se dobiju dodavanjem fiksne količine prethodnom izrazu također se nazivaju aritmetičkim progresijama. A razlika - konstantna - između uzastopnih izraza naziva se omjer i označava se kao R.

Primjer neredovitog i kvadratnog niza

Pogledajte slijedeći niz:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Kad se izračunaju uzastopne razlike, dobivaju se sljedeće vrijednosti:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Njihove razlike nisu stalne, pa se može reći da je to NE pravilan slijed.

Međutim, ako razmotrimo skup razlika, imamo drugi niz koji ćemo označiti kao S _diff:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ovaj novi niz je doista redovan slijed, jer se svaki pojam dobiva dodavanjem fiksne vrijednosti R = 2 prethodnom. Zato možemo potvrditi da je S kvadratni slijed.

Opće pravilo za izgradnju kvadratnog niza

Postoji opća formula za izgradnju kvadratnog niza:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

U ovoj formuli _Tn je termin na položaju n niza. A, B i C su fiksne vrijednosti, dok n varira jedna za drugom, to jest 1, 2, 3, 4,…

U nizu S iz prethodnog primjera A = 1, B = 1 i C = 0. Odatle proizlazi da je formula koja generira sve pojmove: T _n = n ² + n

To znači:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Razlika između dva uzastopna izraza kvadratnog niza

T _{n + 1} - T _n = -

Razvijanje izraza kroz izvanredan proizvod ostaje:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Pojednostavljujući ga, dobivate:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Ovo je formula koja daje slijed razlika S _Dif koja se može napisati ovako:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Ako je jasno, sljedeći je pojam 2 ∙ Ponekad prethodni. Odnosno, omjer redoslijeda razlika S _di je: R = 2 ∙ A.

Riješeni problemi kvadratnih nizova

Vježba 1

Neka je niz S = {1, 3, 7, 13, 21,……}. Utvrdite da li:

i) Je li to redovito ili nije

ii) je li kvadratno ili ne

iii) Bila je kvadratna, slijed razlika i njihov omjer

odgovori

i) Izračunajmo razliku između sljedećih i prethodnih izraza:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Možemo potvrditi da niz S nije redovan, jer razlika između uzastopnih izraza nije konstantna.

ii) Slijed razlika je pravilan, jer je razlika između njegovih izraza konstantna vrijednost 2. Stoga je izvorni niz S kvadratni.

iii) Već smo utvrdili da je S kvadratna, slijed razlika je:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} i njegov omjer je R = 2.

Vježba 2

Neka je niz S = {1, 3, 7, 13, 21,……} iz prethodnog primjera, gdje je provjereno da je kvadratni. odrediti:

i) Formula koja određuje opći pojam T _n.

ii) Provjerite treći i peti izraz.

iii) Vrijednost desetog pojma.

odgovori

i) Opća formula T _n je A ∙ n ² + B ∙ n + C. Tada ostaje znati vrijednosti A, B i C.

Slijed razlika ima omjer 2. Nadalje, za bilo koji kvadratni slijed omjer R je 2 ∙ A kao što je prikazano u prethodnim odjeljcima.

R = 2 ∙ A = 2 što nas upućuje na zaključak da je A = 1.

Prvi izraz u nizu razlika S _Dif je 2 i mora zadovoljiti A ∙ (2n + 1) + B, s n = 1 i A = 1, to jest:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

rješavajući za B dobivamo: B = -1

Tada je prvi izraz S (n = 1) vrijedan 1, to jest: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Kako već znamo da su A = 1 i B = -1, zamjenjujući imamo:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Rješavajući za C, dobivamo njegovu vrijednost: C = 1.

U sažetku:

A = 1, B = -1 i C = 1

Tada će n-ti termin biti T _n = n ² - n + 1

ii) Treći pojam T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 i to je provjereno. Peti T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 što je također provjereno.

iii) Deseti pojam bit će T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Vježba 3

Slijed područja za vježbu 3. Izvor: vlastiti elaborat.

Na slici je prikazan niz od pet figura. Rešetka predstavlja jedinicu duljine.

i) Odredite redoslijed područja slika.

ii) Pokažite da je to kvadratni slijed.

iii) Pronađite područje na slici br. 10 (nije prikazano).

odgovori

i) Slijed S koji odgovara području niza slika je:

S = {0, 2, 6, 12, 20,.,,,, }

ii) Slijed koji odgovara uzastopnim razlikama pojmova S je:

S _razl = {2, 4, 6, 8,.,,,, }

Kako razlika između uzastopnih izraza nije konstantna, tada S nije redovan niz. Ostaje nam znati je li kvadratna, zbog čega opet radimo slijed razlika, dobivajući:

{2, 2, 2, …….}

Budući da se svi termini sekvence ponavljaju, potvrđuje se da je S kvadratni slijed.

iii) Slijed S _dif je pravilan i njegov omjer R je 2. Koristeći jednadžbu prikazanu iznad R = 2 ∙ A, ostaje:

2 = 2 ∙ A, što znači da je A = 1.

Drugi pojam slijeda razlika S _Dif je 4, a deveti pojam S _Dif je

A ∙ (2n + 1) + B.

Drugi pojam ima n = 2. Pored toga, već je utvrđeno da je A = 1, pa koristeći prethodnu jednadžbu i supstituciju imamo:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Rješavajući za B, dobivamo: B = -1.

Poznato je da drugi pojam S vrijedi 2 i da mora ispunjavati formulu općeg pojma s n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

To bi trebalo reći

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Zaključuje se da je C = 0, to jest da formula koja daje opći pojam niza S je:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Sada je provjeren peti termin:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Slika # 10, koja ovdje nije nacrtana, imat će površinu koja odgovara desetom pojmu niza S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Reference

1. https://www.geogebra.org