SREDIŠNJA SIMETRIJA: SVOJSTVA, PRIMJERI I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Dvije točke A i A 'imaju središnju simetriju u odnosu na točku O kada segment AA' prođe kroz nju i to je također središte točke AA '. Točka O naziva se središtem simetrije.

Središnji simetrić trokuta ABC u odnosu na točku O, drugi je trokut A'B'C 'koji ima sljedeće karakteristike:

-Homologni segmenti su jednake duljine

- Njihovi odgovarajući kutovi imaju istu mjeru.

Slika 1. Trokut ABC i njegov simetrični A'B'C '. Izvor: F. Zapata.

Slika 1 prikazuje trokut ABC (crvena) i njegovu središnju simetriju A'B'C '(zelena), u odnosu na središte simetrije O.

Na toj istoj slici pažljivi promatrač shvatio bi da se isti rezultat postiže primjenom zakretanja izvornog trokuta, pod uvjetom da je 180 ° i usredotočen je na O.

Stoga je središnja simetrija jednaka zavoju od 180 ° u odnosu na središte simetrije.

Svojstva središnje simetrije

Središnja simetrija ima sljedeća svojstva:

-Središte simetrije je sredina segmenta koji spaja točku sa svojom simetrijom.

-Simetrična točka druge točke koja se nalazi u središtu simetrije podudara se sa središnjim dijelom simetrije.

-Srednji simetrični dio trokuta je kongruentni trokut (jednak) izvorniku.

-Slika središnjom simetrijom kruga je još jedan krug jednakog polumjera.

- Opseg ima središnju simetriju u odnosu na svoje središte.

Slika 2. Dizajn sa središnjom simetrijom. Izvor: Pixabay.

-Elipsa ima središnju simetriju u odnosu na svoje središte.

- Segment ima središnju simetriju u odnosu na njegovu sredinu.

-Pravoustrani trokut nema središnju simetriju u odnosu na njegovo središte, jer njegova simetrija, iako je skladna s prvom, daje zakrenut jednakostranični trokut.

- Trgovi imaju središnju simetriju u odnosu na njihovo središte.

-Pentagon nema središnju simetriju u odnosu na svoje središte.

-Regularni poligoni imaju središnju simetriju kada imaju parni broj strana.

Primjeri

Kriteriji za simetriju imaju brojne primjene u znanosti i inženjerstvu. Središnja simetrija je prisutna u prirodi, na primjer, ledeni kristali i paučine imaju ovakvu simetriju.

Nadalje, mnogi se problemi lako rješavaju kada se iskoristi postojanje centralne simetrije i drugih vrsta simetrije. Stoga je prikladno brzo prepoznati kad se dogodi.

Slika 3. Ledeni kristali imaju središnju simetriju. Izvor: Pixabay.

Primjer 1

Dajući točku P koordinata (a, b), moramo pronaći koordinate njegovog simetričnog P 'u odnosu na ishodište O koordinata (0, 0).

Prvo je konstruirati točku P ', za koju se crta pravac koji prolazi kroz ishodište O i kroz točku P. Jednadžba ove crte je y = (b / a) x.

Nazovimo sada (a ', b') koordinate simetrične točke P '. Točka P 'mora ležati na liniji koja prolazi kroz O i zato je istina: b' = (b / a) a '. Nadalje, udaljenost OP mora biti jednaka OP ', što u analitičkom obliku piše ovako:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Sljedeće je zamijeniti b '= u prethodnom izrazu i obraditi obje strane jednake da bi se uklonio kvadratni korijen: (a ² + b ²) =

Izvlačenjem zajedničkog faktora i pojednostavljivanjem dobivamo da je a ' ² = a ². Ova jednadžba ima dva stvarna rješenja: a '= + a ili a' = -a.

Da bismo dobili b ', ponovo koristimo b' = (b / a) a '. Ako je pozitivno rješenje a 'supstituirano, dolazimo do tog b' = b. A kad se negativno rješenje supstituira, tada je b '= -b.

