KRIŽNI PROIZVOD: SVOJSTVA, PRIMJENE I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Križ proizvod ili vektor produkt je način umnožavanja dva ili više vektora. Postoje tri načina umnožavanja vektora, ali nijedan od njih nije množenje u uobičajenom smislu te riječi. Jedan od tih oblika poznat je kao vektorski produkt, što rezultira trećim vektorom.

Križni proizvod, koji se također naziva križni proizvod ili vanjski proizvod, ima različita algebarska i geometrijska svojstva. Ova svojstva su vrlo korisna, posebno u smislu proučavanja fizike.

Definicija

Formalna definicija vektorskog produkta je sljedeća: ako su A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) vektori, tada je vektorski proizvod A i B, koji ćemo označiti kao AxB,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Zbog AxB notacije čita se kao "Križ B".

Primjer upotrebe vanjskog proizvoda je da ako su A = (1,2, 3) i B = (3, -2, 4) vektori, upotrebom definicije vektorskog proizvoda imamo:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Drugi način izražavanja vektorskog produkta dat je zapisom determinanti.

Izračun odrednice drugog reda dat je:

Stoga se formula za unakrsni proizvod navedena u definiciji može prepisati na sljedeći način:

To se obično pojednostavljuje u odrednicu trećeg reda na sljedeći način:

Gdje i, j, k predstavlja vektore koje čine osnovu R ³.

Koristeći ovaj način izražavanja unakrsnog proizvoda, imamo da se prethodni primjer može prepisati kao:

Svojstva

Neka svojstva koja posjeduje vektorski proizvod su sljedeća:

Objekt 1

Ako A je svaki vektor u R ³, imamo:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ova su svojstva lako provjeriti koristeći samo definiciju. Ako je A = (a1, a2, a3) imamo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ako i, j, k predstavlja baznu stanicu R ³, možemo ih napisati na sljedeći način:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Dakle, imamo da su sljedeća svojstva istinita:

Kao mnemološko pravilo, sljedeći se krug koristi za pamćenje ovih svojstava:

Tu moramo napomenuti da svaki vektor sa sobom daje vektor 0 kao rezultat, a ostatak proizvoda može se dobiti slijedećim pravilom:

Presjek dva uzastopna vektora u smjeru kazaljke na satu daje sljedeći vektor; a kad se razmotri smjer suprotnom od kazaljke na satu, rezultat je sljedeći vektor s negativnim predznakom.

Zahvaljujući tim svojstvima možemo vidjeti da vektorski proizvod nije komutativan; na primjer, samo imajte na umu da ixj ≠ jx i. Sljedeće svojstvo govori nam kako su AxB i BxA općenito povezani.

Objekt 2

Ako su A i B vektori R ³, imamo:

AxB = - (BxA).

Demonstracija

Ako su A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), po definiciji vanjskog proizvoda imamo:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Također možemo vidjeti da ovaj proizvod nije asocijativan na sljedeći primjer:

ix (ixj) = ixk = - j, ali (ixi) xj = 0xj = 0

Iz ovoga vidimo da:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Objekt 3

Ako A, B, C su vektori R ³, a r je stvarni broj, vrijedi slijedeće:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Zahvaljujući tim svojstvima možemo izračunati vektorski proizvod koristeći zakone algebre, pod uvjetom da se poštuje redoslijed. Na primjer:

Ako je A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), što ih se može preraditi u smislu kanonskog osnovi R ³.

Dakle, A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Zatim, primjenjujući prethodna svojstva:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Svojstvo 4 (proizvod s trostrukim točkama)

Kao što smo spomenuli na početku, osim vektorskog proizvoda postoje i drugi načini umnožavanja vektora. Jedan od tih načina je skalarni proizvod ili unutarnji proizvod, koji je označen kao A ∙ B i čija je definicija:

Ako su A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), tada je A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Svojstvo koje povezuje oba proizvoda poznato je kao trostruki skalarni proizvod.

Ako A, B i C su vektori R ³, tada A ∙ BxC = AxB ∙ C

Kao primjer, da vidimo da je, s obzirom na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ovo svojstvo zadovoljeno.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

S druge strane:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Drugi trostruki proizvod je Axe (BxC), koji je poznat kao trostruki vektorski proizvod.

Svojstvo 5 (trostruki vektorski proizvod)

Ako A, B i C su vektori za R ³, a zatim:

Osovina (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Kao primjer, da vidimo da je, s obzirom na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ovo svojstvo zadovoljeno.

Iz prethodnog primjera znamo da je BxC = (- 18, - 22, 17). Izračunajmo Ax (BxC):

Sjekira (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

S druge strane, moramo:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Dakle, moramo:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Objekt 6

To je jedno od geometrijskih svojstava vektora. Ako A i B su dva vektora u R ³ i Θ je kut nastao između njih, a zatim:

- AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), gdje - ∙ - označava modul ili veličinu vektora.

Geometrijska interpretacija ovog svojstva je sljedeća:

Neka su A = PR i B = PQ. Dakle, kut formiran vektorima A i B je kut P trokuta RQP, kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Prema tome, područje paralelograma koje ima PR i PQ kao susjedne strane je - A ---- B - sin (ϴ), jer možemo uzeti - A-- kao bazu, a njegova visina je dana --B - grijeh (ϴ).

Stoga možemo zaključiti da je - AxB-- područje navedenog paralelograma.

Primjer

S obzirom na sljedeće vrhove četverokuta P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), pokazuju da je navedeni četverostrani je paralelogram i pronađite njegovo područje.

