TRANSCENDENTNE FUNKCIJE: VRSTE, DEFINICIJA, SVOJSTVA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

U elementarnih transcendentalne funkcije su eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska, inverzni trigonometrijske funkcije, hiperboličke i inverzni hiperbolički funkcije. Odnosno, oni su koji se ne mogu izraziti polinomom, kvocijentom polinoma ili korijenima polinoma.

Nemementarne transcendentne funkcije su također poznate kao posebne funkcije i među njima se može imenovati i funkcija pogreške. Algebarske funkcije (polinomi, kvocijenti polinoma i korijeni polinoma) zajedno s elementarnim transcendentalnim funkcijama čine ono što je u matematici poznato kao elementarne funkcije.

Transcendentnim funkcijama smatraju se i one koje su rezultat operacija između transcendentnih funkcija ili između transcendentnih i algebričnih funkcija. Ove operacije su: zbroj i razlika funkcija, proizvod i količnik funkcija, kao i sastav dviju ili više funkcija.

Definicija i svojstva

Eksponencijalna funkcija

To je stvarna funkcija stvarne neovisne varijable oblika:

f (x) = a ^ x = a ^x

gdje je a fiksni pozitivni realni broj (a> 0) koji se naziva bazom. Cirkularni ili superskript koriste se za označavanje potencirajuće operacije.

Recimo a = 2, onda funkcija izgleda ovako:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Koja će se ocjenjivati ​​za nekoliko vrijednosti nezavisne varijable x:

Ispod je grafikon na kojem je eksponencijalna funkcija predstavljena za nekoliko vrijednosti baze, uključujući bazu e (Neper broj e e 2,72). Baza e je toliko važna da općenito govoreći o eksponencijalnoj funkciji mislimo na e ^ x, što se također označava exp (x).

Slika 1. Eksponencijalna funkcija a ^ x, za različite vrijednosti baze a. (Vlastita obrada)

Svojstva eksponencijalne funkcije

Iz slike 1 može se promatrati da su domena eksponencijalnih funkcija realni brojevi (Dom f = R), a raspon ili put su pozitivne stvarne vrijednosti (Ran f = R ⁺).

S druge strane, bez obzira na vrijednost baze a, sve eksponencijalne funkcije prolaze kroz točku (0, 1) i kroz točku (1, a).

Kada je baza a> 1, tada se funkcija povećava, a kada je 0 <a <1, funkcija se smanjuje.

Krivulje y = a ^ x i y = (1 / a) ^ x simetrične su oko osi Y.

S izuzetkom slučaja a = 1, eksponencijalna funkcija je injektivna, odnosno svakoj vrijednosti slike odgovara jedna i samo jedna početna vrijednost.

Logaritamska funkcija

To je stvarna funkcija stvarne neovisne varijable koja se temelji na definiciji logaritma broja. Logaritam zasnovan na broju x je broj y na koji se baza mora podići da bi se dobio argument x:

zabilježite _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Odnosno, logaritamska funkcija utemeljena je na inverznoj funkciji eksponencijalne funkcije na kojoj se temelji.

Na primjer:

log ₂ 1 = 0, jer je 2 ^ 0 = 1

Drugi slučaj, zapisnik ₂ 4 = 2, jer je 2 ^ 2 = 4

Korijenski logaritam iz 2 je log ₂ √2 = ½, jer je 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, jer je 2 ^ (- 2) = ¼

Ispod je grafikon funkcije logaritma u različitim bazama.

Slika 2. Eksponencijalna funkcija za različite vrijednosti baze. (Vlastita obrada)

Svojstva funkcije logaritma

Domena funkcije logaritma y (x) = log a (x) su pozitivni realni brojevi R +. Raspon putovanja ili su stvarni brojevi R.

Bez obzira na bazu, funkcija logaritma uvijek prolazi kroz točku (1,0), a točka (a, 1) pripada grafu te funkcije.

U slučaju da je baza a veća od jedinstva (a> 1), funkcija logaritma se povećava. Ali ako je (0 <a <1) onda je to opadajuća funkcija.

Funkcije sinusa, kosinusa i tangenta

Sinusna funkcija dodjeljuje realni broj i svakoj x vrijednosti, gdje x predstavlja mjeru kuta u radijanima. Za dobivanje vrijednosti Sen (x) kuta, kut je predstavljen u jediničnom krugu, a projekcija navedenog kuta na okomitu os je sinus koji odgovara tom kutu.

Trigonometrijski krug i sinus za različite kutne vrijednosti X1, X2, X3 i X4 prikazani su dolje (na slici 3).

Slika 3. Trigonometrijski krug i sinus raznih kutova. (Vlastita obrada)

Definirana na taj način, maksimalna vrijednost koju funkcija Sen (x) može imati je 1, koja se javlja kada je x = π / 2 + 2π n, gdje je n cijeli broj (0, ± 1, ± 2,). Minimalna vrijednost koju funkcija Sen (x) može preuzeti dolazi kada je x = 3π / 2 + 2π n.

Funkcija kosinusa y = Cos (x) definirana je na sličan način, ali projekcija kutnih položaja P1, P2 itd. Vrši se na vodoravnoj osi trigonometrijskog kruga.

S druge strane, funkcija y = Tan (x) je kvocijent između sinusne funkcije i kosinusne funkcije.

Ispod je grafikon transcendentnih funkcija Sen (x), Cos (x) i Tan (x)

Slika 4. Grafikon transcendentnih funkcija, sinusa, kosinusa i tangente. (Vlastita obrada)

Derivati ​​i integrali

Derivat eksponencijalne funkcije

Derivat y 'eksponencijalne funkcije y = a ^ x je funkcija a ^ x pomnožena s prirodnim logaritmom baze a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

U posebnom slučaju baze e, izvedenica eksponencijalne funkcije je sama eksponencijalna funkcija.

Integral eksponencijalne funkcije

Neodređeni integral ^ x je sama funkcija podijeljena s prirodnim logaritamom baze.

U posebnom slučaju baze e, integral eksponencijalne funkcije je sama eksponencijalna funkcija.

Tablica derivata i integrala transcendentnih funkcija

Ispod je sažetak tablice glavnih transcendentnih funkcija, njihovih derivata i neodređenih integrala (antiderivata):

Tabela derivata i neodređeni integrali nekih transcendentnih funkcija. (Vlastita obrada)

Primjeri

Primjer 1

Pronađite funkciju koja proizlazi iz sastava funkcije f (x) = x ^ 3 s funkcijom g (x) = cos (x):

(magla) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Njegova je izvedenica i njezin neodređeni integral:

Primjer 2

Pronađite sastav funkcije g s funkcijom f, gdje su g i f funkcije definirane u prethodnom primjeru:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Treba napomenuti da sastav funkcija nije komutativna operacija.

Derivat i neodređeni integral za ovu funkciju su:

Integral je ostavljen označen, jer nije moguće točno napisati rezultat kao kombinaciju elementarnih funkcija.

Reference

1. Izračun jedinstvene varijable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. studenog 2008
2. Teorem implicitnih funkcija: povijest, teorija i aplikacije. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. studenog. 2012
3. Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosinca. 2010
4. Dinamika sustava: modeliranje, simulacija i kontrola mehatronskih sustava. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. ožujka 2012
5. Izračun: Matematika i modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. siječnja 1999
6. wikipedia. Transcendentna funkcija. Oporavak od: es.wikipedia.com