KONTINUIRANA VARIJABLA: KARAKTERISTIKE, PRIMJERI I VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Kontinuirana varijabla je ona koja se može uzeti beskonačan broj numeričkih vrijednosti između dvije zadane vrijednosti, čak i ako su te dvije vrijednosti su proizvoljno blizu. Koriste se za opisivanje mjerljivih atributa; na primjer visina i težina. Vrijednosti koje uzima kontinuirana varijabla mogu biti racionalni brojevi, stvarni brojevi ili složeni brojevi, mada je potonji slučaj statistički rjeđi.

Glavna karakteristika kontinuiranih varijabli je da se između dvije racionalne ili stvarne vrijednosti uvijek može naći druga, a između te druge i prve druge vrijednosti može se naći, i tako u nedogled.

Slika 1. Krivulja predstavlja kontinuiranu raspodjelu, a šipke su diskretne. Izvor: pixabay

Pretpostavimo, na primjer, promjenjivu težinu u grupi u kojoj najteži teži 95 kg, a najmanji 48 kg; to bi bio raspon varijable i broj mogućih vrijednosti je beskonačan.

Na primjer, između 50,00 kg i 50,10 kg može biti 50,01. Ali između 50,00 i 50,01 može biti mjera 50,005. To je kontinuirana varijabla. S druge strane, ako bi se u mogućim mjerenjima težine utvrdila preciznost jedne decimale, upotrijebljena varijabla bila bi diskretna.

Kontinuirane varijable pripadaju kategoriji kvantitativnih varijabli jer s njima imaju brojčanu vrijednost. Pomoću ove brojčane vrijednosti moguće je izvoditi matematičke operacije u rasponu od aritmetičkih do infinitezimalnih metoda izračuna.

Primjeri

Većina varijabli u fizici su kontinuirane varijable, među njima možemo imenovati: duljinu, vrijeme, brzinu, ubrzanje, energiju, temperaturu i druge.

Kontinuirane varijable i diskretne varijable

U statistici se mogu definirati različite vrste varijabli, kako kvalitativne, tako i kvantitativne. Kontinuirane varijable pripadaju potonjoj kategoriji. S njima je moguće izvoditi aritmetičke i računske operacije.

Na primjer, varijabla h, koja odgovara ljudima visine između 1,50 m i 1,95 m, je kontinuirana varijabla.

Usporedimo ovu varijablu s ovom: koliko se puta bacanje kovanice pojavi u glavi, koje ćemo nazvati n.

Varijabla n može primiti vrijednosti između 0 i beskonačnosti, međutim n nije kontinuirana varijabla jer ne može preuzeti vrijednost 1,3 ili 1,5, jer između vrijednosti 1 i 2 nema druge. Ovo je primjer diskretne varijable.

Vježba kontinuiranih varijabli

Razmotrite sljedeći primjer: stroj proizvodi šibice i pakira ih u svoju kutiju. Definirane su dvije statističke varijable:

Nominalna duljina šibice je 5,0 cm s tolerancijom 0,1 cm. Broj utakmica po kutiji je 50 s tolerancijom 3.

a) Navedite raspon vrijednosti koje L i N mogu uzeti.

b) Koliko vrijednosti mogu uzeti L?

c) Koliko vrijednosti ne možete uzeti?

U svakom slučaju navedite je li to diskretna ili kontinuirana varijabla.

Riješenje

Vrijednosti L su u rasponu; to jest, vrijednost L je u intervalu i varijabla L može primiti beskonačne vrijednosti između ova dva mjerenja. Tada je to kontinuirana varijabla.

Vrijednost varijable n je u intervalu. Varijabla n može uzeti samo 6 mogućih vrijednosti u intervalu tolerancije, to je tada diskretna varijabla.

Vježba od

Ako, osim što su kontinuirane, vrijednosti preuzete od varijable imaju određenu vjerojatnost pojavljivanja s njima, onda je to kontinuirana slučajna varijabla. Vrlo je važno razlikovati je li varijabla diskretna ili kontinuirana, budući da su vjerojatni modeli primjenjivi na jednu i na drugu različiti.

Kontinuirana slučajna varijabla potpuno je definirana kada su poznate vrijednosti koje ona može pretpostaviti, i vjerojatnost da se svaka od njih dogodi.

-Vježba 1 vjerojatnosti

Stvarač šibica ih izrađuje na način da je duljina štapova uvijek između vrijednosti 4,9 cm i 5,1 cm, a nula izvan tih vrijednosti. Postoji vjerojatnost dobivanja štapa koja mjeri između 5,00 i 5,05 cm, iako bismo mogli izvući i jedan od 5 0003 cm. Jesu li te vrijednosti podjednako vjerojatne?

