LUK (GEOMETRIJA): MJERA, VRSTE LUKOVA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Luk, u geometriji, je bilo zakrivljena crta koja spaja dva boda. Zakrivljena linija, za razliku od ravna, je ona čiji se smjer razlikuje u svakoj točki na njoj. Suprotnost luka je segment, budući da je ovo ravna dionica koja spaja dvije točke.

Luk koji se najčešće koristi u geometriji je luk obima. Ostali lukovi u zajedničkoj uporabi su parabolični luk, eliptični luk i katenarni luk. Lučni oblik se često koristi u arhitekturi kao ukrasni element i kao strukturalni element. To je slučaj s nadvratnicima vrata i prozora, kao i mostovima i vodovodima.

Slika 1. Duga je zakrivljena linija koja spaja dvije točke na horizontu. Izvor: Pixabay

Luk i njegova mjera

Mjera luka je njegova duljina, koja ovisi o vrsti krivulje koja spaja dvije točke i njihovom položaju.

Duljina kružnog luka jedna je od najjednostavnijih za izračunavanje, jer je poznata duljina cijelog luka ili oboda obima.

Perimetar kruga je dva pi puta njegov polumjer: p = 2 π R. Znajući to, ako želimo izračunati duljinu s kružnog luka kuta α (izmjerenog u radijanima) i polumjera R, primjenjuje se proporcija:

(s / p) = (α / 2 π)

Zatim, izbrišući s iz prethodnog izraza i zamjenjujući obod p njegovim izrazom u funkciji polumjera R, imamo:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Odnosno, mjera kružnog luka je produkt njegovog kutnog otvora puta polumjera kružnog luka.

Za luk je općenito problem složeniji, do te mjere da su veliki mislioci antike tvrdili da je to nemoguć zadatak.

Tek je pojavom diferencijalnog i integralnog izračuna 1665. godine problem mjerenja bilo kojeg luka na zadovoljavajući način riješen.

Prije izuma diferencijalnog proračuna, rješenja su mogla biti pronađena samo pomoću poligonalnih linija ili oboda lukova koji su bili približno stvarnom luku, ali ta rješenja nisu bila točna.

Vrste lukova

Sa gledišta geometrije, lukovi se klasificiraju prema zakrivljenoj liniji koja spaja dvije točke na ravnini. Postoje i druge klasifikacije prema njegovoj upotrebi i arhitektonskom obliku.

Kružni luk

Kad je linija koja povezuje dvije točke u ravnini komad opsega određenog polumjera, imamo kružni luk. Slika 2 prikazuje kružni luk c polumjera R koji povezuje točke A i B.

Slika 2. Kružni luk polumjera R koji povezuje točke A i B. Razradio Ricardo Pérez.

Parabolični luk

Parabola je put praćen predmetom koji je koso bačen u zrak. Kad je krivulja koja spaja dvije točke parabola, tada imamo parabolični luk poput onoga prikazanog na slici 3.

Slika 3. Parabolični luk koji povezuje točke A i B. Razradio Ricardo Pérez.

Ovo je oblik mlaza vode koji izlazi iz crijeva usmjerenog prema gore. Parabolični luk može se promatrati u izvorima vode.

Slika 4. Parabolični luk formiran vodom iz fontane u Dresdenu. Izvor: Pixabay.

Katenarni luk

Katenski luk je još jedan prirodni luk. Stolarija je krivulja koja se prirodno formira kad lanac ili konop lagano visi s dvije odvojene točke.

Slika 5. Katenarni luk i usporedba s paraboličnim lukom. Pripremio Ricardo Pérez.

Katenar je sličan paraboli, ali nije potpuno isti kao što se može vidjeti na slici 4.

Invertirani katenarni luk koristi se u arhitekturi kao strukturni element visoke tlačne čvrstoće. U stvari, može se pokazati da je najjača vrsta luka među svim mogućim oblicima.

