TRENUTAK INERCIJE: FORMULE, JEDNADŽBE I PRIMJERI IZRAČUNA - FIZIČKA - 2024

Moment tromosti krutog tijela u odnosu na određene osi rotacije predstavlja otpornost na promjene njegove kutne brzine oko spomenute osi. Proporcionalna je masi i također smještaju osi rotacije, jer se tijelo, ovisno o svojoj geometriji, može lakše okretati oko određenih osi nego u drugim.

Pretpostavimo veliki objekt (koji se sastoji od mnogo čestica) koji se može zakretati oko neke osi. Pretpostavimo da sila F djeluje tangencijalno primijenjena na element mase Δm _i, koji stvara zakretni moment ili moment, dat τ _net = ∑ r _i x F _i. Vektor r _i je položaj Δm _i (vidi sliku 2).

Slika 1. Trenuci inercije raznih figura. Izvor: Wikimedia Commons.

Taj je trenutak okomit na ravninu rotacije (smjer + k = napuštanje papira). Budući da su sila i radijalni vektor položaja uvijek okomiti, poprečni proizvod ostaje:

τ _neto = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Slika 2. Čestica koja u rotaciji pripada krutoj krutini. Izvor: Serway, R. 2018. Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Cengage Learning.

Ubrzanje a _i predstavlja tangencijalnu komponentu ubrzanja, jer radijalno ubrzanje ne doprinosi okretnom momentu. Kao funkciju kutnog ubrzanja α, možemo naznačiti da:

Stoga neto okretni moment izgleda ovako:

τ _neto = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Kutna akceleracija α ista je za cijeli objekt, pa na nju ne utječe podpis "i" i može napustiti zbrajanje, što je točno trenutak inercije objekta simboliziranog slovom I:

Ovo je trenutak inercije diskretne raspodjele mase. Kada je distribucija kontinuirana, zbrajanje zamjenjujemo integralom i Δm postaje diferencijal mase mase dm. Integral se provodi nad cijelim objektom:

Jedinice za trenutak inercije u međunarodnom sustavu SI su kg xm ². To je skalarna i pozitivna količina, jer je proizvod mase i kvadrata udaljenosti.

Primjeri izračuna

Prošireni objekt, poput šipke, diska, sfere ili drugog, čija je gustoća ρ konstantna i znajući da je gustoća omjer mase i volumena, razlika mase dm piše se kao:

Zamijenivši u integralu trenutak inercije, imamo:

Ovo je opći izraz, koji vrijedi za trodimenzionalni objekt, čiji su volumen V i položaj r funkcije prostornih koordinata x, y i z. Imajte na umu da je konstantna, gustoća je van integral.

Gustoća ρ poznata je i kao rasutna gustoća, ali ako je objekt vrlo ravan, poput lima ili vrlo tankog i uskog poput štapa, mogu se upotrijebiti drugi oblici gustoće, da vidimo:

- Za vrlo tanki list gustoća koja se koristi je σ, površinska gustoća (masa po jedinici površine), a dA je površinska razlika.

- Ako je to tanka traka, gdje je relevantna samo duljina, koriste se linearna gustoća mase λ i diferencijal duljine, prema osi koja se koristi kao referentna vrijednost.

U slijedećim primjerima svi se predmeti smatraju čvrstim (nisu deformabilni) i imaju ujednačenu gustoću.

Trenutak inercije tanke šipke u odnosu na os koja prolazi kroz njeno središte

Ovdje ćemo izračunati inercijski trenutak tanke, krute, homogene šipke duljine L i mase M, u odnosu na os koja prolazi kroz medij.

Prvo, potrebno je uspostaviti koordinatni sustav i izgraditi lik odgovarajuće geometrije, kao što je ovaj:

Slika 3. Geometrija za izračunavanje inercije trenutka tanke šipke u odnosu na okomitu os koja prolazi kroz njegovo središte. Izvor: F. Zapata.

