AKSIJALNA SIMETRIJA: SVOJSTVA, PRIMJERI I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Aksijalni simetrija je kad točke na slici koincidiraju s točkama drugoj slici po ravnoj simetrala zove os simetrije. Naziva se i radijalnom, rotacijskom ili cilindričnom simetrijom.

Obično se primjenjuje na geometrijskim figurama, ali je u prirodi lako uočljivo jer postoje životinje poput leptira, škorpiona, bubamara ili ljudi koje pokazuju aksijalnu simetriju.

Aksijalna simetrija izložena je na ovoj fotografiji obrisa grada Toronta i njenom odrazu u vodi. (Izvor: pixabay)

Kako pronaći aksijalni simetrični

Da bi se pronašla aksijalna simetrija P 'točke P u odnosu na liniju (L), izvode se sljedeće geometrijske operacije:

1.- Okomica na liniju (L) koja prolazi kroz točku P.

2.- Presretanje dviju linija određuje točku O.

3.- Mjeri se duljina segmenta PO, zatim se ta duljina kopira na liniju (PO) počevši od O u smjeru od P do O, određujući točku P '.

4. - Točka P 'je osna simetrična točka P u odnosu na os (L), budući da je linija (L) bisektor segmenta PP', što je O središte točke spomenutog segmenta.

Slika 1. Dvije točke P i P 'su aksijalno simetrične prema osi (L) ako je navedena osovina bisektor odsječka PP'

Svojstva aksijalne simetrije

- Aksijalna simetrija je izometrijska, odnosno sačuvane su udaljenosti geometrijskog lika i odgovarajuće simetrije.

- Mjera ugla i njegova simetričnost su jednaki.

- Aksijalna simetrija točke na osi simetrije je sama točka.

- Simetrična linija pravca paralelna s osi simetrije također je linija paralelna s navedenom osi.

- Sekantna linija do osi simetrije ima kao simetrična linija još jednu sekantnu liniju koja zauzvrat presijeca os simetrije u istoj točki na izvornoj liniji.

- Simetrična slika crte je druga linija koja tvori kut s osi simetrije iste mjere kao i izvorna crta.

- Simetrična slika pravca okomito na os simetrije druga je linija koja preklapa prvu.

- Crta i njena aksijalna simetrična linija tvore kut čiji je bisektor osi simetrije.

Slika 2. Aksijalna simetrija čuva udaljenosti i kutove.

Primjeri aksijalne simetrije

Priroda pokazuje obilje primjera aksijalne simetrije. Na primjer, možete vidjeti simetriju lica, insekata poput leptira, odraz mirnih vodenih površina i ogledala ili lišća biljaka, između mnogih drugih.

Slika 3. Ovaj leptir pokazuje savršenu osnu simetriju. (Izvor: pixabay)

Slika 4. Lice ove djevojke ima osnu simetriju. (Izvor: pixabay)

Vježbe aksijalne simetrije

Vježba 1

Imamo trokut vrhova A, B i C čije su kartezijeve koordinate jednake A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3). Pronađite kartezijanske koordinate trokuta simetričnog oko osi Y (ordinatna os).

Rješenje: Ako točka P ima koordinate (x, y), tada je njena simetrična oko ordinatne osi (os Y) P '= (- x, y). Drugim riječima, vrijednost njegovog apscisnog znaka mijenja znak, dok vrijednost ordinata ostaje ista.

U ovom će slučaju simetrični trokut s vrhovima A ', B' i C 'imati koordinate:

A '= (- 2,5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3) kao što se može vidjeti na slici 6.

Slika 6. Ako tačka ima koordinate (x, y), njena simetrična u odnosu na os Y (ordinatna os) imat će koordinate (-x, y).

Vježba 2

U odnosu na trokut ABC i njegov simetrični A'B'C 'iz vježbe 1, provjerite da odgovarajuće stranice izvornog trokuta i njegove simetrične imaju jednaku duljinu.

Rješenje: Za pronalaženje udaljenosti ili duljine stranica koristimo se euklidskom formulom udaljenosti:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Duljina odgovarajuće simetrične strane A'B 'izračunava se ispod:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Na taj se način provjerava da aksijalna simetrija čuva udaljenost između dviju točaka. Postupak se može ponoviti za druge dvije strane trokuta i njegovu simetričnost za provjeru invarijance u duljini. Na primjer -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Vježba 3

U odnosu na trokut ABC i njegov simetrični A'B'C 'iz vježbe 1, provjerite da odgovarajući kutovi izvornog trokuta i njegova simetrična imaju istu kutnu mjeru.

Rješenje: Da bismo odredili mjere kutova BAC i B'A'C ', prvo ćemo izračunati skalarni produkt vektora AB s AC, a zatim skalarni proizvod A'B' s A'C '.

Sjećajući se toga:

A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3)

A '= (- 2,5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3).

Ima:

AB = <1-2, 1-5> i AC = <3-2, 3-5>

slično

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> i AC = <-3 + 2, 3-5>

Tada se pronalaze sljedeći skalarni proizvodi:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

slično

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Mjera kuta BAC je:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4,123-2236)) = 40,6º

Slično, mjera kuta B'A'C 'je:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4,123-2236)) = 40,6º

Zaključujući da aksijalna simetrija čuva mjeru kutova.

Vježba 4

Neka je točka P koordinata (a, b). Pronađite koordinate njegove osne simetrije P 'u odnosu na liniju y = x.

Rješenje: Nazvat ćemo (a ', b') koordinate simetrične točke P 'u odnosu na liniju y = x. Srednja točka M segmenta PP 'ima koordinate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) i nalazi se također na liniji y = x, tako da vrijedi sljedeća jednakost:

a + a '= b + b'

S druge strane, segment PP 'ima nagib -1, jer je okomit na liniju y = x s nagibom 1, pa vrijedi sljedeća jednakost:

b - b '= a' -a

Rješavajući za dvije prethodne jednakosti a 'i b', zaključuje se da:

a '= po tom b' = a.

To jest, s obzirom na točku P (a, b), njena osna simetrija u odnosu na liniju y = x je P '(b, a).

Reference

1. Arce M., Blázquez S i drugi. Transformacije ravnine. Oporavak od: educutmxli.files.wordpress.com
2. Izračun ccm. Aksijalna simetrija. Oporavak od: izračuna.cc
3. Superprof. Aksijalna simetrija. Oporavak od: superprof.es
4. wikipedia. Aksijalna simetrija. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Kružna simetrija. Oporavilo sa: en.wikipedia.com