- Primjeri stupnja polinoma
- Tablica 1. Primjeri polinoma i njihovih stupnjeva
- Postupak rada s polinomima
- Naručite, smanjite i dovršite polinom
- Važnost stupnja polinoma u zbrajanju i oduzimanju
- Riješene vježbe
- - Vježba riješena 1
- Riješenje
- - Vježba riješena 2
- Riješenje
- Reference
Stupanj polinoma u varijable dana je pojam koji ima najveći eksponent, a ako je polinom ima dva ili više varijabli, tada se stupanj određuje zbroja eksponenata svaki pojam je veći iznos se stupanj polinoma.
Pogledajmo kako na praktičan način utvrditi stupanj polinoma.
Slika 1. Einsteinova poznata jednadžba energije E monom je apsolutnog stupnja 1 za promjenjivu masu, označenu s m, jer se brzina svjetlosti c smatra konstantnom. Izvor: Piqsels.
Pretpostavimo polinom P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Ovaj polinom je jedna varijabla, u ovom slučaju to je varijabla x. Ovaj polinom sastoji se od nekoliko pojmova koji su sljedeći:
A što je sada eksponent? Odgovor je 3. Stoga je P (x) polinom stupnja 3.
Ako predmetni polinom ima više varijabli, stupanj može biti:
-Absolute
-U odnosu na varijablu
Apsolutni stupanj nalazimo kako je objašnjeno na početku: dodavanje eksponenata svakog termina i odabir najvećeg.
Umjesto toga, stupanj polinoma u odnosu na jednu od varijabli ili slova najveća je vrijednost eksponenta koji rečeno slovo ima. Poanta će postati jasnija s primjerima i riješenim vježbama u sljedećim odjeljcima.
Primjeri stupnja polinoma
Polinomi se mogu klasificirati po stupnjevima, a mogu biti prvog stupnja, drugog stupnja, trećeg stupnja i tako dalje. Na primjer na slici 1, energija je monomija prvog stupnja za masu.
Također je važno napomenuti da je broj pojmova koje polinom ima jednak stupnju plus 1. Dakle:
-Polinomi prvog stupnja imaju 2 pojma: a 1 x + a o
-Prinom polumjera drugog stupnja ima 3 pojma: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Priminom trećeg stupnja ima 4 pojma: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a ili
I tako dalje. Pažljivi čitatelj primijetio je da su polinomi u prethodnim primjerima napisani u opadajućem obliku, odnosno da prvi postavljaju pojam.
Sljedeća tablica prikazuje različite polinome, i jednu i više varijabli, i njihove apsolutne stupnjeve:
Tablica 1. Primjeri polinoma i njihovih stupnjeva
| Polinom | Stupanj |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | jedan |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 i 5 + 5x 2 i 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Posljednja dva polinoma imaju više od jedne varijable. Od toga je izraz s najvišim apsolutnim stupnjem istaknut podebljano, tako da čitatelj može brzo provjeriti stupanj. Važno je zapamtiti da kad varijabla nema pisani eksponent, podrazumijeva se da je navedeni eksponent jednak 1.
Na primjer, u istaknutom pojmu ab 3 x 2 postoje tri varijable, i to: a, b i x. U ovom se izrazu a povećava na 1, to jest:
a = a 1
Stoga je ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Budući da je eksponent b 3, a x je 2, odmah slijedi da je stupanj ovog izraza:
1 + 3 + 2 = 6
Y je apsolutni stupanj polinoma, jer niti jedan drugi pojam nema viši stupanj.
Postupak rada s polinomima
Kada radite s polinomima, važno je obratiti pozornost na stupanj toga, jer je prvo i prije izvođenja bilo koje operacije prikladno slijediti ove korake u kojima stupanj daje vrlo važne podatke:
-Uredite polinom preferiranja u opadajućem smjeru. Dakle, izraz s najvišim stupnjem nalazi se na lijevoj strani, a izraz s najnižim stupnjem na desnoj strani.
-Umanjite pojmove, postupak koji se sastoji od dodavanja algebrički svih izraza iste varijable i stupnja koji se nalaze u izrazu.
-Ako je potrebno, polinomi se dovršavaju, ubacujući izraze čiji je koeficijent 0, u slučaju da nedostaju pojmovi s eksponentom.
Naručite, smanjite i dovršite polinom
S obzirom na polinom P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, od njega se traži da ga naredite u silaznom redoslijedu, smanjite slične pojmove, ako postoje i popunite nedostajuće izraze. ako je točan.
Prvo što treba potražiti je izraz s najvećom eksponentom, a to je stupanj polinoma, za kojeg se ispostavlja da je:
x 7
Stoga je P (x) stupnja 7. Zatim je naređen polinom, počevši od ovog termina na lijevoj strani:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Sada se smanjuju slični izrazi, a to su: - 2x i 3x s jedne strane. A 7 i -12 s druge strane. Da biste ih smanjili, koeficijenti se dodaju algebarski i varijabla ostaje nepromijenjena (ako se varijabla ne pojavi uz koeficijent, zapamtite da je x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Zamijenite ove rezultate s P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
I na kraju se polinom ispituje kako bi se vidjelo nedostaje li neki eksponent i doista, nedostaje izraz čiji je eksponent 6, pa je upotpunjen sa nulama poput ove:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Sada je uočeno da je polinomu ostalo 8 pojmova, jer kao što je rečeno, broj pojmova jednak je stupnju + 1.
Važnost stupnja polinoma u zbrajanju i oduzimanju
S polinomima možete izvoditi operacije sabiranja i oduzimanja, u kojima se dodaju ili oduzimaju samo slični izrazi, a oni su s istom varijablama i s istim stupnjem. Ako ne postoje slični izrazi, zbrajanje ili oduzimanje jednostavno je naznačeno.
Jednom kada se provede zbrajanje ili oduzimanje, pri čemu je potonji zbroj suprotnog, stupanj dobivenog polinoma uvijek je jednak ili manji od stupnja polinoma koji dodaje najviši stupanj.
Riješene vježbe
- Vježba riješena 1
Pronađite sljedeći zbroj i odredite njegov apsolutni stupanj:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Riješenje
To je polinom s dvije varijable, tako da je prikladno smanjiti slične pojmove:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Oba su termina stupnja 3 u svakoj varijabli. Stoga je apsolutni stupanj polinoma 3.
- Vježba riješena 2
Iskazati područje sljedeće geometrijske ravnine kao polinom (slika 2 lijevo). Koliki je stupanj rezultirajućeg polinoma?
Slika 2. S lijeve strane, lik za riješenu vježbu 2, a s desne strane, ista se figura dekomponirala na tri područja čiji je izraz poznat. Izvor: F. Zapata.
Riješenje
Budući da je to područje, dobiveni polinom mora biti stupnja 2 u varijabli x. Da bi se odredio odgovarajući izraz za to područje, lik se dekomponuje na poznata područja:
Područje pravokutnika i trokuta su: baza x visina i osnovica x visina / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Napomena: osnovica trokuta je 3x - x = 2x, a njegova visina 5.
Sada su dodana tri dobivena izraza, s tim da imamo područje slike kao funkciju x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Reference
- Baldor, A. 1974. Elementarna algebra. Kulturna Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Wikiknjige. Polinomi. Oporavak od: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Stupanj (polinom). Oporavak od: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra i trigonometrija. Mac Graw Hill.