Os x duž trake i y-osa odabrani su kao osi rotacije. Postupak uspostavljanja integrala također zahtijeva odabir masenog mase na šipci, zvanu dm, koja ima duljinu diferencijala dx i nalazi se u proizvoljnom položaju x, s obzirom na središte x = 0.

Prema definiciji linearne gustoće mase λ:

Kako je gustoća jednolična, što vrijedi za M i L, vrijedi i za dm i dx:

S druge strane, masni element je u položaju x, tako da zamjenom ove geometrije u definiciji imamo određeni integral, čija su ograničenja krajevi šipke prema koordinatnom sustavu:

Zamjena linearne gustoće λ = M / L:

Da biste pronašli trenutak inercije šipke u odnosu na drugu osovinu rotacije, na primjer onu koja prolazi kroz jedan od njenih krajeva, možete koristiti Steinerov teorem (vidi vježbu riješenu na kraju) ili izvesti izračunski izračun sličan prikazanom ovdje, ali modificirajući geometriju na odgovarajući način.

Trenutak inercije diska s obzirom na os koja prolazi kroz njegovo središte

Vrlo tanak disk zanemarive debljine ravna je figura. Ako je masa ravnomjerno raspoređena po cijeloj površini područja A, gustoća mase σ je:

I dm i dA odgovaraju masi i površini diferencijalnog prstena prikazanoj na slici. Pretpostavit ćemo da se cijeli sklop rotira oko osi y.

Možete zamisliti da se disk sastoji od mnogo koncentričnih prstenova polumjera r, svaki sa svojim inercijskim momentom. Dodajući li priloge svih prstenova sve dok ne dosegne polumjer R, imat ćemo ukupni inercijski trenutak diska.

Slika 4. Geometrija za izračunavanje inercije diska s obzirom na aksijalnu os. Izvor: F. Zapata.

Gdje M predstavlja cijelu masu diska. Područje diska ovisi o njegovom polumjeru r kao:

Izvođenje u odnosu na r:

Zamjena gornjeg u definiciji I:

Zamjenom σ = M / (π.R ²) dobivamo:

Trenutak inercije čvrste sfere oko promjera

Kugla polumjera R može se smatrati nizom diskova naslaganih jedan na drugom, gdje svaki disk beskonačne minimalne mase dm, polumjera r i debljine dz ima inercijski trenutak dat od:

Da bismo pronašli ovaj diferencijal, jednostavno smo uzeli formulu iz prethodnog odjeljka i supstituirali M i R za dm i r, respektivno. Ovakav disk može se vidjeti u geometriji na slici 5.

Slika 5. Geometrija za izračunavanje inercije momenta čvrste sfere polumjera R u odnosu na os koja prolazi kroz promjer. Izvor: F. Zapata.

Dodavanjem svih beskonačno minimalnih inercija naloženih diskova dobiva se ukupni inertni trenutak sfere:

Što je ekvivalent:

Da biste riješili integral, morate dm na odgovarajući način izraziti. Kao i uvijek, postiže se gustoćom:

Glasnoća diferencijalnog diska je:

Visina diska je debljina dz, dok je površina baze πr ², dakle:

A zamjena u predloženom integralu izgledala bi ovako:

Ali prije integracije, moramo primijetiti da r - polumjer diska - ovisi o z i R - polumjer sfere - kao što je vidljivo na slici 5. Korištenjem pitagorejske teoreme:

Što nas vodi do:

Da bismo se integrirali u čitavu sferu, napominjemo da z varira između –R i R, dakle:

Znajući da se ρ = M / V = ​​M / nakon pojednostavljenja dobija:

Inercija čvrstog cilindra u odnosu na osnu os

Za taj se predmet koristi metoda slična onoj koja se koristi za sferu, samo što je ovaj put lakše ako se zamisli da je cilindar sastavljen od cilindričnih školjki s polumjerom r, debljine dr i visine H, kao da su slojevi luka.,

Slika 6. Geometrija za izračun inercijskog momenta čvrstog cilindra poluprečnika R u odnosu na aksijalnu os. Izvor: Serway, R. 2018. Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Cengage.

