KOEFICIJENT UTVRĐIVANJA: FORMULE, PRORAČUN, TUMAČENJE, PRIMJERI - DUDÁS - 2024

Koeficijent determinacije je broj između 0 i 1 koji predstavlja dio točaka (X, Y) koje slijede regresijske linije nastupu skupa podataka s dvije varijable.

Također poznat kao dobrotom dosjeda i označena s R ². Da bi se izračunao, uzima se kvocijent između varijance podataka Ŷi procijenjene regresijskim modelom i varijancije podataka Yi koji odgovara svakom Xi podataka.

R ² = Sy / Sy

Slika 1. Koeficijent korelacije za četiri para podataka. Izvor: F. Zapata.

Ako se 100% podataka nalazi na liniji regresijske funkcije, tada će koeficijent određivanja biti 1.

Naprotiv, ako je za skup podataka i određene fit funkcije koeficijent R ² ispada da je jednak 0,5, onda se može reći da je u formi je 50% zadovoljavajuće ili dobro.

Slično tome, kada regresijski model prinosi R ² vrijednosti niže od 0,5, to znači da je funkcija odabrana postavka ne prilagodi na zadovoljavajući podacima, čime je neophodno tražiti drugu funkciju podešavanja.

A kad kovarijance i koeficijent korelacije teži nuli, tada varijable X i Y u podacima nisu povezane, a time i R ² će također imaju tendenciju da se nula.

Kako izračunati koeficijent određivanja?

U prethodnom je odjeljku rečeno da se koeficijent određivanja izračunava kvocijentom između varijanci:

-Procjenjuje se regresijskom funkcijom varijable Y

-Od varijable Yi koja odgovara svakoj od varijabli Xi od N podatkovnih parova.

Matematički rečeno, izgleda ovako:

R ² = Sy / Sy

Ovog formule slijedi da je R ² predstavlja udio varijance objasniti regresije. Alternativno, R ² može se izračunati pomoću slijedeće formule, u potpunosti ekvivalent prethodnom:

R ² = 1 - (Sε / Sy)

Gdje Sε predstavlja varijancu zaostataka εi = Ŷi - Yi, dok je Sy varijacija skupa vrijednosti Yi podataka. Da bismo odredili Ŷi primjenjuje se regresijska funkcija, što znači da potvrdimo da je Ŷi = f (Xi).

Varijanca skupa podataka Yi, s i od 1 do N, izračunava se na ovaj način:

Sy =

Zatim nastavite na sličan način za Sŷ ili Sε.

Ilustrativni slučaj

Kako bismo pokazali detalje kako se izračunava koeficijent određivanja, uzet ćemo sljedeći skup od četiri para podataka:

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) i (4, 7)}.

Za ovaj skup podataka predložen je linearni regresijski stavak koji se dobiva metodom najmanje kvadrata:

f (x) = 2,1 x - 1

Primjenom ove funkcije podešavanja dobivaju se momentni:

(X, Ŷ): {(1, 1,1); (2, 3,2); (3, 5.3) i (4, 7.4)}.

Tada izračunavamo aritmetičku sredinu za X i Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Varijanca Sy

Sy = / (4-1) =

= = 7.583

Varijanca Sŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7,35

Koeficijent određivanja R ²

R ² = Sy / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97

Tumačenje

Koeficijent određivanja za ilustrativni slučaj razmatran u prethodnom segmentu pokazao se 0,98. Drugim riječima, linearno podešavanje kroz funkciju:

f (x) = 2.1x - 1

Sigurno je 98% objasniti podatke s kojima je dobiven metodom najmanje kvadrata.

Pored koeficijenta određivanja, postoji i koeficijent linearne korelacije ili poznat i kao Pearsonov koeficijent. Taj koeficijent, označen kao r, izračunava se prema sljedećem odnosu:

r = Sxy / (Sx Sy)

Ovdje brojač predstavlja kovarijanciju između varijabli X i Y, dok je nazivnik proizvod standardnog odstupanja za varijablu X i standardnog odstupanja za varijablu Y.

Pearsonov koeficijent može uzeti vrijednosti između -1 i +1. Kad je ovaj koeficijent teži na +1, postoji izravna linearna korelacija između X i Y. Ako umjesto toga ima tendenciju na -1, postoji linearna korelacija, ali kad X raste Y, opada. Konačno, to je blizu 0, nema korelacije između dvije varijable.

Treba napomenuti da se koeficijent određivanja podudara s kvadratom Pearsonovog koeficijenta, samo kad je prvi izračunat na temelju linearnog stajanja, ali ta jednakost ne vrijedi za ostale nelinearne uklapanja.

