KURTOZA: DEFINICIJA, VRSTE, FORMULE, ZA ŠTO SE RADI, PRIMJERICE - DUDÁS - 2025

Kurtosis ili Kurtosis je statistički parametar koristi za karakterizaciju razdiobu vjerojatnosti slučajnih varijabli, što ukazuje na stupanj koncentracije vrijednosti oko središnje mjere. To je također poznato kao "vršna ocjena".

Izraz potječe od grčkog "kurtos" što znači lučno, pa kurtoza označava stupanj usmjeravanja ili spljoštenosti raspodjele, kao što je vidljivo na sljedećoj slici:

Slika 1. Različite vrste kurtoze. Izvor: F. Zapata.

Gotovo sve vrijednosti slučajne varijable sklopljene su oko središnje vrijednosti, kao što je srednja vrijednost. No, u nekim su raspodjelama vrijednosti više raspršene nego u drugima, što rezultira ravnejšim ili vitkijim krivuljama.

Definicija

Kurtoza je brojčana vrijednost tipična za svaku frekvencijsku raspodjelu, koja se prema koncentraciji vrijednosti oko srednje vrijednosti svrstavaju u tri skupine:

- Leptokurtički: kod kojih su vrijednosti vrlo grupirane oko srednje vrijednosti, tako da je raspodjela prilično šiljasta i vitka (slika 1, lijevo).

- Mezokurtik: ima umjerenu koncentraciju vrijednosti oko srednje vrijednosti (slika 1 u sredini).

- Platicúrtica: ova distribucija ima širi oblik, jer se vrijednosti teže rasipaju (slika 1 s desne strane).

Formule i jednadžbe

Kurtoza može imati bilo koju vrijednost, bez ograničenja. Izračun se provodi ovisno o načinu na koji se podaci dostavljaju. Oznaka koja se koristi u svakom slučaju je sljedeća:

-Keeficijent kurtoze: g ₂

-Aritmetička sredina: X ili x sa šipkom

-Sva i-ta vrijednost: x _i

-Standardno odstupanje: σ

-Broj podataka: N

-Čestoća i-te vrijednosti: f _i

-Blazna marka: mx _i

Ovom notacijom predstavljamo neke od najčešće korištenih formula za pronalaženje kurtoze:

- Kurtoza prema prikazu podataka

Podaci nisu grupirani ili grupirani u frekvencijama

Podaci su grupirani u intervalima

Višak kurtoze

Naziva se i Fherovim ciljanim koeficijentom ili Fisherovom mjerom. Koristi se za usporedbu ispitivane distribucije s normalnom distribucijom.

Kada je višak kurtoze 0, prisutni smo u normalnoj distribuciji ili Gaussovom zvonu. Na taj način, kad god se izračuna višak kurtoze distribucije, uspoređujemo je sa normalnom.

I za neugruficirane i za skupljene podatke Fisher-ov pokazivački koeficijent označen s K je:

K = g ₂ - 3

Sada se može pokazati da je kurtoza normalne raspodjele 3, pa ako je Fisher-ov pokazivački koeficijent 0 ili blizu 0 i postoji mezokruktička distribucija. Ako je K> 0, raspodjela je leptokurtska, a ako je K <0, to je platicurtska.

Što je kurtoza?

Kurtoza je mjera varijabilnosti koja se koristi za karakterizaciju morfologije distribucije. Na taj se način mogu usporediti simetrične raspodjele s istim prosjekom i istom disperzijom (danim standardnim odstupanjem).

Mjerenje varijabilnosti osigurava pouzdanost prosjeka i pomaže u kontroli varijacija u distribuciji. Kao primjer, pogledajmo ove dvije situacije.

Plaće 3 odjela

Pretpostavimo da sljedeći graf prikazuje raspodjelu plaća u tri odjela iste tvrtke:

Slika 2. Tri raspodjele s različitim kurtozama ilustriraju praktične situacije. (Pripremila Fanny Zapata)

Krivulja A najtanja je od svih, a iz njezinog se oblika može zaključiti da je većina plaća tog odjela vrlo blizu prosjeku, pa većina zaposlenih prima sličnu naknadu.

Sa svoje strane, u odjelu B, krivulja plaća slijedi normalnu raspodjelu, budući da je krivulja mezokurtična, u kojoj pretpostavljamo da su plaće bile nasumično raspodijeljene.

I konačno imamo krivulju C koja je vrlo ravna, znak da je na ovom odjelu raspon plaća puno širi nego na ostalim.

Rezultati ispita

Pretpostavimo da tri krivulje na slici 2 predstavljaju rezultate ispita koji je primijenjen na tri grupe učenika istog predmeta.

Skupina čije su ocjene predstavljene krivuljom A leptokurtika prilično je homogena, većina je dobila prosječnu ili blisku ocjenu.

Moguće je i da je rezultat nastao zbog toga što su ispitna pitanja imala manje ili više iste težine.

S druge strane, rezultati skupine C ukazuju na veću heterogenost u skupini koja vjerojatno sadrži prosječne studente, nešto više napredne učenike i sigurno jednako manje pažljive.

Ili bi to moglo značiti da su testna pitanja imala vrlo različite stupnjeve teškoće.

Krivulja B je mezokutična, što ukazuje da su rezultati ispitivanja pratili normalnu raspodjelu. To je obično najčešći slučaj.

Obrađen primjer kurtoze

Pronađite Fisherov koeficijent bodovanja za sljedeće ocjene, dobiven na ispitu iz fizike grupi učenika, s ljestvicom od 1 do 10:

Riješenje

Sljedeći izraz upotrijebit će se za neskupljene podatke, dane u prethodnim odjeljcima:

K = g ₂ - 3

Ova vam vrijednost omogućuje da znate vrstu distribucije.

Da bi se izračunalo g _2, prikladno je to obaviti na pravilan način, korak po korak, jer se mora riješiti nekoliko aritmetičkih operacija.

Korak 1

Prvo se izračunava prosjek ocjena. Postoji N = 11 podataka.

Korak 2

Pronađeno je standardno odstupanje za koje se koristi ova jednadžba:

σ = 1.992

Ili možete sastaviti tablicu koja je također potrebna za sljedeći korak i u koju se upisuje svaki izraz zbrojeva koji će biti potrebni, počevši od (x _i - X), zatim (x _i - X) ² i tada (x _i - X) ⁴:

3. korak

Izvedite zbroj naveden u brojaču formule za g ₂. Za to se koristi rezultat desnog stupca prethodne tablice:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Tako:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,657

Fisherov koeficijent pokazivanja je:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Ono što je zanimljivo je znak rezultata, koji, negativan, odgovara platicurtičkoj distribuciji, što se može protumačiti kao što je učinjeno u prethodnom primjeru: vjerojatno je to heterogeni tečaj sa studentima različitih stupnjeva interesa ili su ispitna pitanja bila različitih razina težine.

Upotreba proračunske tablice, kao što je Excel, uvelike olakšava rješavanje ovih vrsta problema, a također nudi i mogućnost grafičkog prikaza distribucije.

Reference

1. Levin, R. 1988. Statistika za administratore. 2.. Izdanje. Dvorana Prentice.
2. Marco, F. Curtosis. Oporavak od: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetrija i kurtoza. Oporavak od: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Donošenje odluka u upravljanju. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.