ELASTIČNI UDARCI: U JEDNOJ DIMENZIJI, POSEBNI SLUČAJEVI, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

U elastični sudari ili elastični sudari kratki, ali intenzivni interakcije između objekata, u kojima su zamah i kinetička energija konzervirani. Sudari su u prirodi vrlo česti događaji: od subatomskih čestica do galaksija, do biljarskih kuglica i automobila s branikom u zabavnim parkovima, sve su to predmeti koji se mogu sudariti.

Tijekom sudara ili sudara, sile interakcije među objektima su vrlo jake, puno više od onih koje mogu djelovati izvana. Na taj se način može konstatirati da tijekom sudara čestice tvore izolirani sustav.

Sudari s bilijarnom kuglom mogu se smatrati elastičnim. Izvor: Pixabay.

U ovom je slučaju tačno da:

Snaga P _o prije sudara jednaka je kao i nakon sudara. To vrijedi za sve vrste sudara, i elastične i neelastične.

Sada razmotrite sljedeće: tijekom sudara predmeti prolaze određenu deformaciju. Kad je šok elastičan, predmeti se brzo vraćaju u svoj izvorni oblik.

Očuvanje kinetičke energije

Tijekom sudara, dio energije predmeta obično troši se na toplinu, deformaciju, zvuk, a ponekad čak i na stvaranje svjetlosti. Dakle, kinetička energija sustava nakon sudara je manja od izvorne kinetičke energije.

Kada se očuva kinetička energija K, tada:

Što znači da su sile koje djeluju tijekom sudara konzervativne. Tijekom sudara, kinetička se energija nakratko transformira u potencijalnu energiju, a zatim vraća natrag u kinetičku energiju. Odgovarajuće kinetičke energije variraju, ali zbroj ostaje konstantan.

Savršeno elastični sudari su rijetki, mada su bilijarne kuglice prilično dobar aproksimacija, kao i sudari koji nastaju između molekula idealnog plina.

Elastični udarci u jednoj dimenziji

Ispitajmo sudar dviju čestica toga u jednoj dimenziji; to jest, interaktivne čestice se kreću, recimo, duž osi x. Pretpostavimo da imaju mase m ₁ i m ₂. Početna brzina svakog je u _{1 i} u ₂ respektivno. Konačne brzine su v ₁ i v ₂.

Možemo bez vektorskih notacija, budući da se kretanje vrši duž osi x, međutim, znakovi (-) i (+) označavaju smjer kretanja. Lijevo je negativno, a desno pozitivno, konvencionalno.

-Formula za elastične sudare

Za količinu pokreta

Za kinetičku energiju

Sve dok su mase i početne brzine poznate, jednadžbe se mogu pregrupirati da bi pronašle konačne brzine.

Problem je u tome što je u principu potrebno izvesti pomalo zamornu algebru, jer jednadžbe za kinetičku energiju sadrže kvadrate brzina, što proračun čini malo nezgrapnim. Idealno bi bilo pronaći izraze koji ih ne sadrže.

Prvo je rasporediti faktor ½ i preurediti obje jednadžbe na takav način da se pojavi negativni znak i mase se mogu uzeti u obzir:

Izraženo na ovaj način:

Pojednostavljenje za uklanjanje kvadrata brzina

Sada moramo upotrijebiti značajni zbroj proizvoda njegovom razlikom u drugoj jednadžbi s kojom dobivamo izraz koji ne sadrži kvadrat, kao što smo prvotno željeli:

Sljedeći korak je zamjena prve jednadžbe u drugom:

A budući da se izraz m ₂ (v ₂ - u ₂) ponavlja s obje strane jednakosti, rečeni izraz se poništava i ostaje ovako:

Ili još bolje:

Konačne brzine v

Sada imate dvije linearne jednadžbe s kojima je lakše raditi. Vratit ćemo ih jedno pod drugo:

Pomnoženje druge jednadžbe s m ₁ i dodavanje termina u pojam je:

I već je moguće očistiti v ₂. Na primjer:

Posebni slučajevi kod elastičnih sudara

Sad kad su dostupne jednadžbe za konačne brzine obje čestice, vrijeme je za analizu nekih posebnih situacija.

Dvije identične mase

U tom slučaju m ₁ = m ₂ = moj:

Čestice nakon sudara jednostavno razmjenjuju svoje brzine.

