ČETVEROKUTNI: ELEMENTI, SVOJSTVA, KLASIFIKACIJA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Četverostrana je poligon s četiri strane i četiri vrhova. Njegove suprotne strane su one koje nemaju zajedničke vrhove, dok su uzastopne strane one koje imaju zajedničku vršku.

U četverostraniku susjedni kutovi dijele jednu stranu, dok suprotni kutovi nemaju zajedničke strane. Druga važna karakteristika četverostrana je da je zbroj njegovih četiriju unutarnjih kutova dvostruko veći od ravnine kuta, to jest radijacija 360º ili 2π.

Slika 1. Različiti četverokuti. Izvor: F. Zapata.

Dijagonale su segmenti koji se pridružuju jednoj vršci s njenom suprotnom te se u određenom četverokutu može izvući po jedna dijagonala iz svake vrhove. Ukupni broj dijagonala u četverokutu je dva.

Četveronošci su figure koje su čovječanstvu poznate od davnina. O tome svjedoče arheološki zapisi, kao i građevine koje preživljavaju danas.

Isto tako, i danas su četverokutnici i dalje važni u svakodnevnom životu svih. Čitatelj može ovaj obrazac pronaći na ekranu na kojem trenutno čita tekst, na prozorima, vratima, automobilskim dijelovima i bezbroj drugih mjesta.

Četverostrana klasifikacija

Prema paralelizmu suprotnih strana, četverokuti su klasificirani kako slijedi:

1. Trapez, kad nema paralelizma, a četverokut je konveksan.
2. Trapez, kada postoji paralelizam između jednog para suprotnih strana.
3. Paralelogram, kada su njegove suprotne strane paralelne dvije po dvije.

Slika 2. Klasifikacija i podklasifikacija četverostrana. Izvor: Wikimedia Commons.

Vrste paralelograma

Zauzvrat, paralelogrami se mogu klasificirati prema njihovim kutovima i njihovim stranama kako slijedi:

1. Pravokutnik je paralelogram koji ima svoja četiri unutarnja kuta jednake mjere. Unutarnji kutovi pravokutnika tvore pravi kut (90 °).
2. Kvadrat, to je pravokutnik s njegove četiri strane jednake mjere.
3. Rhombus je paralelogram s njegove četiri jednake strane, ali različitih susjednih kutova.
4. Romboid, paralelogram s različitim susjednim kutovima.

Trapez

Trapez je konveksni četverokut s dvije paralelne strane.

Slika 3. Podnožja, stranice, visina i medijan trapeza. Izvor: Wikimedia Commons.

- U trapezu se paralelne strane zovu osnove, a paralelne se nazivaju bočne.

- Visina trapeza je udaljenost između dviju baza, to jest duljina segmenta s krajevima na osnovama i okomitim na njih. Taj se segment naziva i visina trapeza.

- Medijan je segment koji se spaja sa srednjim točkama bočnih dijelova. Može se pokazati da je medijan paralelan bazama trapeza i njegova duljina jednaka je polukrugu baza.

- Područje trapeza je njegova visina pomnožena s polovičnim zbrojem baza:

Vrste trapeza

- Pravokutni trapez: onaj sa stranom okomitom na osnove. Ova strana je ujedno i visina trapeza.

-Izosceles trapez: onaj sa stranicama jednake duljine. U isosceles trapezu kutovi susjedni bazama su jednaki.

-Skalenski trapez: onaj sa stranicama različitih duljina. Njegovi suprotni kutovi mogu biti jedan akutni, a drugi tupi, ali može se dogoditi i da i jedni i drugi budu oštri.

Slika 4. Vrste trapezija. Izvor: F. Zapata.

Paralelogram

Paralelogram je četverokutnik čije su suprotne strane paralelne dvije po dvije. U paralelogramu su suprotni kutovi jednaki, a susjedni kutovi su dodatni ili, drugačije rečeno, susjedni kutovi dodaju do 180 °.

Ako paralelogram ima pravi kut, tada će svi ostali kutovi biti previše, a rezultirajući lik naziva se pravokutnikom. Ali ako pravokutnik ima i susjedne stranice iste duljine, tada su sve njegove stranice jednake, a rezultirajući lik je kvadrat.

Slika 5. Paralelogrami. Pravokutnik, kvadrat i romb su paralelogrami. Izvor: F. Zapata.

Kad paralelogram ima dvije susjedne strane iste duljine, sve njegove stranice bit će iste duljine, a rezultirajući lik je romb.

Visina paralelograma je segment s krajevima na suprotnim stranama i okomitim na njih.

