MATEMATIČKO OČEKIVANJE: FORMULA, SVOJSTVA, PRIMJERI, VJEŽBA - DUDÁS - 2025

Matematički očekivanje ili očekivana vrijednost slučajne varijable X, označava se kao E (X) i definira se kao suma proizvoda između vjerojatnosti slučajnog događajem i vrijednost navedenog događaja.

U matematičkom obliku to se izražava na sljedeći način:

Slika 1. Matematičko očekivanje široko se koristi na burzi i u osiguranju. Izvor: Pixabay.

Gdje je x _i vrijednost događaja, a P (x _i) njegova vjerojatnost nastanka. Zbir se proteže preko svih vrijednosti koje X priznaje. A ako su one konačne, naznačeni zbroj konvergira se vrijednosti E (X), ali ako se zbroj ne konvergira, tada varijabla jednostavno nema očekivanu vrijednost.

Kada je to kontinuirana varijabla x, varijabla može imati beskonačne vrijednosti, a integrali zamjenjuju zbrajanje:

Ovdje f (x) predstavlja funkciju gustoće vjerojatnosti.

Općenito, matematičko očekivanje (koje je ponderirani prosjek) nije jednako aritmetičkoj sredini ili prosjeku, osim ako se ne bavimo diskretnim raspodjelama u kojima je svaki događaj podjednako vjerojatan. Tada i tek tada:

Gdje je n broj mogućih vrijednosti.

Koncept je vrlo koristan na financijskim tržištima i osiguravajućim društvima, gdje izvjesnosti često nedostaju, ali vjerojatnosti postoje.

Svojstva matematičkog očekivanja

Među najvažnijim svojstvima matematičkog očekivanja ističu se:

- Znak: ako je X pozitivan, tada će i E (X) biti pozitivan.

- Očekivana vrijednost konstante: očekivana vrijednost stvarne konstante k je konstanta.

- Linearnost u zbroju: očekivanje slučajne varijable koja je zauzvrat zbroj dviju varijabli X i Y zbroj očekivanja.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- množenje s konstantom: ako je slučajna varijabla oblika kX, gdje je k konstanta (stvarni broj), ona izlazi izvan očekivane vrijednosti.

- Očekivana vrijednost proizvoda i neovisnost između varijabli: ako je slučajna varijabla proizvod slučajnih varijabli X i Y, koje su neovisne, tada je očekivana vrijednost proizvoda rezultat očekivanih vrijednosti.

Općenito, ako je Y = g (X):

- Redoslijed očekivane vrijednosti: ako je X ≤ Y, tada:

Budući da postoje očekivane vrijednosti svakog od njih.

Matematičko očekivanje u klađenju

Kad poznati astronom Christian Huygens (1629-1695) nije promatrao nebo, posvetio se proučavanju, između ostalih disciplina, vjerojatnosti u igrama na sreću. Upravo je on uveo koncept matematičke nade u svom djelu 1656. pod naslovom: Razmišljanje o igrama na sreću.

Slika 2. Christiaan Huygens (1629-1625) bio je sjajan i svestran znanstvenik kojem dugujemo koncept očekivane vrijednosti.

Huygens je otkrio da je oklade moguće klasificirati na tri načina, na temelju očekivane vrijednosti:

-Igre s prednošću: E (X)> 0

- Poštene oklade: E (X) = 0

-Nema igranja: E (X) <0

Problem je što matematičko očekivanje u igrama na sreću nije uvijek lako izračunati. A kad možete, rezultat je ponekad razočaravajući za one koji se pitaju hoće li se kladiti ili ne.

Pokušajmo s jednostavnom okladom: glave ili repovi, a gubitnik plaća kavu od jednog dolara. Koja je očekivana vrijednost ove oklade?

Pa, vjerojatnost da će se glave okrenuti je ½, jednaka je repovima. Nasumična varijabla dobit će 1 ili gubitak 1 USD, dobitak je označen znakom +, a gubitak znakom -.