Dvije identične mase od kojih je jedna u početku bila u mirovanju

Opet m ₁ = m ₂ = m i uz pretpostavku u ₁ = 0:

Nakon sudara, čestica koja je bila u mirovanju postiže jednaku brzinu kao i čestica koja se kreće, a to se zauzvrat zaustavlja.

Dvije različite mase, od kojih je jedna u početku u mirovanju

Pretpostavimo da je u ovom slučaju u ₁ = 0, ali mase su različite:

Što ako je m ₁ mnogo veći od m ₂ ?

Događa se da je m ₁ još uvijek u mirovanju, a m ₂ se vraća istom brzinom kojom je utjecao.

Koeficijent restitucije ili Huygens-Newtonovo pravilo

Ranije je za dva objekta pri elastičnom sudaranju izvedena sljedeća veza između brzina: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Te razlike su relativne brzine prije i nakon sudara. Za sudar je općenito istina da:

Koncept relativne brzine najbolje se procjenjuje ako čitatelj zamisli da se nalazi na jednoj od čestica i s tog položaja promatra brzinu kojom se kreće druga čestica. Gornja jednadžba prepisana je ovako:

Riješene vježbe

-Rješena vježba 1

Kugla za bilijar kreće se ulijevo brzinom od 30 cm / s, sudarajući se glavom s drugom identičnom kuglicom koja se kreće udesno pri 20 cm / s. Dvije kuglice imaju istu masu, a sudar je savršeno elastičan. Pronađite brzinu svake lopte nakon udarca.

Riješenje

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

To je poseban slučaj kada se dvije identične mase elastično sudaraju u jednoj dimenziji, pa se brzine izmjenjuju.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Rješena vježba 2

Koeficijent povrata lopte koja odskače od tla jednak je 0,82. Ako padne s odmora, koji će dio svoje prvotne visine doseći lopta nakon što jednom odskoči? I nakon 3 skoka?

Lopta odbija od čvrste površine i gubi visinu svakim odbijanjem. Izvor: self made.

Riješenje

Tlo može biti objekt 1 u jednadžbi za koeficijent povrata. I uvijek ostaje u mirovanju, tako da:

S ovom brzinom odskače:

Znak + označava da je brzina u usponu. I prema njemu, lopta doseže maksimalnu visinu od:

Sada se vraća na zemlju brzinom jednakom brzinom, ali suprotno znaku:

Ovim se postiže maksimalna visina:

Vratite se na zemlju s:

Sukcesivni odskoci

Svaki put kada lopta odskoči i digne se, opet pomnožite brzinu sa 0,82:

U ovom trenutku h ₃ je oko 30% h _o. Kolika bi bila visina do 6. stupnja bez potrebe za tako detaljnim proračunima kao prethodni?

Bilo bi h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o samo 9% h _o.

-Rješena vježba 3

Blok od 300 g kreće se prema sjeveru pri brzini od 50 cm / s i sudara se s blokom od 200 g koji ide prema jugu brzinom od 100 cm / s. Pretpostavimo da je šok savršeno elastičan. Pronađite udar nakon brzine.

Podaci

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Rješena vježba 4

Masa od m ₁ = 4 kg otpušta se iz naznačene točke na traci bez trenja dok se u mirovanju ne sudari s m ₂ = 10 kg. Koliko visoko se podiže m ₁ nakon sudara?

Riješenje

Kako nema trenja, mehanička se energija čuva kako bi se pronašla brzina u ₁ kojom m ₁ pogađa m _2. U početku je kinetička energija jednaka 0, budući da m ₁ počinje odmarati. Kada se kreće po vodoravnoj površini ona nema visinu, tako da je potencijalna energija 0.

Sada se izračunava brzina m ₁ nakon sudara:

Negativni znak znači da je vraćen. S ovom brzinom se uspinje, a mehanička energija ponovo čuva da bi pronašla h ', visinu do koje uspijeva uzletjeti nakon sudara:

Imajte na umu da se ne vraća na početnu točku na visini od 8 m. Nema dovoljno energije jer se masa m ₁ odrekla dijela svoje kinetičke energije .

Reference

1. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela s primjenama. 6. ^st. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Osnove fizike. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fizika za znanost i tehnologiju. 5. izd. Svezak 1. Urednički zbornik. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fizika: pojmovi i primjene. 7. izdanje. MacGraw Hill. 185-195