Pozitivno rješenje daje za P 'istu točku P, pa se odbacuje. Negativno rješenje definitivno daje koordinate simetrične točke:

P ': (-a, -b)

Primjer 2

Treba pokazati da segment AB i njegov središnji simetrični A'B 'imaju istu duljinu.

Počevši od koordinata točke A, koje su (Ax, Ay), i onih iz točke B: (Bx, By), duljina segmenta AB je dana s:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²)

Analogno tome, simetrični segment A'B 'duljinu će dati:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Prema' - Ay ') ²)

Koordinate simetrične točke A 'su Ax' = -Ax i Ay '= -Ay. Slično onima B 'su Bx' = -Bx i By '= -By. Ako su ove koordinate supstituirane u jednadžbi udaljenosti d (A'B '), imamo:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²) što je ekvivalent:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

Tako se pokazuje da oba segmenta imaju istu duljinu.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Pokažite analitički da je središnji simetrični O kružnice polumjera R i središta O isti izvorni krug.

Riješenje

Jednadžba kruga s polumjerom R i središtem O (0,0) je:

x ² + y ² = R ² (jednadžba opsega C)

Ako se u svakoj točki P opsega y koordinata (x, y) nađe njezin simetrični P 'koordinata (x', y '), jednadžba simetričnog obima je:

x ' ² + y' ² = R ² (jednadžba simetričnog kruga C ')

Sada ćemo se obratiti rezultatu primjera 1, u kojem je zaključeno da su koordinate točke P ', simetrične s P i s koordinatama (a, b), (-a, -b).

Ali u ovoj vježbi točka P ima koordinate (x, y), pa će njegova simetrična P 'imati koordinate x' = -xe y '= -y. Zamjenjujući ovo u jednadžbi simetričnog kruga imamo:

(X) ² + (Y) ² -R ²

Što je ekvivalentno: x ² + y ² = R ², zaključujući da je središnja simetričnost kruga u odnosu na njegovo središte sam krug.

- Vježba 2

Pokažite u geometrijskom obliku da središnja simetrija čuva kutove.

Riješenje

Slika 4. Izgradnja simetričnih točaka za vježbu 2. Izvor: F. Zapata.

U ravnini su tri točke A, B i C. Njegove simetrije A ', B' i C 'izvedene su u odnosu na središte simetrije O, kao što je prikazano na slici 4.

Sada moramo pokazati da kut ∡ABC = β ima istu mjeru kao i kut ∡A'B'C '= β'.

Budući da su C i C 'simetrični, tada je OC = OC'. Slično je OB = OB 'i OA = OA'. S druge strane, kut ∡BOC = ∡B'OC ', jer su suprotni vrhovima.

Stoga su trokuti BOC i B'OC 'sukladni jer imaju jednak kut između dvije jednake strane.

Budući da je BOC sukladan B'OC ', tada su kutovi γ i γ jednaki. Ali ti su kutovi, osim što ispunjavaju γ = γ ', unutarnje izmjene između linija BC i B'C', što znači da je linija BC paralelna s B'C '.

Slično tome, BOA je sukladan B'OA 'iz kojeg proizlazi da je α = α'. Ali α i α 'su alternativni unutarnji kutovi između linija BA i B'A', iz čega se zaključuje da je linija BA paralelna s B'A '.

Budući da kut ∡ABC = β ima svoje strane paralelne s kutom ∡A'B'C '= β', a također su obje akutne, zaključuje se da:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Dokazujući na taj način da središnja simetrija čuva mjeru kutova.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Geometrija ravnina i svemira. Srednjoamerički kulturni.
2. Matematički zakoni i formule. Sustavi za mjerenje kuta. Oporavak od: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Središnja simetrija. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transporter. Oporavak od: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Spoji unutarnje i vanjske kutove. Oporavilo od: lifeder.com