DJELOMIČNI ULOMCI: SLUČAJEVI I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Su djelomični frakcije su frakcije dobivene od polinoma, u kojima mogu biti nazivnik ravnolančani ili kvadratni polinom i, osim toga, može se povećati na neki snage. Ponekad kada imamo racionalne funkcije vrlo je korisno prepisati tu funkciju kao zbroj djelomičnih frakcija ili jednostavnih frakcija.

To je zato što na ovaj način možemo manipulirati tim funkcijama na bolji način, posebno u slučajevima kada je potrebno integrirati navedenu aplikaciju. Racionalna funkcija jednostavno je kvocijent između dva polinoma, a mogu biti pravilni ili nepravilni.

Ako je stupanj polinoma brojača manji od nazivnika, to se naziva racionalnom pravilnom funkcijom; inače je poznata kao nepravilna racionalna funkcija.

Definicija

Kad imamo neispravnu racionalnu funkciju, možemo podijeliti polinom brojača na polinom nazivnika i na taj način prepisati frakciju p (x) / q (x), slijedeći algoritam podjele kao t (x) + s (x) / q (x), gdje je t (x) polinom, a s (x) / q (x), pravilna racionalna funkcija.

Djelomični ulomak je svaka odgovarajuća funkcija polinoma, čiji je nazivnik oblika (ax + b) ⁿ ili (ax ² + bx + c) ⁿ, ako polinom osi ² + bx + c nema stvarnih korijena i n je broj prirodno.

Da bi se prepisala racionalna funkcija u djelomičnim frakcijama, prvo je činiti nazivnik q (x) kao proizvod linearnih i / ili kvadratnih faktora. Kad se to učini, određuju se djelomični udjeli, koji ovise o prirodi tih čimbenika.

slučajevi

Razmatramo nekoliko slučajeva odvojeno.

Slučaj 1

Faktori q (x) su svi linearni i nijedan se ne ponavlja. To znači:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Nema linearnog faktora identičan drugom. Kada se dogodi ovaj slučaj, napisat ćemo:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Gdje su A ₁, A ₂,…, A _s konstante koje treba naći.

Primjer

Želimo racionalnu funkciju rastaviti u jednostavne frakcije:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Nastavljamo s imenovanjem nazivnika, a to je:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Zatim:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Primjenjujući najmanje uobičajeni višestruki, može se dobiti sljedeće:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Želimo dobiti vrijednosti konstanti A, B i C, a koje se mogu pronaći zamjenom korijena koji poništavaju svaki od izraza. Zamjenom 0 za x imamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zamjenom - 1 za x imamo:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zamjenom - 2 za x imamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Na taj se način dobivaju vrijednosti A = –1/2, B = 2 i C = –3/2.

Postoji i druga metoda dobivanja vrijednosti A, B i C. Ako je s desne strane jednadžbe x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x kombiniramo izraze, imamo:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Budući da je ovo jednakost polinoma, imamo da koeficijenti na lijevoj strani moraju biti jednaki onima na desnoj strani. To rezultira sljedećim sustavom jednadžbi:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Rješavajući ovaj sustav jednadžbi, dobivamo rezultate A = –1/2, B = 2 i C = -3/2.

Na kraju, zamjenom dobivenih vrijednosti imamo sljedeće:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Slučaj 2

Faktori q (x) su svi linearni, a neki se ponavljaju. Pretpostavimo da je (ax + b) faktor koji ponavlja „s“ vremena; tada ovom faktoru odgovara zbroj «s» djelomičnih frakcija.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Gdje su A _s, A _s-1,…, A ₁ konstante koje treba odrediti. Sljedećim ćemo primjerom pokazati kako odrediti ove konstante.

Primjer

Razgradite u djelomične frakcije:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Racionalnu funkciju pišemo kao zbroj parcijalnih frakcija na sljedeći način:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

Zatim:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Zamijenivši 2 za x, imamo to:

7 = 4C, to jest C = 7/4.

Zamjenom 0 za x imamo:

- 1 = –8A ili A = 1/8.

