U vrste integrala koje nalazimo u račun su neodređeni integrali i određen integrali. Iako određeni integrali imaju mnogo više primjena od neodređenih integrala, prvo je potrebno naučiti riješiti neodređene integrale.
Jedna od najatraktivnijih primjena točno definiranih integrala je proračun volumena krute tvari. Obje vrste integrala imaju ista svojstva linearnosti i tehnike integracije ne ovise o vrsti integrala.
Čvrsto revolucija
No iako je vrlo slična, postoji jedna glavna razlika; u prvom tipu integrala rezultat je funkcija (koja nije specifična), dok je u drugom tipu rezultat broj.
Osnovne vrste integrala
Svijet integrala je vrlo širok, ali unutar njega možemo razlikovati dvije osnovne vrste integrala koje imaju veliku primjenu u svakodnevnom životu.
1- Neodređeni integrali
Ako je F '(x) = f (x) za sve x u domenu f, kažemo da je F (x) antideriva, primitiv ili integral f (x).
S druge strane, opazimo da je (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), što implicira da integral funkcije nije jedinstven, jer davanjem različitih vrijednosti konstanti C dobit ćemo različite antiderivatives.
Iz tog razloga F (x) + C naziva se neodređeni integral f (x), a C se naziva konstanta integracije i pišemo ga na sljedeći način
Neodređeni integralni
Kao što vidimo, neodređeni integral funkcije f (x) je obitelj funkcija.
Na primjer, ako želite pronaći neodređeni integral funkcije f (x) = 3x², prvo morate pronaći antiderivativ f (x).
Lako je vidjeti da je F (x) = x³ antiderivativ, budući da je F '(x) = 3x². Stoga se može zaključiti da
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definitivni integrali
Neka je y = f (x) stvarna, kontinuirana funkcija u zatvorenom intervalu i neka je F (x) antiderivativ f (x). Definitivni integral f (x) između granica a i b naziva se brojem F (b) -F (a), a označava se na sljedeći način
Temeljni teorem kalkulusa
Formula prikazana gore poznatija je kao "Temeljni teorem proračuna". Ovdje se "a" naziva donja granica, a "b" naziva gornja granica. Kao što vidite, definitivni integral funkcije je broj.
U tom slučaju, ako se u intervalu izračuna definisani integral f (x) = 3x², dobit će se broj.
Da bismo odredili ovaj broj, izaberimo F (x) = x³ kao antiderivativ f (x) = 3x². Zatim izračunamo F (3) -F (0) što nam daje rezultat 27-0 = 27. Zaključno, definitivni integral f (x) na intervalu je 27.
Može se primijetiti da ako je odabran G (x) = x³ + 3, tada je G (x) antideriva f (x) različita od F (x), ali to ne utječe na rezultat budući da je G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Iz tog razloga se konstanta integracije ne pojavljuje u definitivnim integralima.
Jedna od najkorisnijih primjena ove vrste integrala je ta što nam omogućuje izračunavanje područja (volumena) ravnine (od krute čvrstoće), uspostavljanja odgovarajućih funkcija i granica integracije (i osi rotacije).
Unutar definitivnih integrala možemo pronaći različita proširenja istog, poput linijskih integrala, površinskih integrala, nepravilnih integrala, više integrala, između ostalog, a sve vrlo korisne primjene u znanosti i inženjerstvu.
Reference
- Casteleiro, JM (2012). Je li se lako integrirati? Priručnik za samo učenje. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, i Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralno računanje (Ilustrirano izd.). Madrid: Uredništvo ESIC-a.
- Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
- Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkul matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirano ur.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integralno računanje. Atlantic izdavači i distributeri.
- Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Račun (Deveto izdanje). Dvorana Prentice.