Za to prvo određujemo vektore koji određuju smjer stranica četverokuta. Ovo je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kao što možemo vidjeti A i C imaju isti direktorski vektor, za koji imamo da su oba paralelna; isto se događa s B i D. Stoga zaključujemo da je PQRS paralelogram.

Da bismo dobili područje ovog paralelograma, izračunavamo BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Stoga će površina kvadrata biti:

- BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Može se zaključiti da će područje paralelograma biti kvadratni korijen od 89.

Objekt 7

Dva vektora A i B su paralelno istraživanje ³ ako i samo ako AxB = 0

Demonstracija

Jasno je da ako su A ili B nulta vektor, ispunjeno je da je AxB = 0. Budući da je nuliti vektor paralelan bilo kojem drugom vektoru, tada je svojstvo valjano.

Ako nijedan od dva vektora nije jednak, smatramo da su njihove veličine različite od nule; to jest, oba - A-- ≠ 0 i - B-- ≠ 0, pa ćemo imati - AxB-- = 0 ako i samo ako je sin (ϴ) = 0, a to se događa ako i samo ako ϴ = π ili ϴ = 0.

Stoga možemo zaključiti AxB = 0 ako i samo ako je ϴ = π ili ϴ = 0, što se događa samo kad su oba vektora paralelna jedan s drugim.

Objekt 8

Ako A i B su dva vektora u R ³, tada AxB okomit na oba A i B.

Demonstracija

Za ovaj dokaz, sjetimo se da su dva vektora okomita ako je A ∙ B jednak nuli. Nadalje, znamo da:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ali AxA je jednaka 0. Stoga imamo:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Po ovome možemo zaključiti da su A i AxB okomiti jedan na drugoga. Analogno, moramo:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Budući da je BxB = 0, imamo:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Stoga su AxB i B okomiti jedan na drugoga i s tim je prikazano svojstvo. To nam je vrlo korisno jer nam omogućuju određivanje jednadžbe ravnine.

Primjer 1

Dobijte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).

Neka je A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tada je A = - i + 3j + k i B = i - 2j + k. Da bismo pronašli ravninu koja se sastoji od ove tri točke, dovoljno je pronaći vektor koji je normalan ravnini, a to je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Pomoću ovog vektora i uzimajući točku P (1, 3, 2), možemo odrediti jednadžbu ravnine na sljedeći način:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Dakle, imamo da je jednadžba ravnine 5x + 2y - z - 9 = 0.

Primjer 2

Pronađite jednadžbu ravnine koja sadrži točku P (4, 0, - 2) i koja je okomita na svaku od ravnina x - y + z = 0 i 2x + y - 4z - 5 = 0.

Znajući da je normalan vektor na ravnini os + po + cz + d = 0 jednak (a, b, c), imamo da je (1, -1,1) normalan vektor x - y + z = 0 y (2,1, - 4) je normalan vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Stoga normalan vektor za traženu ravninu mora biti okomit na (1, -1, 1) i na (2, 1, - 4). Ovaj vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Zatim imamo da je tražena ravnina ona koja sadrži točku P (4,0, - 2) i ima vektor (3,6,3) kao normalan vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Prijave

Proračun zapremine paralelepipeda

Aplikacija s trostrukim skalarnim proizvodom mora biti u mogućnosti izračunati volumen paralelepipeda čiji su rubovi dani vektorima A, B i C, kao što je prikazano na slici:

Ovu aplikaciju možemo zaključiti na sljedeći način: kao što smo već rekli, vektor AxB je vektor koji je normalan u ravnini A i B. Također imamo da je vektor - (AxB) još jedan vektor normalan navedenoj ravnini.

Odaberemo normalan vektor koji tvori najmanji kut s vektorom C; Bez gubitka općenitosti, neka je AxB vektor čiji je kut sa C najmanji.

Imamo da i AxB i C imaju isto polazište. Nadalje, znamo da je područje paralelograma koje čini bazu paralelepipeda - AxB--. Stoga, ako je visina paralelepipeda izražena s h, imamo da će njegov volumen biti:

V = -AxB - h.

S druge strane, uzmimo u obzir točkasti proizvod između AxB i C, koji se može opisati na sljedeći način:

Međutim, po trigonometrijskim svojstvima imamo da je h = -C - cos (ϴ), pa imamo:

Na ovaj način imamo:

Općenito govoreći, imamo da je volumen paralelepipeda dat apsolutnom vrijednošću trostrukog skalarnog produkta AxB ∙ C.

Riješene vježbe

Vježba 1

S obzirom na točke P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), ove točke tvore paralelepiped čiji su rubovi oni su PQ, PR i PS. Odredite volumen navedenog paralelepipeda.

Riješenje

Ako uzmemo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Koristeći svojstvo trostrukog skalarnog proizvoda imamo:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Stoga imamo da je volumen navedenog paralelepipeda 52.

Vježba 2

Odredite volumen paralelepipeda čiji su rubovi dati A = PQ, B = PR i C = PS, gdje su točke P, Q, R i S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5), respektivno.

Riješenje

Prvo imamo da je A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Izračunavamo AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tada izračunavamo AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Dakle, zaključujemo da je volumen navedenog paralelepipeda 1 kubična jedinica.

Reference

1. Leithold, L. (1992). Proračun s analitičkom geometrijom. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Fizika Vol. 1. Meksiko: kontinentalni.
3. Saenz, J. (drugi). Vektorski račun 1ed. Hipotenuza.
4. Spiegel, MR (2011). Vektorska analiza 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Izračun nekoliko varijabli 4ed. Mc Graw Hill.