Zamjenjujući ove vrijednosti u prethodnoj jednadžbi i razvijajući, imamo sljedeće:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Izjednačavanjem koeficijenata dobivamo slijedeći sustav jednadžbi:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rješavajući sustav, imamo:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Za to moramo:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Slučaj 3

Faktori q (x) su linearni kvadratni, bez ikakvih ponovljenih kvadratnih faktora. U ovom slučaju će kvadratni faktor (ax ² + bx + c) odgovarati djelomičnom frakciji (Ax + B) / (ax ² + bx + c), gdje su konstante A i B one koje treba odrediti.

Sljedeći primjer pokazuje kako postupiti u ovom slučaju

Primjer

Rasporedite na jednostavne frakcije a (x + 1) / (x ³ - 1).

Prvo prelazimo na faktor nazivnika, što nam daje:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Možemo uočiti da je (x ² + x + 1) neodredivi kvadratni polinom; to jest, nema pravih korijena. Njegova raspada u djelomične frakcije bit će sljedeća:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Iz ove dobivamo sljedeću jednadžbu:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Pomoću jednakosti polinoma dobivamo sljedeći sustav:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Iz ovog sustava imamo da je A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Zamjenjujući, imamo to:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Slučaj 4

Konačno, slučaj 4 je onaj u kojem su faktori q (x) linearni i kvadratni, gdje se ponavljaju neki od linearnih kvadratnih faktora.

U ovom slučaju, ako je (ax ² + bx + c) kvadratni faktor koji ponavlja "s" vremena, tada će djelomični udjel koji odgovara faktoru (ax ² + bx + c) biti:

(A ₁ x + B) / (os ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (os ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (os ² + bx + c) ^s

Tamo gdje su A _s, A _s-1,…, A i B _s, B _s-1,…, B konstante koje treba odrediti.

Primjer

Sljedeću racionalnu funkciju želimo razgraditi u djelomične frakcije:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Budući da je x ² - 4x + 5 nenadmjerljivi kvadratni faktor, smatramo da je njegova raspada na djelomične frakcije dana:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Pojednostavljujemo i razvijamo:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iz navedenog imamo slijedeći sustav jednadžbi:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Kod rješavanja sustava ostaju nam:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.

Zamjenom dobivenih vrijednosti imamo:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Prijave

Integralno računanje

Djelomične se frakcije koriste prvenstveno za proučavanje integralnog proračuna. Evo nekoliko primjera kako izvesti integrale pomoću djelomičnih frakcija.

Primjer 1

Želimo izračunati integral od:

Vidimo da je nazivnik q (x) = (t + 2) ² (t + 1) sačinjen od linearnih faktora gdje se jedan od njih ponavlja; To je razlog zašto smo u slučaju 2.

Mi moramo:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Napisujemo jednadžbu i imamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Ako je t = - 1, imamo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ako je t = - 2, daje nam:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Zatim, ako je t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Zamjena vrijednosti A i C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iz navedenog imamo da je B = - 1.

Integral prepisujemo kao:

Nastavljamo s rješavanjem supstitucijske metode:

To je rezultat:

Primjer 2

Riješite sljedeći integral:

U ovom slučaju možemo izračunati aq (x) = x ² - 4 kao q (x) = (x - 2) (x + 2). Jasno nam je u slučaju 1. Stoga:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Može se izraziti i:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ako je x = - 2, imamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A ako je x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Dakle, preostaje nam da riješimo zadani integral ekvivalentno rješavanju:

To nam daje:

Primjer 3

Riješite integral:

Imamo q (x) = 9x ⁴ + x ², koji možemo rangirati u q (x) = x ² (9x ² + 1).

Ovog puta imamo ponavljani linearni faktor i kvadratni faktor; odnosno da smo u slučaju 3.

Mi moramo:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Grupiranjem i korištenjem jednakih polinoma imamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iz ovog sustava jednadžbi imamo:

D = - 9 i C = 0

Na ovaj način imamo:

Rješavajući gore navedeno, imamo:

Zakon masovne akcije

Zanimljiva primjena djelomičnih frakcija primijenjenih na integralni račun nalazi se u kemiji, točnije u zakonu masovnog djelovanja.

