JEDNODIMENZIONALNI VALOVI: MATEMATIČKI IZRAZ I PRIMJERI - FIZIČKA - 2024

Jedno- dimenzionalne valovi su oni koji propagiraju samo u jednom smjeru, bez obzira na to da li se vibracije u istom smjeru propagacije ili ne. Dobar primjer za to je val koji prolazi kroz napeti niz poput gitare.

U poprečnom ravninskom valu čestice vibriraju u okomitom smjeru (dižu se i padaju, vidi crvenu strelicu na slici 1), ali to je jednodimenzionalno jer smetnja putuje u samo jednom smjeru slijedeći žutu strelicu.

Slika 1: Slika predstavlja jednodimenzionalni val. Imajte na umu da grebeni i doline tvore linije paralelne jedna s drugom i okomite na smjer širenja. Izvor: self made.

Jednodimenzionalni valovi se prilično često pojavljuju u svakodnevnom životu. U sljedećem su odjeljku opisani neki primjeri istih, kao i valovi koji nisu jednodimenzionalni kako bi se jasno utvrdile razlike.

Primjeri jednodimenzionalnih valova i jednodimenzionalnih valova

Jednodimenzionalni valovi

Evo nekoliko primjera jednodimenzionalnih valova koji se lako mogu promatrati:

- Zvučni impuls koji putuje kroz ravnu traku, jer se radi o smetnji koja se širi duž cijele trake šipke.

- val koji prolazi vodenim kanalom, čak i kad pomicanje vodene površine nije paralelno s kanalom.

- Valovi koji se šire na površini ili kroz trodimenzionalni prostor mogu biti i jednodimenzionalni, sve dok su njihove valne fronte paralelne jedna s drugom i putuju u samo jednom smjeru.

Jednodimenzionalni valovi

Primjer nedimenzionalnog vala nalazimo u valovima koji se formiraju na mirnoj vodenoj površini kad padne kamen. To je dvodimenzionalni val s cilindričnom valnom frontom.

Slika 2. Slika predstavlja primjer onoga što jednodimenzionalni val NIJE. Imajte na umu da grmovi i doline tvore krugove, a smjer širenja vanjski je radijalan, tada je to kružni dvodimenzionalni val. Izvor: Pixabay.

Drugi primjer nedimenzionalnog vala je zvučni val koji vatrogasac proizvodi eksplodiranjem na određenoj visini. Ovo je trodimenzionalni val sa sfernim frontama vala.

Matematički izraz jednodimenzionalnog vala

Najopćenitiji način izražavanja jednodimenzionalnog vala koji se širi bez prigušenja u pozitivnom smjeru osi xy brzinom v, matematički je:

U ovom izrazu y predstavlja smetnju u položaju x u vremenu t. Oblik vala daje se funkcijom f. Na primjer, valna funkcija prikazana na slici 1 iznosi: y (x, t) = cos (x - vt), a valna slika odgovara trenutku t = 0.

Val poput ovog, opisan kosinusom ili sinusom, naziva se harmoničnim valom. Iako nije jedini oblik vala koji postoji, on je od najveće važnosti, jer se bilo koji drugi val može predstaviti kao superpozicija ili zbir harmoničnih valova. To je dobro poznata Fourierova teorema, tako široko korištena za opisivanje signala svih vrsta.

Kad val putuje u negativnom smjeru osi x, jednostavno promijenite v u -v u argumentu, ostavljajući:

Na slici 3. prikazana je animacija vala koji putuje lijevo: to je oblik koji se zove Lorentzijeva funkcija, a matematički je izraz sljedeći:

U ovom primjeru brzina širenja je v = 1, - jedna jedinica prostora za svaku jedinicu vremena -.

Slika 3. Primjer Lorentzijevog vala koji putuje lijevo brzinom v = 1. Izvor: Priredio F. Zapata s Geogebrom.

Jednodimenzionalna jednadžba valova

Valna jednadžba djelomična je derivatna jednadžba, čije je rješenje naravno val. Uspostavlja matematički odnos između prostornog dijela i vremenskog dijela i ima oblik:

Primjer rada

Slijedi opći izraz y (x, t) za harmonički val:

a) Opišite fizičko značenje parametara A, k, ω i θo.

b) Kakvo značenje imaju znakovi ± u argumentu kosinusa?

c) Provjerite je li dati izraz doista rješenje valne jednadžbe prethodnog odjeljka i pronađite brzinu v širenja.

Rješenje za)

Karakteristike vala nalaze se u sljedećim parametrima:

Druga izvedenica s obzirom na t: ∂ ² i / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Ovi se rezultati supstituiraju u valnoj jednadžbi:

I A i kosinus su pojednostavljeni, jer se pojavljuju na obje strane jednakosti i argument kosinusa je isti, pa se izraz svodi na:

Što omogućava dobivanje jednadžbe za v u smislu ω i k:

Reference

1. E-obrazovne. Jednadžba jednodimenzionalnih harmonskih valova. Oporavak od: e-ducativa.catedu.es
2. Ugao fizike. Valna nastava. Oporavilo od: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Valovi i kvantna fizika. Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Uredio Douglas Figueroa. Sveučilište Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
4. Laboratorij za fiziku, gibanje valova. Oporavilo od: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Predavanje 21: Jednodimenzionalna valna jednadžba: D'Alembertovo rješenje. Oporavak od: ubc.ca.
6. Valna jednadžba. Oporavilo sa: en.wikipedia.com