- Svojstva središnje simetrije
- Primjeri
- Primjer 1
- Primjer 2
- Riješene vježbe
- - Vježba 1
- Riješenje
- - Vježba 2
- Riješenje
- Reference
Dvije točke A i A 'imaju središnju simetriju u odnosu na točku O kada segment AA' prođe kroz nju i to je također središte točke AA '. Točka O naziva se središtem simetrije.
Središnji simetrić trokuta ABC u odnosu na točku O, drugi je trokut A'B'C 'koji ima sljedeće karakteristike:
-Homologni segmenti su jednake duljine
- Njihovi odgovarajući kutovi imaju istu mjeru.

Slika 1. Trokut ABC i njegov simetrični A'B'C '. Izvor: F. Zapata.
Slika 1 prikazuje trokut ABC (crvena) i njegovu središnju simetriju A'B'C '(zelena), u odnosu na središte simetrije O.
Na toj istoj slici pažljivi promatrač shvatio bi da se isti rezultat postiže primjenom zakretanja izvornog trokuta, pod uvjetom da je 180 ° i usredotočen je na O.
Stoga je središnja simetrija jednaka zavoju od 180 ° u odnosu na središte simetrije.
Svojstva središnje simetrije
Središnja simetrija ima sljedeća svojstva:
-Središte simetrije je sredina segmenta koji spaja točku sa svojom simetrijom.
-Simetrična točka druge točke koja se nalazi u središtu simetrije podudara se sa središnjim dijelom simetrije.
-Srednji simetrični dio trokuta je kongruentni trokut (jednak) izvorniku.
-Slika središnjom simetrijom kruga je još jedan krug jednakog polumjera.
- Opseg ima središnju simetriju u odnosu na svoje središte.

Slika 2. Dizajn sa središnjom simetrijom. Izvor: Pixabay.
-Elipsa ima središnju simetriju u odnosu na svoje središte.
- Segment ima središnju simetriju u odnosu na njegovu sredinu.
-Pravoustrani trokut nema središnju simetriju u odnosu na njegovo središte, jer njegova simetrija, iako je skladna s prvom, daje zakrenut jednakostranični trokut.
- Trgovi imaju središnju simetriju u odnosu na njihovo središte.
-Pentagon nema središnju simetriju u odnosu na svoje središte.
-Regularni poligoni imaju središnju simetriju kada imaju parni broj strana.
Primjeri
Kriteriji za simetriju imaju brojne primjene u znanosti i inženjerstvu. Središnja simetrija je prisutna u prirodi, na primjer, ledeni kristali i paučine imaju ovakvu simetriju.
Nadalje, mnogi se problemi lako rješavaju kada se iskoristi postojanje centralne simetrije i drugih vrsta simetrije. Stoga je prikladno brzo prepoznati kad se dogodi.

