Naziva se relativno pravim (koprim ili su relativno jedno drugo) da bilo koji par cjelobrojnih brojeva nema zajednički razdjelnik osim 1.
Drugim riječima, dva cjelobrojna broja su relativni prajdovi ako u svojoj dekompoziciji u jednostavne brojeve nemaju zajednički faktor.
Na primjer, ako se odaberu 4 i 25, glavni faktori za svaki od njih su 2 i 5². Kao što se može vidjeti, ovi nemaju nikakve zajedničke faktore, pa su 4 i 25 relativni primeri.
S druge strane, ako je odabrano 6 i 24, provodeći njihove dekompozicije u primarne faktore, dobit ćemo da je 6 = 2 * 3 i 24 = 2³ * 3.
Kao što vidite, ova posljednja dva izraza imaju bar jedan zajednički faktor, dakle nisu relativni primjeri.
Relativni rođaci
Jedan detalj na koji treba biti oprezan jest to što reći da je par cjelobrojnih brojeva relativni prabroj, ne znači da je bilo koji od njih jednostavni broj.
S druge strane, gornja definicija može se sažeti na sljedeći način: dva cjelobrojna broja "a" i "b" su relativni prosti ako je i samo ako je njihov najveći zajednički djelitelj 1, to jest gcd (a, b) = 1.
Dva neposredna zaključka iz ove definicije su:
-Ako je «a» (ili «b») glavni broj, tada je gcd (a, b) = 1.
-Ako su «a» i «b» jednostavni brojevi, tada su gcd (a, b) = 1.
To jest, ako je barem jedan od odabranih brojeva primarni broj, tada je izravno par brojeva relativni prajs.
Druge značajke
Ostali rezultati koji se upotrebljavaju za utvrđivanje da li su dva broja relativni primesi jesu:
-Ako su dva cijela broja uzastopna, onda su to relativni primesi.
-Dva prirodna broja "a" i "b" relativni su prosti ako su, i samo ako su, brojevi "(2 ^ a) -1" i "(2 ^ b) -1" relativni primesi.
-Dva su cjelobrojni brojevi «a» i «b» relativni prosti ako, i samo ako, pri graficiranju točke (a, b) u kartezijanskoj ravnini i konstrukciji crte koja prolazi kroz ishodište (0,0) i (a, b), ne sadrži nijednu točku s cijelim brojevima.
Primjeri
1.- Razmotrimo cijeli brojeve 5 i 12. Dekompozicije u primarnim faktorima oba broja su: 5 i 2² * 3. Zaključno, gcd (5,12) = 1, dakle, 5 i 12 su relativni primeri.
2.- Neka su brojevi -4 i 6. Zatim -4 = -2² i 6 = 2 * 3, tako da je LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Zaključno, -4 i 6 nisu relativni primeri.
Nastavimo li graficirati liniju koja prolazi kroz naređene parove (-4.6) i (0,0) i odrediti jednadžbu navedene linije, može se provjeriti da ona prolazi kroz točku (-2,3).
Opet se zaključuje da -4 i 6 nisu relativni primeri.
3.- Brojevi 7 i 44 su relativni temeljni slojevi i to se brzo može zaključiti zahvaljujući onome što je gore rečeno, jer je 7 primarni broj.
4.- Razmotrimo brojeve 345 i 346. Budući da su dva uzastopna broja, provjerava se da su gcd (345.346) = 1, dakle 345 i 346 su relativni primesi.
5.- Ako se uzmu u obzir brojevi 147 i 74, to su relativni primesi, budući da su 147 = 3 * 7² i 74 = 2 * 37, dakle LCD (147,74) = 1.
6.- Brojevi 4 i 9 su relativni primesi. Da se to pokaže, može se koristiti druga gore navedena karakterizacija. Doista, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 i 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Dobiveni brojevi su 15 i 511. Primarna faktorizacija ovih brojeva je 3 * 5 odnosno 7 * 73, tako da je LCD (15.511) = 1.
Kao što vidite, korištenje druge karakterizacije je duži i naporniji posao od neposredne provjere.
7.- Razmislite o brojevima -22 i -27. Tada se ovi brojevi mogu prepisati na sljedeći način: -22 = -2 * 11 i -27 = -3³. Stoga su gcd (-22, -27) = 1, pa su -22 i -27 relativni primjeri.
Reference
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetički elementi. Knjižnica udovica i djece Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj brojeva. Sjeverno sveučilište.
- Guevara, MH (drugi). Skup cijelih brojeva. EUNED.
- Viši institut za usavršavanje učitelja (Španjolska), JL (2004). Brojevi, oblici i volumeni u djetetovom okruženju. Ministarstvo obrazovanja.
- Palmer, CI i Bibb, SF (1979). Praktična matematika: aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija i pravilo klizanja (ponovno tiskanje izd.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I je jednostavno! Tako jednostavno. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Osnovna matematika i pre-algebra (ilustrirano izdanje). Karijera Press.
- Toral, C., i Preciado, M. (1985). 2. tečaj matematike. Urednički Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., i Colorado, H. (2010). Osnovna načela aritmetike. ELIZCOM SAS