Područje paralelograma

Područje paralelograma proizvod je baze koja je jednaka visini, pri čemu je baza jednaka strani okomitoj na visinu (slika 6).

Dijagonale paralelograma

Kvadrat dijagonale koji počinje od vrha jednak je zbroju kvadrata dviju strana koje su susjedne navedenoj vršici plus dvostrukog produkta tih strana prema kosinusu kuta te verzije:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Slika 6. Paralelogram. Nasuprotni kutovi, visina, dijagonala. Izvor: F. Zapata.

Kvadrat dijagonale nasuprot vrha paralelograma jednak je zbroju kvadrata dviju strana koje su susjedne spomenutoj vrhovima i oduzimanjem dvostrukog produkta tih strana kosinusom kuta te vrhove:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Zakon paralelograma

U bilo kojem paralelogramu, zbroj kvadrata njegovih strana jednak je zbroju kvadrata dijagonala:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Pravokutnik je četverokutnik s suprotnim stranama paralelnim dva po dva i koji također ima pravi kut. Drugim riječima, pravokutnik je vrsta paralelograma s pravim kutom. Budući da je paralelogram, pravokutnik ima suprotne strane jednake duljine a = c i b = d.

No, kao i u bilo kojem paralelogramu, susjedni kutovi su dopunski, a suprotni kutovi jednaki, u pravokutniku jer ima pravi kut, on će u ostala tri kuta nužno tvoriti prave kutove. Drugim riječima, u pravokutniku svi unutarnji kutovi mjere 90 ° ili π / 2 radijana.

Dijagonale pravokutnika

Dijagonale u pravokutniku su jednake duljine, kao što će biti prikazano u nastavku. Obrazloženje je sljedeće; Pravokutnik je paralelogram sa svim njegovim pravim kutovima i stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma, uključujući formulu koja daje duljinu dijagonala:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

s α = 90º

Budući da je Cos (90º) = 0, tada se događa da:

f ² = g ² = a ² + d ²

To je, f = g, i stoga su duljine f i g dviju dijagonala pravokutnika jednake, a njihova duljina je dana:

Nadalje, ako se u pravougaoniku s susjednim stranama a i b uzme jedna strana kao osnova, druga strana će biti visine i posljedično će područje pravokutnika biti:

Površina pravokutnika = os b.

Perimetar je zbroj svih strana pravokutnika, ali budući da su suprotnosti jednake, iz toga proizlazi da je za pravokutnik sa stranicama a i b obod dat sljedećom formulom:

Perimetar pravokutnika = 2 (a + b)

Slika 7. Pravokutnik sa stranicama a i b. Dijagonale f i g su jednake duljine. Izvor: F. Zapata.

Kvadrat

Trg je pravokutnika s susjednim stranama jednake duljine. Ako kvadrat ima stranu a, tada su njegove dijagonale f i g iste duljine, a to je f = g = (√2) a.

Područje kvadrata nalazi se na bočnoj površini:

Površina kvadrata = a ²

Perimetar kvadrata dvostruko je veći od strane:

Perimetar kvadrata = 4 a

Slika 8. Kvadrat sa stranom a, označava njezino područje, njegov obod i duljinu dijagonala. Izvor: F. Zapata..

Dijamant

Romb je paralelogram sa susjednim stranama jednake duljine, ali budući da su suprotne strane jednake u paralelogramu, tada su sve strane romba jednake duljine.

Dijagonale romba su različite duljine, ali presijecaju se pod pravim kutom.

Slika 9. Rhombus sa strane a, naznačavajući njegovo područje, njegov obod i duljinu dijagonala. Izvor: F. Zapata.

Primjeri

Primjer 1

Pokažite da se u četverostrani (nisu ukršteni) unutarnji kutovi iznose do 360 °.

Slika 10: Prikazuje se kako zbroj kutova četverokuta iznosi do 360 °. Izvor: F. Zapata.

Razmatra se četverostrani ABCD (vidi sliku 10) i crta dijagonala BD. Formiraju se dva trokuta ABD i BCD. Zbroj unutarnjih kutova trokuta ABD je:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

A zbroj unutarnjih kutova trokuta BCD je:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Dodavanjem dvije jednadžbe dobivamo:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Grupiranje:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Grupiranjem i preimenovanjem konačno se pokazuje da:

α + β + δ + γ = 360º

Primjer 2

Pokažite da je srednja vrijednost trapeza paralelna s njezinim bazama, a duljina je polukut baza.

Slika 11. Medijan MN trapezija ABCD. Izvor: F. Zapata.

Medijan trapeza je segment koji se spaja sa srednjim točkama njegovih strana, to jest s paralelnim stranama. U trapezu ABCD prikazanom na slici 11 medijan je MN.

