PRIME BROJEVI: KARAKTERISTIKE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Jednostavni brojevi, koji se nazivaju i apsolutni apsolutni, jesu prirodni brojevi koji su samo djeljivi i 1. Ova kategorija broji 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i mnogi plus.

Umjesto toga, složeni je broj djeljiv na sebe, jedan, a najmanje jedan drugi broj. Imamo primjer 12, koji je djeljiv s 1, 2, 4, 6 i 12. Prema dogovoru, 1 nije uključen u popis osnovnih brojeva ili u popis spojeva.

Slika 1. Neki prazni brojevi. Izvor: Wikimedia Commons.

Poznavanje pravih brojeva datira iz starih vremena; stari Egipćani su ih već koristili i to su zasigurno znali davno prije.

Ovi brojevi su vrlo važni, jer bilo koji prirodni broj može biti predstavljen proizvodom pravih brojeva, a ovaj je prikaz jedinstven, osim redoslijedom faktora.

Ta je činjenica u potpunosti utvrđena u teoremi nazvanoj Aritmetička temeljna teorema koja kaže da brojevi koji nisu primarni nužno čine proizvodi od brojeva koji jesu.

Karakteristike pravih brojeva

Ovo su glavne karakteristike osnovnih brojeva:

-Oni su beskonačni, bez obzira koliko veliki je prazan broj, uvijek možete pronaći veći.

-Ako prosti broj p ne dijeli točno jedan drugi broj a, onda se kaže da su p i a glavni. Kad se to dogodi, jedini zajednički razdjelnik koji imaju obojica je 1.

Nije potrebno da apsolutni premijer postane apsolutni premijer. Na primjer, 5 je primarno, i iako 12 nije, oba su broja jednaka drugoj, jer oba imaju 1 kao zajednički djelitelj.

-Kada pravi broj p dijeli snagu broja n, također dijeli i n. Razmotrimo 100, što je snaga 10, točnije 10 ². Događa se da 2 dijele i 100 i 10.

-Svi su primarni brojevi neparni, osim 2, stoga njegova zadnja znamenka je 1, 3, 7 ili 9. 5 nije uključena, jer iako je neparno i primarno, to nikada nije konačna brojka drugog pravog broja. U stvari, svi brojevi koji završavaju sa 5 su višestruki od ovoga i stoga nisu glavni.

-Ako je p prost i djelitelj produkta dva broja ab, tada p dijeli jedan od njih. Na primjer, primarni broj 3 dijeli proizvod 9 x 11 = 99, jer je 3 djeitelj na 9.

Kako znati je li broj prazan

Primalnost je ime koje je dodijeljeno kvaliteti biti glavni. Pa, francuski matematičar Pierre de Fermat (1601-1665) pronašao je način da provjeri primalnost broja, u takozvanoj maloj Fermatovoj teoremi koja glasi ovako:

"S obzirom na osnovni prirodni broj p i bilo koji prirodni broj veći od 0, istina je da je ^p - a višekratnik p, sve dok je p prost".

To možemo potkrijepiti korištenjem malih brojeva, na primjer pretpostavimo da je p = 4, za koji već znamo da nije primarni i već je = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Broj 1290 nije točno djeljiv sa 4, stoga 4 nije premošćen broj.

Napravimo test sada s p = 5, koji je pravedan i ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 je djeljivo sa 5, jer je bilo koji broj koji završava sa 0 ili 5. U stvari 7760/5 = 1554. Budući da Fermatov mali teorem drži, možemo osigurati da je 5 primarni broj.

Dokaz kroz teoremu učinkovit je i izravan s malim brojevima, u kojima je operacija jednostavna za izvesti, ali što učiniti ako se od nas traži da saznamo primat velikog broja?

U tom slučaju, broj se sukcesivno dijeli između svih manjih pravih brojeva, sve dok se ne utvrdi točna podjela ili kvocijent bude manji od djelitelja.

Ako je bilo koja podjela točna, znači da je broj sastavljen i ako je kvocijent manji od djelitelja, to znači da je broj prost. Mi ćemo to primijeniti u rješenoj vježbi 2.