Primjeri

- Primjer 1

Skupina srednjoškolaca nastojala je odrediti empirijski zakon za razdoblje klatna kao funkciju njegove duljine. Da bi postigli ovaj cilj, oni provode niz mjerenja u kojima mjere vrijeme oscilacije klatna za različite duljine dobivajući sljedeće vrijednosti:

Duljina (m)	Razdoblje
0.1	0.6
0.4	1.31
0,7	1.78
jedan	1.93
1.3	2.19
1.6	2.66
1.9	2.77
3	3.62

Zahtijeva se rasipanje crteža podataka i izvođenje linearnog umetanja putem regresije. Također, pokažite jednadžbu regresije i njezin koeficijent određivanja.

Riješenje

Slika 2. Grafikon rješenja za vježbu 1. Izvor: F. Zapata.

Može se primijetiti prilično visok koeficijent određivanja (95%), pa bi se moglo pomisliti da je linearno spajanje optimalno. Međutim, ako se točke gledaju zajedno, čini se da imaju tendenciju da zakrivaju prema dolje. Taj detalj nije razmatran u linearnom modelu.

- Primjer 2

Za iste podatke u primjeru 1 napravite crtež rasipanja podataka. Tom se prilikom, za razliku od primjera 1, zahtijeva regresijsko podešavanje koristeći potencijalnu funkciju.

Slika 3. Grafikon rješenja za vježbu 2. Izvor: F. Zapata.

Također pokazuju fit funkciju i njegov koeficijent determinacije R ².

Riješenje

Potencijalna funkcija ima oblik f (x) = Ax ^B, gdje su A i B konstante koje su određene metodom najmanje kvadrata.

Prethodna slika prikazuje potencijalnu funkciju i njene parametre, kao i koeficijent određivanja s vrlo visokom vrijednošću od 99%. Primijetite da podaci slijede zakrivljenost linije trenda.

- Primjer 3

Upotrebom istih podataka iz primjera 1 i primjera 2, izvedite polinom drugog stupnja. Pokazuje grafikon, koji se navlači polinom, a odgovarajući koeficijent determinacije R ².

Riješenje

Slika 4. Grafikon rješenja za vježbu 3. Izvor: F. Zapata.

Sa polinomom drugog stupnja možete vidjeti liniju trenda koja se dobro uklapa u zakrivljenost podataka. Također, koeficijent određivanja je iznad linearnog stajanja i ispod potencijalnog fitanja.

Fit usporedba

Od tri prikazana podudaranja, onaj s najvišim koeficijentom određivanja potencijalno je pogodan (primjer 2).

Potencijalno podudaranje podudara se s fizičkom teorijom klatna, koja, kao što je poznato, uspostavlja da je razdoblje klatna proporcionalno kvadratnom korijenu njegove duljine, pri čemu je konstanta proporcionalnosti 2π / √g gdje je g ubrzanje gravitacije.

Ova vrsta potencijalnog uklapanja ne samo da ima najveći koeficijent determiniranosti, već eksponent i konstanta proporcionalnosti odgovaraju fizičkom modelu.

Zaključci

- Podešavanje regresije određuje parametre funkcije koja želi objasniti podatke koristeći metodu najmanje kvadrata. Ova metoda sastoji se od minimiziranja zbroja kvadratne razlike između vrijednosti Y podešavanja i Yi vrijednosti podataka za Xi vrijednosti podataka. Ovo određuje parametre funkcije podešavanja.

-Kako smo vidjeli, najčešća funkcija prilagodbe je linija, ali nije jedina, budući da podešavanja mogu biti i polinomna, potencijalna, eksponencijalna, logaritamska i druge.

-U svakom slučaju, koeficijent određivanja ovisi o podacima i vrsti podešavanja i pokazatelj je dobrote primijenjene prilagodbe.

-Na kraju, koeficijent određivanja označava postotak ukupne varijabilnosti između Y vrijednosti podataka u odnosu na Ŷ vrijednost prilagodbe za X dani.

Reference

1. González C. Opća statistika. Oporavak od: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IAKS. Aragonski institut zdravstvenih znanosti. Oporavilo od: ics-aragon.com
3. Salazar C. i Castillo S. Osnovna načela statistike. (2018.). Oporavak od: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Koeficijent određivanja. Oporavak od: superprof.es
5. USAC. Priručnik s opisnom statistikom. (2011). Oporavak od: statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Koeficijent određivanja. Oporavak od: es.wikipedia.com.