BESKONAČNI SKUP: SVOJSTVA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Beskonačni skup podrazumijeva se skup u kojem se broj njegovih elemenata ne može računati. To jest, bez obzira koliko veliki broj njegovih elemenata mogao biti, uvijek je moguće pronaći više.

Najčešći primjer je beskonačan skup prirodnih brojeva N. Nije važno koliko je velik broj, jer uvijek možete dobiti veći u procesu koji nema kraja:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………………………………}

Slika 1. Simbol beskonačnosti. (Pixabay)

Skup zvijezda u svemiru je zasigurno neizmjeran, ali zasigurno se ne zna je li konačan ili beskonačan. Za razliku od broja planeta u Sunčevom sustavu za koji se zna da je konačni skup.

Svojstva beskonačnog skupa

Među svojstvima beskonačnih skupova možemo istaknuti sljedeće:

1- Spajanje dva beskonačna skupa rađa novi beskonačni skup.

2- Spajanje konačnog skupa s beskonačnim stvara novi beskonačni skup.

3- Ako je podskup određenog skupa beskonačan, tada je i izvorni skup beskonačan. Uzajamna izjava nije istinita.

Ne možete pronaći prirodni broj koji može izraziti kardinalnost ili broj elemenata beskonačnog skupa. Međutim, njemački matematičar Georg Cantor uveo je koncept beskonačnog broja koji se odnosi na beskonačni ordinal veći od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjeri

Prirodni N

Najčešći primjer beskonačnog skupa je prirodni broj. Prirodni brojevi su oni koji se koriste za brojanje, ali čitavi brojevi koji mogu postojati nisu mogući.

Skup prirodnih brojeva ne uključuje nulu i obično se označava kao skup N, koji se u opsežnom obliku izražava na sljedeći način:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} I očito je beskonačan skup.

Elipsa se koristi da naznači da nakon jednog broja slijedi drugi, a zatim drugi u neprestanom ili beskonačnom procesu.

Skup prirodnih brojeva pridružen skupu koji sadrži broj nula (0) poznat je pod nazivom skup N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Koji je rezultat sjedinjenja beskonačnog skupa N s konačnim skupom O = {0}, što rezultira beskonačnim skupom N +.

Cijeli brojevi Z

Skup cijelih brojeva Z sastoji se od prirodnih brojeva, prirodnih brojeva s negativnim predznakom i nulom.

Cijeli brojevi Z smatraju se evolucijom u odnosu na prirodne brojeve N koji su izvorno i primitivno korišteni u procesu brojanja.

U numeričkom skupu Z cijelih brojeva uključena je nula da se ne broji ili izbroji ništa, a negativni brojevi broje vađenje, gubitak ili nedostatak nečega.

Za ilustraciju ideje, pretpostavimo da se na bankovnom računu pojavljuje negativan saldo. To znači da je račun ispod nule i ne samo da je račun prazan, već i da ima nedostajuću ili negativnu razliku, što nekako mora biti zamijenjeno bankom.

U opsežnom obliku beskonačni skup Z cijelih brojeva piše ovako:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Racionalni Q

U evoluciji procesa brojanja i razmjene stvari, dobara ili usluga pojavljuju se frakcijski ili racionalni brojevi.

Primjerice, prilikom razmjene pola štruce s dvije jabuke, nekome je u trenutku snimanja transakcije palo na pamet da pola napiše kao jedna podijeljena ili podijeljena na dva dijela: ½. Ali polovica pola kruha bi se zapisala u knjige na sljedeći način: ½ / ½ = ¼.

Jasno je da ovaj postupak podjele može biti beskrajan u teoriji, iako je u praksi do posljednje čestice kruha.

Skup racionalnih (ili frakcijskih) brojeva označava se kako slijedi:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

Elipsa između dva cijela broja znači da između ta dva broja ili vrijednosti postoje beskonačne particije ili podjele. Zato se kaže da je skup racionalnih brojeva beskrajno gust. To je zato što bez obzira koliko dva racionalna broja mogu biti jedna drugoj, mogu se pronaći beskonačne vrijednosti.

Kako bismo ilustrirali gore navedeno, pretpostavimo da od nas tražimo da pronađemo racionalan broj između 2 i 3. Taj broj može biti 2⅓, što je poznato kao mješoviti broj koji se sastoji od 2 cijela dijela plus trećine jedinice, što je ekvivalentno pisanju 4/3.

Između 2 i 2⅓ može se pronaći druga vrijednost, na primjer 2⅙. Između 2 i 2⅙ može se pronaći druga vrijednost, na primjer 2⅛. Između ove dvije druge, a između njih još jedan, još jedan i drugi.

Slika 2. Beskonačne podjele u racionalnim brojevima. (wikimedia commons)

Iracionalni brojevi I

Postoje brojevi koji se ne mogu napisati kao dijeljenje ili ulomak dvaju cijelih brojeva. Taj je numerički skup poznat kao skup I iracionalnih brojeva, a ujedno je i beskonačni skup.

Neki značajni elementi ili predstavnici ovog numeričkog skupa su broj pi (π), Eulerov broj (e), zlatni omjer ili zlatni broj (φ). Ovi se brojevi mogu napisati samo otprilike racionalnim brojem:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (i nastavlja se u beskonačnost i dalje…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (i nastavlja se izvan beskonačnosti…)

φ = 1.61803398874989484820 …….. (do beskonačnosti…..i izvan…..)

Ostali iracionalni brojevi pojavljuju se pri pokušaju pronalaženja rješenja za vrlo jednostavne jednadžbe, na primjer, jednadžba X ^ 2 = 2 nema točno racionalno rješenje. Točno rješenje izražava se sljedećom simbologijom: X = √2, koja se očitava x jednaka je korijenu dva. Približan racionalni (ili decimalni) izraz za √2 je:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Postoji bezbroj iracionalnih brojeva, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) ako ih nabrojimo.

Skup reala R

Stvarni brojevi su brojevi koji se najčešće koriste u matematičkom proračunu, fizici i inženjerstvu. Ovaj skup brojeva je spoj racionalnih brojeva Q i iracionalnih brojeva I:

R = Q U I

Beskonačnost veća od beskonačnosti

Među beskonačnim skupovima neki su veći i od drugih. Na primjer, skup od prirodnih brojeva N beskonačno, ali je podskup cijeli brojevi Z koja je beskonačan, skup i beskonačna Z je veći od beskrajnog skupa N.

Slično tome, skup cijelih brojeva Z je podskup realnih brojeva R, a time i skup R je „beskonačnost” beskonačno skup Z.

Reference

1. Celeberrima. Primjeri beskonačnih skupova. Oporavilo od: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MATH. Uvod u računicu. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, i Paul, RS (2003). Matematika za menadžment i ekonomiju. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
6. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I je jednostavno! Tako jednostavno. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Pearson Education.
9. Wikipedia. Beskonačan set. Oporavak od: es.wikipedia.com