Načini pronalaska pravog broja

Postoji beskonačno mnogo pravih brojeva i ne postoji jedinstvena formula koja bi ih odredila. Međutim, gledajući neke glavne brojeve poput ovih:

3, 7, 31, 127…

Primjećuje se da su oblika 2 ⁿ - 1, s n = 2, 3, 5, 7, 9… U to se uvjerimo:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ali ne možemo osigurati da općenito 2 ⁿ - 1 bude prvobitno, jer postoje neke vrijednosti n za koje ne funkcionira, na primjer 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

A broj 15 nije primarni, jer završava u 5. Međutim, jedan od najvećih poznatih primjera, koji se pronalazi računalnim izračunima, je oblika 2 ⁿ - 1 sa:

n = 57,885,161

Mersenneova formula uvjerava nas da je 2 ^p - 1 uvijek prvo mjesto, sve dok je p također glavni. Na primjer, 31 je glavni, tako da je sigurno da je 2 ³¹ - 1 također glavni:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Međutim, formula vam omogućuje određivanje samo nekih pravih brojeva, ne svih.

Eulerova formula

Sljedeći polinom omogućava pronalazak pravih brojeva pod uvjetom da je n između 0 i 39:

P (n) = n ² + n + 41

Kasnije se u odjeljku s riješenim vježbama nalazi primjer njegove upotrebe.

Sito Eratostena

Eratosten je bio fizičar i matematičar iz drevne Grčke koji je živio u 3. stoljeću prije Krista. Osmislio je grafičku metodu pronalaska pravih brojeva koje možemo primijeniti u praksi s malim brojevima, naziva se sito Eratosthenes (sito je poput sita).

-Brojevi se stavljaju u tablicu poput one prikazane u animaciji.

- Čak su i brojevi prekriženi, osim 2 za koju znamo da je glavna. Svi ostali su višestruki od ovoga i stoga nisu glavni.

- Označeni su i množitelji 3, 5, 7 i 11, isključujući sve njih, jer znamo da su glavni.

-Množice od 4, 6, 8, 9 i 10 su već označene, jer su složene i, stoga, višestruke od nekih navedenih prašuma.

- U konačnici, brojevi koji ostaju neoznačeni su glavni.

Slika 2. Animacija sita Eratostena. Izvor: Wikimedia Commons.

vježbe

- Vježba 1

Pomoću polimera Euler za jednostavne brojeve pronađite 3 broja veća od 100.

Riješenje

Ovo je polinom koji je Euler predložio za pronalaženje pravih brojeva, a koji djeluje za vrijednosti n između 0 i 39.

P (n) = n ² + n + 41

Pokušajem i pogreškama odabiremo vrijednost n, na primjer n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Budući da n = 8 proizvodi primarni broj veći od 100, tada polinom ocjenjujemo za n = 9 i n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Vježba 2

Saznajte jesu li sljedeći brojevi glavni:

a) 13

b) 191

Rješenje za

Trinaest je dovoljno malo da se može koristiti Fermatova mala teorema i pomoć kalkulatora.

Koristimo a = 2, tako da brojevi nisu preveliki, mada se mogu koristiti i a = 3, 4 ili 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 je djeljiv sa 2, budući da je paran, dakle, 13 je glavni. Čitatelj to može potkrijepiti radeći isti test s a = 3.

Rješenje b

191 je prevelik da bi se dokazao teoremom i zajedničkim kalkulantom, ali možemo pronaći podjelu između svakog pravog broja. Dijelimo dijeljenje sa 2 jer 191 nije ravnomjerna i podjela neće biti točna ili je kvocijent manji od 2.

Pokušavamo podijeliti s 3:

191/3 = 63,666…

A ne daje tačan, niti je kvocijent manji od djelitelja (63,666… je veći od 3)

Nastavljamo pokušavajući podijeliti 191 između prašuma 5, 7, 11, 13, a ni tačna podjela nije postignuta, niti kvocijent manji od djelitelja. Dok se ne podijeli sa 17:

191/17 = 11, 2352…

Kako nije točno, a 11.2352… manje od 17, broj 191 je glavni.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdanja i distribucije Kodeksa.
2. Prieto, C. Primarni brojevi. Oporavak od: paginas.matem.unam.mx.
3. Svojstva pravih brojeva. Oporavak od: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Glavni brojevi: kako ih pronaći uz sito Eratostena. Oporavak od: smartick.es.
5. Wikipedia. Glavni broj. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.