GAUSS-SEIDELOVA METODA: OBJAŠNJENJE, APLIKACIJE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Gauss-Seidel metoda je iterativni postupak za pronalaženje približno rješenja sustava jednadžbi s linearnih proizvoljno odabranog preciznošću. Metoda se primjenjuje na kvadratne matrice s nula elementima u njihovim dijagonalama, a konvergencija je zajamčena ako je matrica dijagonalno dominantna.

Stvorio ga je Carl Friedrich Gauss (1777.-1855.), Koji je privatnu demonstraciju dao jednom od svojih učenika 1823. Kasnije ga je formalno objavio Filip Ludwig von Seidel (1821.-1896.) 1874. godine, otuda i naziv obojice matematičara.

Slika 1. Gauss-Seidelova metoda brzo se konvergira kako bi se dobilo rješenje sustava jednadžbi. Izvor: F. Zapata.

Za potpuno razumijevanje metode potrebno je znati da je matrica dijagonalno dominantna kad je apsolutna vrijednost dijagonalnog elementa svakog retka veća ili jednaka zbroju apsolutnih vrijednosti ostalih elemenata tog istog retka.

Matematički se izražava ovako:

Objašnjenje pomoću jednostavnog slučaja

Kako bismo ilustrirali od čega se sastoji Gauss-Seidelova metoda, uzet ćemo jednostavan slučaj, u kojem se vrijednosti X i Y mogu naći u 2 × 2 sustavu linearnih jednadžbi prikazanom u nastavku:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Koraci za praćenje

1- Prvo, potrebno je utvrditi je li konvergencija sigurna. Odmah se opaža da je u stvari dijagonalno dominantan sustav, jer u prvom redu prvi koeficijent ima veću apsolutnu vrijednost od ostalih u prvom redu:

-5 -> - 2-

Isto tako, drugi koeficijent u drugom redu je također dijagonalno dominantan:

--4 -> - 1-

2- Obrisane su varijable X i Y:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Stavlja se proizvoljna početna vrijednost, koja se naziva "sjeme": Xo = 1, I = 2.

4 - Počinje iteracija: da bi se dobila prva aproksimacija X1, Y1, sjeme je zamijenjeno u prvoj jednadžbi koraka 2, a rezultat u drugoj jednadžbi koraka 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Nastavljamo na sličan način da bismo dobili drugu aproksimaciju rješenja sustava jednadžbi:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Treća iteracija:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Četvrta iteracija, kao posljednja iteracija ovog ilustrativnog slučaja:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Ove se vrijednosti prilično dobro slažu s rješenjem koje je pronašao drugi način rješavanja. Čitatelj ga brzo može provjeriti uz pomoć mrežnog matematičkog programa.

Analiza metode

Kao što se može vidjeti, u Gauss-Seidelovoj metodi približne vrijednosti dobivene za prethodnu varijablu u tom istom koraku moraju biti zamijenjene sljedećom varijablom. To ga razlikuje od drugih iterativnih metoda poput Jacobijeve, u kojima svaki korak zahtijeva približavanje prethodne faze.

Metoda Gauss-Seidela nije paralelna procedura, dok je Gauss-Jordan metoda. To je i razlog da se metoda Gauss-Seidela brže konvergira - u manje koraka - od Jordanove metode.

Što se tiče dijagonalno dominantnog stanja matrice, to nije uvijek zadovoljeno. Međutim, u većini slučajeva dovoljno je zamijeniti redove s izvornog sustava da bi se uvjet ispunio. Nadalje, metoda se gotovo uvijek konvergira, čak i kad dijagonalni uvjet dominacije nije ispunjen.

Prethodni rezultat, dobiven pomoću četiri iteracije Gauss-Seidelove metode, može se zapisati u decimalnom obliku:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Točno rješenje predloženog sustava jednadžbi je:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Tako sa samo 4 iteracije dobivate rezultat s tisućitom preciznošću (0,001).

Slika 1 prikazuje kako se uzastopne iteracije brzo približavaju točnom rješenju.