Kako je M srednja točka AD, a N srednja točka BC, omjeri AM / AD i BN / BC su jednaki.

Odnosno, AM je proporcionalan BN-u u jednakom omjeru kao AD i BC, pa su navedeni uvjeti za primjenu Thalesove (recipročne) teoreme koja glasi sljedeće:

"Ako su proporcionalni segmenti određeni u tri ili više linija presječenih s dvije sekunde, tada su sve te linije paralelne."

U našem slučaju se zaključuje da su pravci MN, AB i DC paralelni jedan s drugim, dakle:

"Medijana trapeza paralelna je s njezinim osnovama."

Sada će se primijeniti Thalesov teorem:

"Skup paralela presječenih s dva ili više sekanta određuju proporcionalne segmente."

U našem slučaju AD = 2 AM, AC = 2 AO, pa je trokut DAC sličan trokutu MAO, a posljedično DC = 2 MO.

Sličan argument omogućuje nam da potvrdimo da je CAB sličan CON, gdje je CA = 2 CO i CB = 2 CN. Odmah slijedi da je AB = 2 ON.

Ukratko, AB = 2 ON i DC = 2 MO. Dakle, pri dodavanju imamo:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Konačno se uklanja MN:

MN = (AB + DC) / 2

I zaključuje se da medijan trapeza mjeri polu-zbroj baza, ili drugačije: medijan mjeri zbroj baza, podijeljen s dva.

Primjer 3

Pokažite da se u rombu dijagonale presijecaju pod pravim kutom.

Slika 12. Rhombus i demonstracija da se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom. Izvor: F. Zapata.

Ploča na slici 12 pokazuje potrebnu konstrukciju. Prvo se paralelogram ABCD crta s AB = BC, to jest rombom. Dijagonale AC i DB određuju osam kutova prikazanih na slici.

Koristeći teoremu (aip) koja kaže da naizmjenični unutarnji kutovi između paralela presječenih sekantom određuju jednake kutove, možemo uspostaviti sljedeće:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ i δ2 = β2. (+)

S druge strane, budući da su susjedne stranice romba jednake duljine, određuju se četiri jednakokračna trokuta:

DAB, BCD, CDA i ABC

Sada se poziva na teorem trokuta (jednake oscile) koji kaže da su uglovi susjedni bazi jednake mjere, iz čega se zaključuje da:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ i α ₁ = γ2 (**)

Ako se odnosi (*) i (**) kombiniraju, postiže se sljedeća jednakost kutova:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ s jedne strane i β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 s druge strane.

Podsjećajući na teoremu o jednakim trokutima koji kaže da su dva trokuta s jednakom stranom između dva jednaka kuta jednaka, imamo:

AOD = AOB, a samim tim i kutovi ∡AOD = ∡AOB.

Tada je ∡AOD + ∡AOB = 180º, ali budući da su oba kuta jednake mjere, imamo 2 ∡AOD = 180º što znači da je ∡AOD = 90º.

To jest, geometrijski je prikazano da se dijagonale romba presijecaju pod pravim kutom.

Vježbe riješene

- Vježba 1

Pokažite da su u pravom trapezu neravni kutovi dopunski.

Riješenje

Slika 13. Desni trapez. Izvor: F. Zapata.

Trapez ABCD je konstruiran s bazama AB i DC paralelno. Unutarnji kut vrha A je pravi (mjeri 90 °), tako da imamo pravi trapez.

Kutovi α i δ su unutarnji kutovi između dviju paralela AB i DC, stoga su jednaki, to jest δ = α = 90º.

S druge strane, pokazalo se da zbroj unutarnjih uglova četverokuta iznosi do 360 °, to jest:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Navedeno vodi do:

β + δ = 180º

Potvrđujući ono što se željelo pokazati da su kutovi β i δ dopunski.

- Vježba 2

Paralelogram ABCD ima AB = 2 cm i AD = 1 cm, a kut BAD je 30 °. Odredite područje ovog paralelograma i duljinu njegove dvije dijagonale.

Riješenje

Područje paralelograma proizvod je duljine njegove osnove i njegove visine. U tom slučaju dužina segmenta b = AB = 2 cm uzet će se kao osnova, druga strana ima duljinu a = AD = 1 cm, a visina h izračunava se na sljedeći način:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Dakle: površina = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
3. Freed, K. (2007). Otkrijte poligone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizirani poligoni. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
6. Jr. geometrija. (2014). Poligona. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematika: obrazloženje i aplikacije (deseto izdanje). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Urednički zbornik.
9. Wikipedia. Četverokuta. Oporavak od: es.wikipedia.com