Slika 3. Ledeni kristali imaju središnju simetriju. Izvor: Pixabay.
Primjer 1
Dajući točku P koordinata (a, b), moramo pronaći koordinate njegovog simetričnog P 'u odnosu na ishodište O koordinata (0, 0).
Prvo je konstruirati točku P ', za koju se crta pravac koji prolazi kroz ishodište O i kroz točku P. Jednadžba ove crte je y = (b / a) x.
Nazovimo sada (a ', b') koordinate simetrične točke P '. Točka P 'mora ležati na liniji koja prolazi kroz O i zato je istina: b' = (b / a) a '. Nadalje, udaljenost OP mora biti jednaka OP ', što u analitičkom obliku piše ovako:
√ (a 2 + b 2) = √ (a ' 2 + b' 2)
Sljedeće je zamijeniti b '= u prethodnom izrazu i obraditi obje strane jednake da bi se uklonio kvadratni korijen: (a 2 + b 2) =
Izvlačenjem zajedničkog faktora i pojednostavljivanjem dobivamo da je a ' 2 = a 2. Ova jednadžba ima dva stvarna rješenja: a '= + a ili a' = -a.
Da bismo dobili b ', ponovo koristimo b' = (b / a) a '. Ako je pozitivno rješenje a 'supstituirano, dolazimo do tog b' = b. A kad se negativno rješenje supstituira, tada je b '= -b.
Pozitivno rješenje daje za P 'istu točku P, pa se odbacuje. Negativno rješenje definitivno daje koordinate simetrične točke:
P ': (-a, -b)
Primjer 2
Treba pokazati da segment AB i njegov središnji simetrični A'B 'imaju istu duljinu.
Počevši od koordinata točke A, koje su (Ax, Ay), i onih iz točke B: (Bx, By), duljina segmenta AB je dana s:
d (AB) = √ ((Bx - Ax) 2 + (By - Ay) 2)
Analogno tome, simetrični segment A'B 'duljinu će dati:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') 2 + (Prema' - Ay ') 2)
Koordinate simetrične točke A 'su Ax' = -Ax i Ay '= -Ay. Slično onima B 'su Bx' = -Bx i By '= -By. Ako su ove koordinate supstituirane u jednadžbi udaljenosti d (A'B '), imamo:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) 2 + (-By + Ay) 2) što je ekvivalent:
√ ((Bx - Ax) 2 + (By - Ay) 2) = d (AB)
Tako se pokazuje da oba segmenta imaju istu duljinu.
Riješene vježbe
- Vježba 1
Pokažite analitički da je središnji simetrični O kružnice polumjera R i središta O isti izvorni krug.
Riješenje
Jednadžba kruga s polumjerom R i središtem O (0,0) je:
x 2 + y 2 = R 2 (jednadžba opsega C)
Ako se u svakoj točki P opsega y koordinata (x, y) nađe njezin simetrični P 'koordinata (x', y '), jednadžba simetričnog obima je:
x ' 2 + y' 2 = R 2 (jednadžba simetričnog kruga C ')
Sada ćemo se obratiti rezultatu primjera 1, u kojem je zaključeno da su koordinate točke P ', simetrične s P i s koordinatama (a, b), (-a, -b).
Ali u ovoj vježbi točka P ima koordinate (x, y), pa će njegova simetrična P 'imati koordinate x' = -xe y '= -y. Zamjenjujući ovo u jednadžbi simetričnog kruga imamo:
(X) 2 + (Y) 2 -R 2
Što je ekvivalentno: x 2 + y 2 = R 2, zaključujući da je središnja simetričnost kruga u odnosu na njegovo središte sam krug.
- Vježba 2
Pokažite u geometrijskom obliku da središnja simetrija čuva kutove.
Riješenje

Slika 4. Izgradnja simetričnih točaka za vježbu 2. Izvor: F. Zapata.
U ravnini su tri točke A, B i C. Njegove simetrije A ', B' i C 'izvedene su u odnosu na središte simetrije O, kao što je prikazano na slici 4.
Sada moramo pokazati da kut ∡ABC = β ima istu mjeru kao i kut ∡A'B'C '= β'.
Budući da su C i C 'simetrični, tada je OC = OC'. Slično je OB = OB 'i OA = OA'. S druge strane, kut ∡BOC = ∡B'OC ', jer su suprotni vrhovima.
Stoga su trokuti BOC i B'OC 'sukladni jer imaju jednak kut između dvije jednake strane.
Budući da je BOC sukladan B'OC ', tada su kutovi γ i γ jednaki. Ali ti su kutovi, osim što ispunjavaju γ = γ ', unutarnje izmjene između linija BC i B'C', što znači da je linija BC paralelna s B'C '.
Slično tome, BOA je sukladan B'OA 'iz kojeg proizlazi da je α = α'. Ali α i α 'su alternativni unutarnji kutovi između linija BA i B'A', iz čega se zaključuje da je linija BA paralelna s B'A '.
Budući da kut ∡ABC = β ima svoje strane paralelne s kutom ∡A'B'C '= β', a također su obje akutne, zaključuje se da:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Dokazujući na taj način da središnja simetrija čuva mjeru kutova.
Reference
- Baldor, JA 1973. Geometrija ravnina i svemira. Srednjoamerički kulturni.
- Matematički zakoni i formule. Sustavi za mjerenje kuta. Oporavak od: ingemecanica.com.
- Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
- Wikipedia. Središnja simetrija. Oporavak od: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Transporter. Oporavak od: es.wikipedia.com
- Zapata F. Spoji unutarnje i vanjske kutove. Oporavilo od: lifeder.com

