STEINEROVA TEOREMA: OBJAŠNJENJE, APLIKACIJE, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Steiner „s teorem, također poznat kao poučak o usporednim osima, ocijeniti momenta inercije proširenog tijela oko osi koja je paralelna s drugom prolazu kroz centar mase objekta.

Otkrio ga je švicarski matematičar Jakob Steiner (1796.-1863.) I kaže sljedeće: neka je _CM trenutak inercije objekta s obzirom na os koja prolazi kroz njegovo središte mase CM, a _z inercija trenutka inercije u odnosu na drugu osovinu paralelno s tim.

Slika 1. Pravokutna vrata koja se okreću na šarkama imaju inercijski trenutak koji se može izračunati primjenom Steinerove teoreme. Izvor: Pixabay.

Znajući udaljenost D koja razdvaja obje osi i masu M dotičnog tijela, trenutak inercije u odnosu na nepoznatu os je:

Trenutak inercije ukazuje na to koliko je lako jedan objekt okretati se oko određene osi. To ne ovisi samo o masi tijela, već i o tome kako je raspodijeljeno. Iz tog razloga je poznata i kao rotacijska inercija, a njezine su jedinice u međunarodnom sustavu Kg. m ².

Teorema pokazuje da je trenutak inercije I _z uvijek veći od momenta inercije I _CM za količinu koju daje MD ².

Prijave

Budući da se objekt može okretati oko brojnih osi, a u tablicama je obično dat samo inercijski trenutak u odnosu na os koja prolazi kroz središte, Steinerova teorema olakšava proračun kada je potrebno rotirati tijela na osovinama koji se ne podudaraju s tim.

Na primjer, vrata se obično ne okreću oko osi kroz središte mase, već oko bočne osi, gdje se šarke lijepe.

Poznavanjem inercijskog trenutka moguće je izračunati kinetičku energiju povezanu sa rotacijom oko navedene osi. Ako je K kinetička energija, ja inercijski trenutak oko dotične osi i ω kutna brzina, slijedi da:

Ova je jednadžba vrlo slična vrlo poznatoj formuli kinetičke energije za objekt mase M koji se kreće brzinom v: K = ½ Mv ². I jest da trenutak inercije ili rotacijska inercija I igra istu ulogu u rotaciji kao masa M u prijevodu.

Dokaz Steinerove teoreme

Trenutak inercije proširenog objekta definira se kao:

I = ∫ r ² dm

Gdje je dm infinitezimalni dio mase, a r je udaljenost između dm i osi rotacije z. Na slici 2 ova os prelazi središte mase CM, no može biti bilo koja.

Slika 2. Predmet produžen u rotaciji oko dvije paralelne osi. Izvor: F. Zapata.

Oko druge z 'osi, trenutak inercije je:

I _z = ∫ (r ') ² dm

U skladu s trokutom koji čine vektori D, r i r ' (vidi sliku 2 s desne strane), postoji vektorski zbroj:

r + r ' = D → r' = D - r

Tri vektora leže na ravnini objekta, što može biti xy. Podrijetlo koordinatnog sustava (0,0) odabrano je u CM kako bi se olakšali izračuni koji slijede.

Na ovaj način kvadratni modul vektora r ' je:

Sada je taj razvoj supstituiran u integralu trenutka inercije I _z, a koristi se i definicija gustoće dm = ρ.dV:

Izraz M. D ² koji se pojavljuje u Steinerovoj teoremi dolazi iz prvog integralnog, drugi je inercijski trenutak u odnosu na os koja prolazi kroz CM.

Sa svoje strane, treći i četvrti integral su vrijedni 0, jer po definiciji oni čine položaj CM, koji je odabran kao izvor koordinatnog sustava (0,0).

Riješene vježbe

-Rješena vježba 1

Pravokutna vrata na slici 1 imaju masu od 23 kg, široka 1,30 i visoka 2,10 m. Odredite trenutak inercije vrata u odnosu na os koja prolazi kroz šarke, pretpostavljajući da su vrata tanka i ujednačena.

Slika 3. Shema za obrađeni primjer 1. Izvor: modificirano iz Pixabaya.

Riješenje

Iz tablice inercijskih trenutaka, za pravokutnu ploču mase M i dimenzija a i b, trenutak inercije u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase je: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Pretpostavit će se homogena vrata (aproksimacija, jer vrata na slici vjerojatno nisu tako). U takvom slučaju centar mase prolazi kroz njegovo geometrijsko središte. Na slici 3 nacrtana je os koja prolazi kroz središte mase, a također je paralelna s osi koja prolazi kroz šarke.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ²) m ² = 11,7 Kg.m ²

Primjena Steinerove teoreme za zelenu os rotacije:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Rješena vježba 2

Pronađite trenutak inercije homogene tanke šipke kada se okreće oko osi koja prolazi kroz jedan od njenih krajeva, vidi sliku. Je li veći ili manji od inercije kada se okreće oko središta? Zašto?

Slika 4. Shema za riješeni primjer 2. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Prema tablici inercijskih trenutaka, trenutak inercije I _CM tanke šipke mase M i duljine L je: I _CM = (1/12) ML ²

A Steinerova teorema kaže da kada se rotira oko osi koja prolazi kroz jedan kraj D = L / 2 ostaje:

Veća je, iako ne jednostavno dvostruko, ali 4 puta više, jer se druga polovica šipke (koja nije zasjenjena na slici) okreće opisujući veći polumjer.

Utjecaj udaljenosti od osi rotacije nije linearno, već kvadratno. Masa koja je dvostruko veća od druge, imat će inercijski trenutak proporcionalan (2D) ² = 4D ².

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženjerstvo i znanosti. Svezak 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Sveučilište Georgia. Rotacijsko kretanje. Oporavak od: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorem paralelne osi. Oporavak od: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorem paralelne osi. Oporavilo sa: en.wikipedia.org