Informacije organiziramo u tablici:

Pomnožimo vrijednosti stupaca: 1. ½ = ½ i (-1). ½ = -½ i na kraju se dodaju rezultati. Zbroj je 0 i to je fer igra u kojoj se od sudionika očekuje da ne pobijede niti izgube.

Francuska ruleta i lutrija hendikepirane su igre u kojima većina kladionica gubi. Kasnije postoji nešto složeniji ulog u dijelu s riješenim vježbama.

Primjeri

Evo nekoliko jednostavnih primjera gdje je koncept matematičkog očekivanja intuitivan i pojašnjava pojam:

Primjer 1

Započet ćemo kotanjem poštenog mrtvaca. Koja je očekivana vrijednost lansiranja? Pa, ako je matrica iskrena i ima 6 glava, vjerojatnost da će se bilo koja vrijednost (X = 1, 2, 3… 6) kotrljati je 1/6, ovako:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Slika 3. U roli poštenog umreža, očekivana vrijednost nije moguća vrijednost. Izvor: Pixabay.

Očekivana vrijednost u ovom slučaju jednaka je prosjeku, jer svako lice ima istu vjerojatnost izlaska. Ali E (X) nije moguća vrijednost, jer niti jedna glava ne vrijedi 3,5. To je sasvim moguće u nekim distribucijama, mada u ovom slučaju rezultat ne pomaže mnogo kladitelju.

Pogledajmo još jedan primjer s bacanjem dvije kovanice.

Primjer 2

Dvije poštene kovanice bacaju se u zrak i definiramo slučajnu varijablu X kao broj valjanih glava. Događaji koji se mogu dogoditi su sljedeći:

-Ne dižu se glave: 0 glava što je jednako 2 repa.

-Izlazi 1 glava i 1 pečat ili križ.

Izlaze dva lica.

Neka je C glava, a T pečat, uzorak prostora koji opisuje ove događaje je sljedeći:

S _m = {Pečat-Pečat; Zapečatiti-lice; Lice Seal; Lice} = {TT, TC, CT, CC}

Vjerojatnost događanja je:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tablica je izgrađena s dobivenim vrijednostima:

Prema definiciji danoj na početku, matematičko očekivanje se izračunava kao:

Zamjena vrijednosti:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Taj se rezultat tumači na sljedeći način: ako osoba ima dovoljno vremena za obavljanje velikog broja eksperimenata bacanjem dvije kovanice, očekuje se da će dobiti glavu na svakom bacanju.

Međutim, znamo da su izdanja s 2 naljepnice potpuno moguća.

Vježba riješena

U bacanju dvije poštene kovanice donosi se sljedeća oklada: ako vam izađu 2 glave, osvojite 3 USD, ako izađe 1 glava, osvojite 1 USD, ali ako izađu dvije marke, morate platiti 5 USD. Izračunajte očekivani dobitak oklade.

Slika 4. Ovisno o okladi, matematičko se očekivanje mijenja kad bacanje dvije poštene kovanice. Izvor: Pixabay.

Riješenje

Slučajna varijabla X su vrijednosti koje novac uzima u okladi, a vjerojatnosti su izračunate u prethodnom primjeru, dakle tablica oklade je:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Kako je očekivana vrijednost 0, ovo je fer igra, tako da se ovdje očekuje da kladitelj ne pobijedi, a ni da ne izgubi. Međutim, iznosi uloga mogu se promijeniti kako bi oklada postala igra hendikepom ili hendikepom.

Reference

1. Brase, C. 2009. Razumljiva statistika. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Uvod u pojam očekivane vrijednosti ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Oporavak od: personal.us.es.
3. Statistika LibreTexts. Očekivana vrijednost diskretnih slučajnih varijabli. Oporavilo sa: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementarna statistika. 11.. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Vjerojatnost i statistika za znanost i inženjerstvo. 8.. Izdanje. Pearson Education.