Volumen dV cilindričnog sloja je:

Stoga je masa školjke:

Ovaj je izraz supstituiran u definiciji inercijskog trenutka:

Gornja jednadžba označava da inercija trenutka inercije cilindra ne ovisi o njegovoj duljini, već samo o masi i radijusu. Ako bi se L promijenio, trenutak inercije oko aksijalne osi ostao bi isti. Iz tog se razloga I cilindra podudara s onim ranije izračunatog tankog diska.

Inercija pravokutnog lima u odnosu na os koja prolazi kroz njegovo središte

Kao osi rotacije odabrana je vodoravna osi y. Donja slika prikazuje geometriju potrebnu za integraciju:

Slika 7. Geometrija za izračunavanje inercije trenutka pravokutne ploče u odnosu na os paralelnu s listom i prolazi kroz njegovo središte. Izvor: F. Zapata.

Element područja označen crvenom bojom je pravokutnika. Njegova površina je osnovna x visina, dakle:

Stoga je razlika mase:

Što se tiče udaljenosti od elementa područja do osi rotacije, uvijek je z. Sve to zamjenjujemo u integralu trenutka inercije:

Sada se gustoća površinske mase σ zamjenjuje sa:

I definitivno izgleda ovako:

Imajte na umu da je poput tanke trake.

Trenutak inercije kvadratnog lima u odnosu na os koja prolazi kroz njegovo središte

Za kvadrat sa stranom L, u prethodnom izrazu koji vrijedi za pravokutnik, jednostavno zamijenite vrijednost b za vrijednost L:

Teoremi trenutka inercije

Postoje dvije posebno korisne teoreme za pojednostavljenje izračunavanja inercijskih trenutaka u odnosu na ostale osi, koje bi inače mogle biti teško pronaći zbog nedostatka simetrije. Te teoreme su:

Steinerova teorema

Nazvan i teoremom paralelnih osi, on povezuje inercijski trenutak u odnosu na jednu osovinu s drugom koja prolazi kroz središte mase objekta, sve dok su osi paralelne. Da biste ga primijenili, potrebno je znati udaljenost D između obje osi i naravno masu M objekta.

Neka je _{z z} trenutak inercije objekta produženog s obzirom na os z, I _CM inercija u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase (CM) navedenog objekta, tada je uvjereno da:

Ili u notaciji sljedeće slike: I _{z '} = I _z + Md ²

Slika 8. Steinerova teorema ili paralelne osi. Izvor: Wikimedia Commons. Jack See

Teorem okomitih osi

Taj se teorem primjenjuje na ravnine i ide ovako: trenutak inercije ravninskog objekta oko osi okomite na njega zbroj je inercijskih trenutaka oko dvije osi okomite na prvu os:

Slika 9. Teorem okomitih osi. Izvor: F. Zapata.

Ako objekt ima simetriju tako da su I _x i I _y jednaki, tada je tačno da:

Vježba riješena

Pronađite trenutak inercije šipke u odnosu na os koja prolazi kroz jedan od njenih krajeva, kao što je prikazano na slici 1 (ispod i desno) i na slici 10.

Slika 10. Trenutak inercije homogene šipke oko osi koja prolazi kroz jedan kraj. Izvor: F. Zapata.

Riješenje:

Već imamo trenutak inercije šipke oko osi koja prolazi kroz njeno geometrijsko središte. Budući da je šipka homogena, njeno središte mase je u tom trenutku, tako da će ovo biti naš I _CM za primjenu Steinerove teoreme.

Ako je duljina šipke L, os z nalazi se na udaljenosti D = L / 2, stoga:

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženjerstvo i znanosti. Svezak 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 190-200.
3. Teorem paralelne osi. Oporavak od: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Cengage.
5. Sveučilište Sevilla. Inercija sfernih krutih tijela. Oporavak od: laplace.us.es.
6. Sveučilište Sevilla. Trenutak inercije sustava čestica. Oporavak od: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorem paralelne osi. Oporavilo sa: en.wikipedia.org