SLUČAJNI EKSPERIMENT: KONCEPT, UZORAK PROSTORA, PRIMJERI - DUDÁS - 2025

Govorimo o slučajnom eksperimentu kada je rezultat svakog određenog pokusa nepredvidiv, iako se može utvrditi vjerojatnost pojave određenog rezultata.

No, treba pojasniti da nije moguće reproducirati isti rezultat slučajnog sustava s istim parametrima i početnim uvjetima u svakom pokusu pokusa.

Slika 1. Valjak kockica je slučajni eksperiment. Izvor: Pixabay.

Dobar primjer nasumičnog eksperimenta je kotrljanje matrice. Čak i ako se pazi da se matica na isti način kotrlja, svaki će pokušaj dati nepredvidiv rezultat. Zapravo, jedino što se može reći jest da rezultat može biti jedan od sljedećih: 1, 2, 3, 4, 5 ili 6.

Bacanje novčića još je jedan slučaj nasumičnog eksperimenta sa samo dva moguća ishoda: glave ili repova. Iako se novčić baca s iste visine i na isti način, faktor šanse uvijek će biti prisutan, što rezultira neizvjesnošću pri svakom novom pokušaju.

Suprotnost slučajnom eksperimentu je deterministički eksperiment. Na primjer, poznato je da je voda pri svakom zagrijavanju na razini mora 100 ° C. Ali nikad se ne dogodi da, uz iste uvjete, rezultat ponekad bude 90 ºC, drugi 12 0ºC, a ponekad 100 ºC.

Uzorak prostora

Skup svih mogućih rezultata slučajnog eksperimenta naziva se prostor uzorka. U slučajnom eksperimentu kotrljanja matrice, prostor za uzorke je:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

S druge strane, u bacanju kovanice uzorak je prostora:

M = {glave, repovi}.

Događaj ili pojava

U slučajnom eksperimentu događaj je pojava ili ne određeni ishod. Na primjer, u slučaju prebacivanja kovanice, događaj ili pojava su da se pojavljuju glave.

Drugi događaj u nasumičnom eksperimentu mogao bi biti sljedeći: da se na matricu kotrlja broj manji od ili jednak tri.

U slučaju da se događaj dogodi, tada je skup mogućih rezultata skup:

E = {1, 2, 3}

Zauzvrat, ovo je podskup prostora uzorka ili skupa:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Primjeri

Ispod je nekoliko primjera koji ilustriraju gore navedeno:

Primjer 1

Pretpostavimo da se dvije kovanice bacaju jedna za drugom. Pita se:

a) Navedite je li slučajni eksperiment ili, naprotiv, deterministički eksperiment.

b) Koliki je prostor uzorka S ovog eksperimenta?

c) Navedite skup događaja A, što odgovara činjenici da eksperiment rezultira glavama i repovima.

d) Izračunajte vjerojatnost da se dogodi događaj A.

e) Napokon pronađite vjerojatnost da će se dogoditi događaj B: u rezultatu se ne pojavljuju glave.

Riješenje

Vrećica sadrži 10 bijelih mramora i 10 crnih mramora. Tri mramora uzastopno vade se iz torbe bez gledanja iznutra.

a) Odredite prostor uzorka za ovaj slučajni eksperiment.

b) Odredite skup rezultata koji odgovaraju događaju A, a koji se sastoji u tome da nakon eksperimenta postoje dva crna mramora.

c) Eventom B je dobiti najmanje dva crna mramora, odrediti skup rezultata B za ovaj događaj.

d) Kolika je vjerojatnost da se događaj A dogodi?

e) Pronađite vjerojatnost da će se dogoditi događaj B.

f) Odredite vjerojatnost da je rezultat nasumičnog eksperimenta da imate barem jedan crni mramor. Taj će se događaj zvati C.

Slika 2. Crno-bijeli mramor za slučajne pokuse. Izvor: Needpix.

Rješenje za

Za izgradnju prostora uzorka korisno je napraviti dijagram stabla, poput onoga prikazanog na slici 3:

Slika 3. Dijagram stabla na primjer 2. Pripremila Fanny Zapata.

Skup Ω mogućih rezultata vađenja tri mramora iz vreće s istim brojem crnih i bijelih mramora, upravo je prostor uzorka ovog slučajnog eksperimenta.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Rješenje b

Skup mogućih ishoda koji odgovara događaju A, a koji se sastoji od dva crna mramora je:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Rješenje c

Događaj B je definiran kao: "imati najmanje dva crna mramora nakon što su nasumice izvukli tri." Skup mogućih ishoda događaja B je:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Rješenje d

Vjerojatnost događaja A je kvocijent između broja mogućih ishoda za ovaj događaj i ukupnog broja mogućih ishoda, odnosno broja elemenata u prostoru uzorka.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Dakle, postoji 37,5% vjerojatnosti da će imati dva crna mramora nakon što nasumično izvade tri mramora iz vreće. Ali imajte na umu da ni na koji način ne možemo predvidjeti točan ishod eksperimenta.

Rješenje e

Vjerojatnost da se dogodi događaj B, koja se sastoji od dobivanja barem jednog crnog mramora, je:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

To znači da je mogućnost da se dogodi događaj B jednaka vjerojatnosti da se on ne dogodi.

Rješenje f

Vjerojatnost dobivanja barem jednog crnog mramora, nakon što smo ih nacrtali tri, jednaka je 1 minus vjerojatnosti da će rezultat biti "tri bijela mramora".

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Sada možemo provjeriti ovaj rezultat, napomenuvši da je broj mogućnosti događaja C koji je jednak broju elemenata mogućih rezultata za događaj C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Reference

1. CanalPhi. Slučajni eksperiment. Oporavilo od: youtube.com.
2. MateMovil. Slučajni eksperiment. Oporavilo od: youtube.com
3. Pishro Nick H. Uvod u vjerojatnost. Oporavak od: vjerovatnoća.com
4. Ross. Vjerojatnost i statistika za inženjere. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Eksperiment (teorija vjerojatnosti). Oporavilo sa: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Odlučni događaj. Oporavak od: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Slučajni eksperiment. Oporavak od: es.wikipedia.com