Logaritamska funkcija je matematički odnos koji povezuje svaki pozitivni realni broj x sa svojim logaritam y na temeljiti. Ova veza ispunjava uvjete za funkciju: svaki element x koji pripada domeni ima jedinstvenu sliku.
Tako:
Budući da je logaritam utemeljen na broju x broj y na koji se mora podići baza a da bi se dobila x.
- Logaritam baze je uvijek 1. Dakle, graf f (x) = log a x uvijek presijeca osi x u točki (1,0)
- Logaritamska funkcija je transcendentna i ne može se izraziti kao polinom ili kao njihov kvocijent. Pored logaritma, u ovu skupinu spadaju trigonometrijske funkcije i eksponencija.
Primjeri
Logaritamska funkcija može se uspostaviti pomoću različitih baza, ali najčešće se koriste 10 i e, gdje je e Eulerov broj jednak 2.71828….
Kada se koristi baza 10, logaritam se naziva decimalnim logaritamom, običnim logaritmom, Briggsovim ili običnim logaritamom.
A ako se koristi broj e, onda se naziva prirodnim logaritamom, nakon Johna Napiera, škotskog matematičara koji je otkrio logaritme.
Za svaki se zapis koristi sljedeća:
-Deksimalni logaritam: log 10 x = log x
-Neperijev logaritam: ln x
Kada ćete koristiti drugu bazu, apsolutno je potrebno navesti je kao pretplatnik, jer se logaritam svakog broja razlikuje ovisno o bazi koja se koristi. Na primjer, ako su logaritmi u bazi 2, napišite:
y = log 2 x
Pogledajmo logaritam broja 10 u tri različite baze, da ilustriramo ovu točku:
zapis 10 = 1
ln 10 = 2,30259
zapisnik 2 10 = 3.32193
Uobičajeni kalkulatori donose samo decimalne logaritme (funkcija dnevnika) i prirodni logaritam (funkcija ln). Na Internetu postoje kalkulatori s drugim bazama. U svakom slučaju, čitatelj može svojom pomoći potvrditi da su zadovoljene prethodne vrijednosti:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Male decimalne razlike nastaju zbog broja decimalnih mjesta uzetom u proračunu logaritma.
Prednosti logaritama
Među prednostima korištenja logaritama je i lakoća koju daju za rad s velikim brojevima, koristeći direktno njihov logaritam umjesto broja.
To je moguće jer funkcija logaritma raste sporije kako se brojevi povećavaju, kao što možemo vidjeti na grafu.
Pa čak i kod vrlo velikog broja, njihovi logaritmi su mnogo manji, a manipulirati malim brojevima uvijek je lakše.
Pored toga, logaritmi imaju sljedeća svojstva:
- Proizvod: log (ab) = log a + log b
- Kvocijent: log (a / b) = log a - dnevnik b
- Snaga: log a b = b.log a
Na taj način proizvodi i količnici postaju zbrajanje i oduzimanje manjih brojeva, a osnaživanje postaje jednostavan proizvod iako je snaga velika.
Zbog toga nam logaritmi omogućuju izražavanje brojeva koji variraju u vrlo velikim rasponima vrijednosti, poput intenziteta zvuka, pH otopine, svjetline zvijezda, električnog otpora i intenziteta potresa na Richterovoj skali.
Slika 2. Logaritmi se koriste na Richterovoj skali za kvantificiranje magnitude zemljotresa. Slika prikazuje srušenu zgradu u Concepciónu u Čileu tijekom potresa 2010. Izvor: Wikimedia Commons.
Pogledajmo primjer rukovanja svojstvima logaritama:
Primjer
Pronađite vrijednost x u sljedećem izrazu:
Odgovor
Ovdje imamo logaritamsku jednadžbu, jer je nepoznanica u argumentu logaritma. Ona se rješava tako da se na svakoj strani jednakosti ostavi po jedan logaritam.
Započinjemo postavljanjem svih izraza koji sadrže "x" s lijeve strane jednakosti i onih koji sadrže samo brojeve s desne strane:
zapisnik (5x + 1) - zapisnik (2x-1) = 1
S lijeve strane imamo oduzimanje dva logaritma, koji se mogu napisati kao logaritam kvocijenta:
log = 1
Međutim, s desne strane je broj 1, koji možemo izraziti kao zapis 10, kao što smo vidjeli ranije. Tako:
log = zapis 10
Da bi jednakost bila istinita, argumenti logaritmi moraju biti jednaki:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Primjena vježbe: Richterova ljestvica
Godine 1957. u Meksiku se dogodio potres čija je jačina bila 7,7 po Richterovoj skali. 1960. u Čileu se dogodio još jedan potres veće jačine od 9,5.
Izračunajte koliko je puta potres u Čileu bio intenzivniji od onog u Meksiku, znajući da se magnitude M R po Richterovoj skali daje formulom:
M R = zapisnik (10 4 I)
Riješenje
Jačina zemljotresne skale po Richterovoj skali je logaritamska funkcija. Izračunavat ćemo intenzitet svakog potresa, budući da imamo Richterove magnitude. Učinimo to korak po korak:
- Meksiko: 7,7 = zapisnik (10 4 I)
Budući da je inverza logaritamske funkcije eksponencijalna, primjenjujemo to na obje strane jednakosti s namjerom da se riješimo za I, što se nalazi u argumentu logaritma.
Budući da su to decimalni logaritmi, osnova je 10. Tada:
10 7,7 = 10 4 I
Intenzitet potresa u Meksiku bio je:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Čile: 9,5 = zapisnik (10 4 I)
Isti postupak vodi nas intenzitetu čileanskog potresa I Ch:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Sada možemo usporediti oba intenziteta:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Ja M
Potres u Čileu bio je oko 63 puta intenzivniji od onog u Meksiku. Budući da je magnetska vrijednost logaritamska, ona raste sporije od intenziteta, tako da razlika u veličini od 1 znači 10 puta veću amplitudu seizmičkog vala.
Razlika između magnitude oba potresa iznosi 1,8, stoga možemo očekivati razliku u intenzitetu bližu 100 nego 10, kao što se zapravo i dogodilo.
Zapravo, da je razlika bila točno 2, čileanski bi potres bio 100 puta intenzivniji od meksičkog.
Reference
- Carena, M. 2019. Priuveučilišni matematički priručnik. Nacionalno sveučilište Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika godina. CO-BO izdanja.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Larson, R. 2010. Proračun varijable. 9.. Izdanje. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Prekalculus: Matematika za račun. 5.. Izdanje. Cengage Learning.