Da biste izradili čvrsti katenarni luk, samo kopirajte oblik visećeg konopa ili lanca, zatim kopirani oblik prelazite kako biste ga reproducirali na nadvratniku vrata ili prozora.

Eliptični luk

Luk je eliptičan ako je krivulja koja spaja dvije točke komad elipse. Elipsa se definira kao mjesto točaka čija se udaljenost do dvije dane točke uvijek zbroji na konstantnu količinu.

Elipsa je krivulja koja se pojavljuje u prirodi: krivulja je putanje planeta oko Sunca, što je pokazao Johannes Kepler 1609. godine.

U praksi se elipsa može izvući tako što ćete dvije štapove zabiti u zemlju ili dvije igle u komadu papira i vezati ih žicom. Konop se zatim zategne markerom ili olovkom i prati se krivulja. Komad elipse je eliptični luk. Sljedeća animacija ilustrira crtanje elipse:

Slika 5. Traženje elipse pomoću napetog užeta. Izvor: Wikimedia Commons

Na slici 6. prikazani su eliptični luk koji povezuje točke G i H.

Slika 6. Eliptični luk koji povezuje dvije točke. Pripremio Ricardo Pérez.

Primjeri lukova

Sljedeći primjeri odnose se na način izračunavanja perimetra nekih određenih lukova.

Primjer 1

Na slici 7 prikazan je prozor završen urezanom kružnom luku. Dimenzije prikazane na slici izražene su u nogama. Pronađite duljinu luka.

Slika 7. Izračunavanje duljine kružnog luka prozora. (Vlastite napomene - slika prozora na Pixabayu)

Za dobivanje središta i polumjera kružnog luka prozorske letve, na slici su izrađene sljedeće konstrukcije:

-Izvučen je segment KL i crta se njegov bisektor.

-Tada je smještena najviša točka nadvratnika koju nazivamo M. Dalje, razmatra se segment KM i pronalazi njegova medijatrica.

Presijecanje dvaju bisektora je točka N, a ujedno je središte kružnog luka.

-Sada moramo izmjeriti duljinu NM segmenta koja se podudara s polumjerom R kružnog luka: R = 2,8 stopa.

-Da biste znali duljinu luka pored polumjera, potrebno je znati i kut koji luk formira. Koje se mogu odrediti dvjema metodama, ili se mjeri pomoću prijenosnika ili se izračunava pomoću trigonometrije.

U prikazanom slučaju kut luka iznosi 91,13 °, a koji se mora pretvoriti u radijan:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1,59 radijana

Na kraju izračunamo dužinu s luka pomoću formule s = α R.

s = 1,59 * 2,8 stopa = 4,45 stopa

Primjer 2

Pronađite duljinu eliptičnog luka prikazanu na slici 8, poznavajući polu-glavnu osovinu r i polu-minornu os elipse.

Slika 8. Eliptični luk između GH. Pripremio Ricardo Pérez.

Pronalaženje duljine elipse bio je jedan od najtežih problema matematike dugo vremena. Možete dobiti rješenja izražena eliptičnim integralama, ali da biste imali brojčanu vrijednost, te integrale morate proširiti u energetskim nizima. Točan rezultat zahtijeva beskonačne pojmove tih serija.

Srećom, hinduistički matematički genij Ramanujan, koji je živio između 1887. i 1920., pronašao je formulu koja vrlo precizno približava obod elipse:

Perimetar elipse s r = 3 cm i s = 2,24 cm je 16,55 cm. Međutim, prikazani eliptični luk ima upola nižu vrijednost:

Duljina eliptičnog luka GH = 8,28 cm.

Reference

1. Clemens S. 2008. Geometrija i trigonometrija. Pearson Education.
2. García F. Numerički postupci u Javi. Duljina elipse. Oporavak od: sc.ehu.es
3. Dinamička geometrija. Lukove. Oporavak od geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipse i parabole oko nas. Oporavak od: piziadas.com
5. Wikipedia. Luk (geometrija). Oporavak od: es.wikipedia.com