Surjektivna Funkcija je svaki odnos u kojem je svaki element koji spada u kodomena je slika od najmanje jednog elementa od domene. Poznate i kao funkcija omotnica, one su dio klasifikacije funkcija s obzirom na način povezanosti njihovih elemenata.

Na primjer funkcija F: A → B definirana s F (x) = 2x

Što se glasi " F koji ide od A do B definirano s F (x) = 2x"

Morate definirati početne i završne setove A i B.

O: {1, 2, 3, 4, 5} Sada će vrijednosti ili slike koje će svaki od tih elemenata dobiti kada se procjenjuju u F biti elementi kodomaine.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Tako nastaje skup B: {2, 4, 6, 8, 10}

Tada se može zaključiti da:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definirano s F (x) = 2x To je surjektivna funkcija

Svaki element kodomaine mora proizlaziti iz najmanje jedne radnje neovisne varijable putem dotične funkcije. Ne postoji ograničenje slika, element kodomaina može biti slika više elemenata domene i još uvijek pokušati surjektivnu funkciju.

Na slici su prikazana 2 primjera sa supjektivnim funkcijama.

Izvor: Autor

U prvom se primjećuje da se slike mogu odnositi na isti element, a da se ne ugrozi surjektivnost funkcije.

U drugom vidimo pravednu raspodjelu između domene i slika. To rezultira bijektivnom funkcijom, gdje moraju biti zadovoljeni kriteriji injektivne funkcije i surjektivne funkcije.

Druga metoda za identificiranje surjektivnih funkcija je provjera je li kododina jednaka rangu funkcije. To znači da je, ako je skup dolazaka jednak slikama koje pruža funkcija pri ocjenjivanju nezavisne varijable, funkcija je surjektivna.

Svojstva

Da bi se funkcija smatrala surjektivom, mora se ispuniti sljedeće:

Neka je F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ovo je algebarski način da se utvrdi da za svaki "b" koji pripada C _f postoji "a" koji pripada D _f, tako da je funkcija F procijenjena u "a" jednaka "b".

Surjektivnost je osobina funkcija, kod kojih je kododomena i raspon sličan. Dakle, elementi ocijenjeni u funkciji čine skup dolazaka.

Funkcijsko kondicioniranje

Ponekad se funkcija koja nije surjektivna može podvrgnuti određenim uvjetima. Ovi novi uvjeti mogu ga učiniti supjektivnom funkcijom.

Vrijedne su sve vrste izmjena domene i kodne domene gdje je cilj ispuniti svojstva surjektivnosti u odgovarajućem odnosu.

Primjeri: riješene vježbe

Da bi se zadovoljili uvjeti surjektivnosti, moraju se primijeniti različite tehnike kondicioniranja, kako bi se osiguralo da je svaki element kodomaine unutar skupa slika funkcije.

Vježba 1

• Neka je funkcija F: R → R definirana pravcem F (x) = 8 - x

A:

Izvor: autor

U ovom slučaju, funkcija opisuje kontinuirani red koji uključuje sve stvarne brojeve u svojoj domeni i rasponu. Budući da je raspon funkcije R _f jednak kododini R, može se zaključiti da:

F: R → R definirano linijom F (x) = 8 - x je surjektivna funkcija.

To se odnosi na sve linearne funkcije (funkcije čiji je najviši stupanj varijable jedna).

Vježba 2

• Proučite funkciju F: R → R definiranu F (x) = x ²: Definirajte je li riječ o surjektivnoj funkciji. Ako ne, pokažite potrebne uvjete da se učini surjektivnim.

Izvor: autor

Prvo što treba uzeti u obzir je kododina F koja se sastoji od stvarnih brojeva R. Ne postoji mogućnost da funkcija dobije negativne vrijednosti, što isključuje negativne rezultate između mogućih slika.

Kondicioniranje kodina u intervalu. Izbjegava se da se elementi kodoomane ostave nepovezani kroz F.

Slike se ponavljaju za parove elemenata nezavisne varijable, kao što su x = 1 i x = - 1. Ali to utječe samo na injektivnost funkcije, što nije problem za ovo istraživanje.

Na taj se način može zaključiti da:

F: R → . Ovaj interval mora uvjetovati kodomenu da bi se postigla surjektivnost funkcije.

F: R → definirano s F (x) = Sen (x) To je surjektivna funkcija

F: R → definirano s F (x) = Cos (x) To je surjektivna funkcija

Vježba 4

• Proučite funkciju

F:).push ({});

Izvor: Autor

Funkcija F (x) = ± √x ima osobinu da kod svake vrijednosti „x“ definira 2 ovisne varijable. Odnosno, raspon prima 2 elementa za svaki izrađen u domeni. Za svaku vrijednost "x" mora se provjeriti pozitivna i negativna vrijednost.

Kada se promatra početni skup, primjećuje se da je domena već ograničena, to kako bi se izbjegle neodređenosti nastale prilikom ocjenjivanja negativnog broja u parnom korijenu.

Prilikom provjere opsega funkcije, uočava se da svaka vrijednost kodomaine pripada rasponu.

Na taj se način može zaključiti da:

F: [0, ∞) → R definirano s F (x) = ± √x To je surjektivna funkcija

Vježba 4

• Proučite funkciju F (x) = Ln x označite je li riječ o surjektivnoj funkciji. Uvjetuju se skupovi dolaska i odlaska kako bi se funkcija prilagodila kriterijima surjektivnosti.

Izvor: Autor

Kao što je prikazano na grafu, funkcija F (x) = Ln x definirana je za vrijednosti "x" veće od nule. Dok vrijednosti "i" ili slike mogu poprimiti bilo koju stvarnu vrijednost.

Na taj način možemo ograničiti domenu F (x) = na interval (0, ∞)

Sve dok se raspon funkcije može zadržati kao skup realnih brojeva R.

S obzirom na to može se zaključiti da:

F: [0, ∞) → R definirano s F (x) = Ln x To je surjektivna funkcija

Vježba 5

• Proučite funkciju apsolutne vrijednosti F (x) = - x - i odredite skupove dolaska i odlaska koji zadovoljavaju kriterije surjektivnosti.

Izvor: Autor

Domena funkcije je ispunjena za sve stvarne brojeve R. Na taj način mora se kodiranje samo izvršiti kondicioniranje, uzimajući u obzir da funkcija apsolutne vrijednosti uzima samo pozitivne vrijednosti.

Nastavljamo s uspostavljanjem kodne funkcije jednake rangu iste

[0, ∞)

Sada se može zaključiti da:

F: [0, ∞) → R definirano s F (x) = - x - To je supjektivna funkcija

Predložene vježbe

1. Provjerite jesu li sljedeće funkcije supjektivne:

• F: (0, ∞) → R definirano s F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definirano s F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞) definirano s F (x) = x ² + 1
• [0, ∞) → R definirano s F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R definirano s F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definirano s F (x) = 1 / x

Reference

1. Uvod u logiku i kritičko mišljenje. Merrilee H. Salmon. Sveučilište u Pittsburghu
2. Problemi u matematičkoj analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Sveučilište u Vroclavu. Poljska.
3. Elementi apstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Sc. Odjel za matematiku. Sveučilišni fakultet Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Načela matematičke analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španjolska.