Prijave

Gauss-Seidelova metoda nije ograničena samo na 2 × 2 sustav linearnih jednadžbi. Prethodni postupak se može generalizirati za rješavanje linearnog sustava od n jednadžbi s n nepoznanica, koji je predstavljen u takvoj matrici:

A X = b

Gdje je A nxn matrica, dok je X vektor n komponenti n varijabli koje se izračunaju; i b je vektor koji sadrži vrijednosti neovisnih izraza.

Da bi se generalizirao slijed ponavljanja primijenjenih u ilustrativnom slučaju na nxn sustav, iz kojeg se želi izračunati varijabla Xi, primijenit će se sljedeća formula:

U ovoj jednadžbi:

- k je indeks za vrijednost dobivenu u iteraciji k.

-k + 1 označava novu vrijednost u nastavku.

Konačni broj iteracija određuje se kad se vrijednost dobivena u iteraciji k + 1 razlikuje od one dobivene neposredno prije, za količinu ε koja je upravo željena preciznost.

Primjeri Gauss-Seidelove metode

- Primjer 1

Napisati opći algoritam koji omogućava izračunavanje vektora približnih rješenja X linearnog sustava jednadžbi nxn, s obzirom na matricu koeficijenata A, vektor neovisnih izraza b, broj iteracija (i ter) i početnu vrijednost ili "sjeme" „vektora X.

Riješenje

Algoritam se sastoji od dva „To“ ciklusa, jedan za broj ponavljanja i drugi za broj varijabli. Bilo bi sljedeće:

Za k ∊

Jer i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Primjer 2

Provjerite rad prethodnog algoritma putem njegove aplikacije u besplatnom i besplatnom matematičkom softveru SMath Studio, dostupnom za Windows i Android. Uzmimo za primjer slučaj 2 × 2 matrice koja nam je pomogla da ilustriramo Gauss-Seidelovu metodu.

Riješenje

Slika 2. Rješenje sustava jednadžbi iz primjera 2 x 2, korištenjem softvera SMath Studio. Izvor: F. Zapata.

- Primjer 3

Primijenite Gauss-Seidelov algoritam za sljedeći sustav jednadžbi 3 × 3, koji je prethodno uređen na takav način da su koeficijenti dijagonale dominantni (to jest, veća apsolutna vrijednost od apsolutnih vrijednosti koeficijenata od isti red):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Koristite nulti vektor kao sjeme i razmotrite pet iteracija. Komentirajte rezultat.

Riješenje

Slika 3. Rješenje sustava jednadžbi riješenog primjera 3 pomoću SMath Studio. Izvor: F. Zapata.

Za isti sustav s 10 iteracija umjesto 5 dobivaju se sljedeći rezultati: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0,3406

To nam govori da je dovoljno pet iteracija za dobivanje preciznosti tri decimalna mjesta i da se metoda brzo konvertira u rješenje.

- Primjer 4

Koristeći gore navedeni algoritam Gauss-Seidela, pronađite rješenje za 4 × 4 jednadžbe dane u nastavku:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Za početak metode, koristite ovo sjeme:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 i x4 = 0

Razmotrite 10 iteracija i procijenite pogrešku rezultata, uspoređujući s iteracijskim brojem 11.

Riješenje

Slika 4. Rješenje sustava jednadžbi riješenog primjera 4 pomoću SMath Studio. Izvor: F. Zapata.

Ako usporedimo sa sljedećom ponovom (broj 11), rezultat je identičan. Najveće razlike između dviju iteracija su u redoslijedu 2 × 10 ^-8, što znači da prikazano rješenje ima preciznost od najmanje sedam decimalnih mjesta.

Reference

1. Iterativne metode rješenja. Gauss-Seidel. Oporavak od: cimat.mx
2. Numeričke metode. Gauss-Seidel. Oporavak od: test.cua.uam.mx
3. Numerička: Gauss-Seidelova metoda. Oporavak od: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidelova metoda. Oporavak od: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidelova metoda. Oporavak od: es.wikipedia.com