Riješenje

Pretpostavimo da je gustoća vjerojatnosti jednolika. Niže su navedene vjerojatnosti pronalaska podudaranja s određenom duljinom:

-To je podudaranje u rasponu ima vjerojatnost = 1 (ili 100%), jer stroj ne izvlači podudaranja izvan tih vrijednosti.

-Otkrivanje podudaranja između 4,9 i 5,0 ima vjerojatnost = ½ = 0,5 (50%), budući da je polovica raspona duljina.

-I vjerojatnost da je utakmica trajala između 5,0 i 5,1 je također 0,5 (50%)

-Zna se da ne postoje šibice za šibice koje imaju duljinu između 5,0 i 5,2. Vjerojatnost: nula (0%).

Vjerojatnost pronalaska čačkalice u određenom rasponu

Promatrajmo sljedeće vjerojatnosti dobivanja štapova čija je duljina između l ₁ i l ₂:

-P da podudaranje ima duljinu između 5,00 i 5,05, označava se kao P ():

-P da brdo ima dužinu između 5,00 i 5,01 je:

-P da brdo ima dužinu između 5.000 i 5.001 još manje:

Ako se smanjuje interval da se približimo i približimo 5,00, vjerojatnost da čačkalica iznosi točno 5,00 cm jednaka je 0 (0%). Ono što imamo je vjerojatnost pronalaska podudaranja u određenom rasponu.

Vjerojatnost pronalaska više čačkalica u određenom rasponu

Ako su događaji neovisni, vjerojatnost da su dvije čačkalice u određenom rasponu proizvod je njihove vjerojatnosti.

-Vjerojatnost da dva štapića su između 5,0 i 5,1 je 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Vjerojatnost da 50 čačkalica bude između 5,0 i 5,1 je (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, to jest gotovo nula.

-Vjerojatnost da 50 čačkalica bude između 4,9 i 5,1 je (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Vježba 2 vjerojatnosti

U prethodnom je primjeru pretpostavka da je vjerojatnost u datom intervalu ujednačena, no to nije uvijek slučaj.

U slučaju stvarnog stroja koji proizvodi čačkalice, vjerojatnost da je čačkalica na središnjoj vrijednosti veća je nego kod jedne od ekstremnih vrijednosti. S matematičkog stajališta to se modelira s funkcijom f (x) poznatom kao gustoća vjerojatnosti.

Vjerojatnost da je mjera L između a i b izračunava se koristeći određeni integral funkcije f (x) između a i b.

Kao primjer, pretpostavimo da želimo pronaći funkciju f (x), koja predstavlja jednoliku raspodjelu između vrijednosti 4.9 i 5.1 iz vježbe 1.

Ako je razdioba vjerojatnosti ujednačena, tada je f (x) jednaka konstanti c, koja se određuje uzimajući integral između 4,9 i 5,1 c. Budući da je ovaj integral vjerojatnost, rezultat mora biti 1.

Slika 2. Ujednačena gustoća vjerojatnosti. (Vlastita obrada)

To znači da c vrijedi 1 / 0,2 = 5. To jest, jednaka funkcija gustoće vjerojatnosti je f (x) = {5 ako je 4.9≤x≤5.1 i 0 izvan ovog raspona. Ujednačena funkcija gustoće vjerojatnosti prikazana je na slici 2.

Imajte na umu kako je u intervalima iste širine (na primjer 0,02) vjerojatnost ista u središtu kao i na kraju raspona kontinuirane varijable L (duljina čačkalice).

Realniji model bi bila funkcija gustoće vjerojatnosti poput sljedeće:

Slika 3. Nejednaka funkcija gustoće vjerojatnosti. (Vlastita obrada)

Na slici 3 može se vidjeti kako je vjerojatnost pronalaska čačkalica između 4,99 i 5,01 (širina 0,02) veća od one pronalaska čačkalica između 4,90 i 4,92 (širina 0,02)

Reference

1. Dinov, Ivo. Diskretne slučajne varijable i distribucije vjerojatnosti. Preuzeto sa: stat.ucla.edu
2. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Preuzeto s: ocw.mit.edu
3. Diskretne slučajne varijable i distribucije vjerojatnosti. Preuzeto sa: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Uvod u vjerojatnost. Oporavak od: vjerojatnost course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistika za menadžment i ekonomiju. Grupo Uredništvo Iberoamericana. 103-106.
6. Problemi slučajnih varijabli i modeli vjerojatnosti. Oporavak od: ugr.es.
7. Wikipedia. Kontinuirana varijabla. Oporavak s wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistička varijabla. Oporavak s wikipedia.com.