BIJEKTIVNA FUNKCIJA: ŠTO JE TO, KAKO SE RADI, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Bijective funkcija je onaj koji zadovoljava dvostruko stanje bude injective i surjective. Odnosno, svi elementi domene imaju jednu sliku u kododini, a zauzvrat je kododina jednaka rangu funkcije (R _f).

Ostvaruje se razmatranjem odnosa jedan na jedan između elemenata domene i kododina. Jednostavan primjer je funkcija F: R → R definirana linijom F (x) = x

Izvor: Autor

Uočeno je da za svaku vrijednost domene ili početni skup (oba se termina primjenjuju podjednako) postoji jedna slika u skupu kodova ili dolazaka. Pored toga, ne postoji nijedan element kodomeina osim slike.

Na taj je način F: R → R definiran linijom F (x) = x bijektivan

Kako se vrši bijektivna funkcija?

Da bismo odgovorili na to, potrebno je biti jasan o pojmovima koji se odnose na injektivnost i prekojektivnost funkcije, kao i na kriterije za određivanje funkcije kako bi se prilagodila zahtjevima.

Injektivnost funkcije

Funkcija je injektivna kada je svaki element svoje domene povezan s jednim elementom kodomaine. Element kodne domene može biti samo slika jednog elementa domene, pri čemu se vrijednosti ovisne varijable ne mogu ponoviti.

Da bi se funkcija smatrala injektivnom, mora se ispuniti sljedeće:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Surjektivnost funkcije

Funkcija je klasificirana kao surjektivna ako je svaki element njene kodne slike slika barem jednog elementa domene.

Da bi se funkcija smatrala surjektivom, mora se ispuniti sljedeće:

Neka je F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ovo je algebarski način da se utvrdi da za svaki "b" koji pripada C _f postoji "a" koji pripada D _f, tako da je funkcija procijenjena u "a" jednaka "b".

Funkcijsko kondicioniranje

Ponekad se funkcija koja nije bijektivna može podvrgnuti određenim uvjetima. Ovi novi uvjeti mogu ga učiniti bijektivnom funkcijom. Vrijedne su sve vrste izmjena domene i kodne domene gdje je cilj ispuniti svojstva inektivnosti i surjektivnosti u odgovarajućem odnosu.

Primjeri: riješene vježbe

Vježba 1

Neka je funkcija F: R → R definirana linijom F (x) = 5x +1

A:

Uočeno je da za svaku vrijednost domene postoji slika u kodomenu. Ova je slika jedinstvena po tome što F čini injektivnom funkcijom. Na isti način opažamo da je kodna funkcija funkcije jednaka njenom rangu. Tako ispunjavajući uvjet surjektivnosti.

Budući da je istovremeno injektivan i surjektivan, to možemo zaključiti

F: R → R definirano linijom F (x) = 5x +1 je bijektivna funkcija.

To se odnosi na sve linearne funkcije (funkcije čiji je najviši stupanj varijable jedna).

Vježba 2

Neka je funkcija F: R → R definirana F (x) = 3x ² - 2

Prilikom crtanja vodoravne crte uočava se da se graf nalazi više puta. Zbog toga funkcija F nije injektivna i stoga neće biti bijektivna sve dok je definirana u R → R

Slično tome, postoje i kodne vrijednosti koje nisu slike nijednog elementa domene. Zbog toga funkcija nije surjektivna, što također zaslužuje uvjetovati skup dolaska.

Nastavljamo uvjetovati domenu i kododenu funkcije

F: →

Gdje se opaža da nova domena pokriva vrijednosti od nule do pozitivne beskonačnosti. Izbjegavanje ponavljanja vrijednosti koje utječu na injektivnost.

Isto tako, kododomena je izmijenjena, brojeći od "-2" do pozitivne beskonačnosti, uklanjajući iz kodne domene vrijednosti koje nisu odgovarale nijednom elementu domene

Na taj se način može osigurati da je F : → definirano s F (x) = 3x ² - 2

Ona je bijektivna

Vježba 3

Neka je funkcija F: R → R definirana F (x) = Sen (x)

U intervalu sinusna funkcija mijenja rezultate između nule i jedan.

Izvor: Autor.

Funkcija F ne odgovara kriterijima injektivnosti i surjektivnosti, jer se vrijednosti ovisne varijable ponavljaju svaki interval od π. Nadalje, izrazi kodne domene izvan intervala nisu slike nijednog elementa domene.

Tijekom proučavanja grafa funkcije F (x) = Sen (x), promatraju se intervali u kojima ponašanje krivulje zadovoljava kriterije bijektivnosti. Kao na primjer, interval D _f = za domenu. I C _f = za kodomenu.

Gdje funkcija varira rezultira od 1 do -1, bez ponavljanja bilo koje vrijednosti u zavisnoj varijabli. I istovremeno je kododina jednaka vrijednostima usvojenim izrazom Sen (x)

Tako je funkcija F: → definirana s F (x) = Sen (x). Ona je bijektivna

Vježba 4

Navedite potrebne uvjete za D _f i C _f. Dakle izraz

F (x) = -x ² biti bijective.

Izvor: Autor

Ponavljanje rezultata se opaža kada varijabla ima suprotne vrijednosti:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domena je uvjetovana, ograničavajući je na desnu stranu stvarne linije.

D _f =

Na isti način primjećuje se da je raspon ove funkcije interval koji kada djeluje kao kododin ispunjava uvjete surjektivnosti.

Na ovaj način to možemo zaključiti

Izraz F: → definirano s F (x) = -x ² Bijejektivan je

Predložene vježbe

Provjerite jesu li sljedeće funkcije bijektivne:

F: → R definirano s F (x) = 5ctg (x)

F: → R definirano s F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R definirano linijom F (x) = -5x + 4

Reference

1. Uvod u logiku i kritičko mišljenje. Merrilee H. Salmon. Sveučilište u Pittsburghu
2. Problemi u matematičkoj analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Sveučilište u Vroclavu. Poljska.
3. Elementi apstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Sc. Odjel za matematiku. Sveučilišni fakultet Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Načela matematičke analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španjolska.