POISSONOV OMJER: KOEFICIJENT, FORMULE, VRIJEDNOSTI, PRIMJERI - FIZIČKA - 2024

Poissonov je omjer bezdimenzijska je veličina, karakterističan za svaki materijal. To je pokazatelj deformacije komada materijala prije primjene određenih sila.

Kada komad materijala koji je podvrgnut napetosti ili kompresiji podliježe deformaciji, kvocijent između poprečne deformacije i uzdužne deformacije upravo je Poissonov omjer.

Slika 1. Poissonov omjer mjeri odnos između uzdužnog rastezanja i poprečnog suženja. (Pripremio Ricardo Pérez)

Na primjer, gumeni cilindar koji je podvrgnut napetosti na svojim krajevima proteže se u uzdužnom smjeru, ali se sužava poprečno. Na slici 1 prikazana je šipka čije su izvorne dimenzije: duljina L i promjer D.

Šipka je podvrgnuta napetosti T na njenim krajevima, a kao posljedica te napetosti ona se proteže, tako da je nova duljina L '> L. Ali kad se isteže, njezin se promjer također sužava na novu vrijednost: D „<D.

Kvocijent između rastezanja (pozitivnog) i suženja (negativnog) pomnoženog s (-1), pozitivan je broj između 0 i 0,5. Ovaj broj je takozvani Poissonov omjer ν (grčko slovo nu).

Poissonova formula omjera

Za izračunavanje Poissonovog omjera potrebno je odrediti uzdužni i poprečni naprezanje.

Uzdužni naprezanje ε _L je protezanje podijeljeno s izvornom duljinom:

ε _L = (L '- L) / L

Slično tome, poprečni naprezanje ε _T je radijalno suženje podijeljeno s izvornim promjerom:

ε _T = (D '- D) / D

Stoga se Poissonov omjer izračunava slijedećom formulom:

ν = - ε _T / ε _L

Povezanost s modulom elastičnosti i modulom krutosti

Poissonov omjer ν povezan je s modulom E elastičnosti (ili Youngovim modulom) i modulom krutosti G, prema sljedećoj formuli:

Vrijednost Poissonovog omjera za materijale

Slika 2. Nehrđajući čelik ima Poissonov omjer između 0,30 i 0,31. Izvor: Pixabay.

Primjeri izračuna

Primjer 1

Šipka od određenog plastičnog materijala ima duljinu od 150 mm i kružni presjek promjera 20 mm. Kada se izlože sili kompresije F od 612,25 kg-f, opaža se skraćivanje od 14 mm i istodobno povećanje promjera šipke za 0,85 mm.

Izračunati:

a) Uzdužni naprezanje.

b) Poprečni naprezanje.

c) Poissonov omjer tog materijala.

d) Youngov modul elastičnosti koji odgovara materijalu.

e) Modul krutosti za tu plastiku.

Rješenje za

Podsjetimo da je uzdužni naprezanje εL rastezanje podijeljeno s izvornom duljinom:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Imajte na umu da je uzdužni naprezanje bez dimenzija, a u ovom slučaju negativan jer je došlo do smanjenja njegove uzdužne dimenzije.

Rješenje b

Slično tome, poprečni naprezanje εT je radijalni konus, podijeljen s izvornim promjerom:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Poprečni naprezanje je bilo pozitivno jer je došlo do povećanja promjera šipke.

Rješenje c

Za izračun Poissonovog omjera moramo imati na umu da je on definiran kao negativan kvocijent između poprečne deformacije i uzdužne deformacije:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Treba imati na umu da je Poissonov omjer pozitivan bezdimenzijski broj, a za većinu materijala između 0 i 0,5.

Rješenje d

Youngov modul elastičnosti, označen slovom E, konstantna je proporcionalnost u Hookeovom zakonu. Po E, normalan napon σL povezan je s naprezanjem εL, kako slijedi:

σL = E εL

Normalno naprezanje se definira kao kvocijent između normalne sile (u ovom slučaju paralelne s osi šipke) i područja poprečnog presjeka:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

U ovoj vježbi, sila F je 612,25 kg-f, što se mora pretvoriti u newton, što je SI jedinica jedinice:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Sa svoje strane, presjek područja A je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Napokon, uobičajeni stres na šipku je:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

Da bismo izračunali Youngov modul elastičnosti, za E iz Hookeova zakona rješavamo σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0,0333 = 204,7 MPa

Rješenje e

Modul krutosti G povezan je s Youngovim modulom E i Poissonovim omjerom ν po ovoj formuli:

E / (2 G) = 1 + ν

Odatle se možemo riješiti za G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Primjer 2

Postoji bakreni kabel promjera 4 mm i duljine 1 m. Znajući da je Youngov modul bakra 110 000 MPa i da je Poissonov omjer 0,34, procijenite istezanje i sužavanje u promjeru koji žica prolazi kada je na nju obješena težina od 100 kg-f.

Riješenje

Prvo je potrebno izračunati normalni zatezni napon koji težina ima na žici, slijedeći ovu formulu:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Sila F je 980 N, a površina poprečnog presjeka je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Tada je zatezni napon:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Pa

Proračun naprezanja žice

Youngov modul elastičnosti, označen slovom E, konstanta je proporcionalnosti u Hookeovom zakonu koja povezuje normalni napon σL s naprezanjem εL:

σL = E εL

Odatle se može riješiti uzdužni navoj bakrene žice:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Proračun poprečnog naprezanja

S druge strane, za poznavanje poprečnog naprezanja, primjenjuje se Poissonov omjer:

ν = - εT / εL

Konačno, poprečni naprezanje je:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Izračun apsolutnog rastezanja kabela

Konačno, da bi se znalo apsolutno rastezanje kabela, mora se primijeniti sljedeći odnos:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm

To znači, s tom težinom kabel se jedva protezao 0,709 milimetara.

Proračun smanjenja promjera

Za dobivanje apsolutnog skupljanja u promjeru koristimo sljedeću formulu:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9.64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 milimetara.

To sužavanje u promjeru je toliko malo da je teško vidjeti golim okom, čak i za njegovo mjerenje potreban je instrument visoke preciznosti.

Reference

1. Pivo F.. Mehanika materijala. 5.. Izdanje. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mehanika materijala. Osmo izdanje. Dvorana Prentice. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mehanika materijala. Osmo izdanje. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela s primjenama. 6. dvorana Ed. Prentice. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Bilješke o općoj fizici. UNAM. 87-98.