Pretpostavimo da imamo dvije tvari, A i B, koje se spajaju i tvore tvar C, tako da je derivat količine C u odnosu na vrijeme proporcionalan proizvodu količine A i B u bilo kojem trenutku.

Zakon masovnog djelovanja možemo izraziti na sljedeći način:

U ovom izrazu α je početni broj grama koji odgovara A i β početni broj grama koji odgovara B.

Nadalje, r i s predstavljaju broj grama A i B odnosno koji se kombiniraju da tvore r + s grama C. Sa svoje strane, x predstavlja broj grama tvari C u trenutku t, a K je konstanta proporcionalnosti. Gornja jednadžba može se prepisati kao:

Uvođenje sljedeće promjene:

Imamo da jednadžba postaje:

Iz ovog izraza se može dobiti:

Ako se a ≠ b, djelomični se frakcije mogu koristiti za integraciju.

Primjer

Uzmimo za primjer tvar C koja nastaje kombiniranjem tvari A s B, na takav način da je ispunjen zakon mase tamo gdje su vrijednosti a i b 8 i 6. Dajte jednadžbu koja nam daje vrijednost grama C kao funkciju vremena.

Zamjenjujući vrijednosti u danom zakonu o masi, imamo:

Kod odvajanja varijabli imamo:

Ovdje se 1 / (8 - x) (6 - x) može zapisati kao zbroj parcijalnih ulomaka, kako slijedi:

Dakle, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ako 6 zamijenimo s x, imamo B = 1/2; i zamjenjujući 8 za x, imamo A = - 1/2.

Integrirajući djelomične frakcije imamo:

To nam daje:

Diferencijalne jednadžbe: logistička jednadžba

Druga primjena koja se može dati djelomičnim frakcijama je u logičkoj diferencijalnoj jednadžbi. U jednostavnim modelima imamo da je stopa rasta populacije proporcionalna njegovoj veličini; to jest:

Ovaj je slučaj idealan i smatra se realnim dok se ne dogodi da resursi dostupni u sustavu nisu dovoljni za podršku stanovništva.

U tim je situacijama najrazumnije misliti da postoji maksimalni kapacitet, koji ćemo nazvati L, da sustav može održavati i da je stopa rasta proporcionalna veličini stanovništva pomnoženo s raspoloživom veličinom. Ovaj argument dovodi do sljedeće diferencijalne jednadžbe:

Taj se izraz naziva logička diferencijalna jednadžba. To je diferencijalna jednadžba koja se može razdvojiti i koja se može riješiti metodom djelomične frakcije frakcije.

Primjer

Primjer bi bio uzeti u obzir populacija koja raste prema sljedećoj logističkoj diferencijalnoj jednadžbi y '= 0.0004y (1000 - y), čiji su početni podaci 400. Želimo znati veličinu populacije u trenutku t = 2, gdje se mjeri t u godinama.

Ako pišemo y 's Leibnizovom notacijom kao funkcijom koja ovisi o t, imamo:

Integral na lijevoj strani može se riješiti metodom integracije djelomične frakcije:

Zadnju jednakost možemo prepisati na sljedeći način:

- Zamjenom y = 0 imamo da je A jednak 1/1000.

- Zamjenom y = 1000 imamo da je B jednak 1/1000.

S ovim vrijednostima integral je sljedeći:

Rješenje je:

Korištenje početnih podataka:

Prilikom čišćenja i imamo:

Onda imamo to pri t = 2:

Zaključno, nakon dvije godine broj stanovnika je približno 597,37.

Reference

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Vijeće za publikacije.
2. Cortez, I., i Sanchez, C. (nd). 801 Riješeni integrali. Nacionalno eksperimentalno sveučilište u Tachiri.
3. Leithold, L. (1992). Proračun s analitičkom geometrijom. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Proračun. Meksiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (drugi). Integralno računanje. Hipotenuza.