KONOP (GEOMETRIJA): DULJINA, TEOREMA I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Akord u geometriji ravnine, je dužinu koja spaja dvije točke na krivulji. Linija koja sadrži ovaj segment kaže se da je sekantna linija krivulje. To je često krug, ali akordi se sigurno mogu crtati na mnogim drugim zavojima, poput elipse i parabole.

Na slici 1. s lijeve strane je krivulja, kojoj pripadaju točke A i B. Akord između A i B je zeleni segment. S desne strane je obim i jedan od njegovih žica, jer je moguće crtati beskonačnosti.

Slika 1. S lijeve strane akord proizvoljne krivulje, a s desne strane akord kruga. Izvor: Wikimedia Commons.

U obodu je posebno zanimljiv njegov promjer, koji je poznat i kao glavni akord. To je akord koji uvijek sadrži središte obima i mjeri dva puta polumjer.

Sljedeća slika prikazuje polumjer, promjer, akord i luk oboda. Ispravno prepoznavanje svakog od njih je važno prilikom rješavanja problema.

Slika 2. Elementi obima. Izvor: Wikimedia Commons.

Dužina akordnog kruga

Dulinu akorda u kružnici možemo izračunati iz slika 3a i 3b. Imajte na umu da je trokut uvijek formiran s dvije jednake strane (izoscele): segmenti OA i OB, koji mjere R, polumjer obima. Treća strana trokuta je segment AB, nazvan C, što je točno duljina akorda.

Potrebno je nacrtati liniju okomitu na akord C da bi se kut θ koji postoji između dva radijusa i čija je vrh središte oboda, povukao. Ovo je središnji kut - jer je njegova vršna točka središte -, a bisektorska crta je također sekvencija na obodu.

Odmah nastaju dva desna trokuta, čija hipotenuza mjeri R. Budući da je bisektor, a s njim i promjer, dijeli akord na dva jednaka dijela, ispada da je jedna od nogu polovica C, kako je naznačeno u Slika 3b.

Iz definicije sinusa kuta:

sin (θ / 2) = suprotna noga / hipotenuza = (C / 2) / R

Tako:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Slika 3. Trokut oblikovan s dva polumjera i akordom opsega je izosceles (slika 3), jer ima dvije jednake strane. Bisektor ga dijeli na dva desna trokuta (slika 3b). Izvor: priredio F. Zapata.

Teorem strune

Teorem niza ide ovako:

Sljedeća slika prikazuje dva akorda istog opsega: AB i CD koji se presijecaju u točki P. U akordu AB definirani su segmenti AP i PB, dok su u akordu CD CP i PD definirani. Dakle, prema teoremu:

AP. PB = CP. p.s.

Slika 4. Teorem akorda kruga. Izvor: F. Zapata.

Riješene vježbe žice

- Vježba 1

Krug ima akord od 48 cm, što je 7 cm od središta. Izračunajte površinu kruga i obod kruga.

Riješenje

Da biste izračunali površinu kruga A, dovoljno je znati polumjer kvadrata, jer je istina:

A = π.R ²

Sada je lik koji je formiran s danim podacima pravi trokut, a noge su mu 7, odnosno 24 cm.

Slika 5. Geometrija za riješenu vježbu 1. Izvor: F. Zapata.

Stoga, kako bi pronašli vrijednost R ², Pitagorin poučak c ² = a ² + b ² primjenjuje direktno, jer je R hipotenuze trokuta:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Dakle, traženo područje je:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

S obzirom na obod ili dužinu L obima, izračunava se s:

L = 2π. R

Zamjena vrijednosti:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Vježba 2

Odredite duljinu akorda kruga čija je jednadžba:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinate srednje točke akorda su poznate kao P (17/2; 7/2).

Riješenje

Srednja točka akorda P ne pripada opsegu, već krajnjim točkama akorda. Problem se može riješiti pomoću ranije izrečenog teorema niza, ali prvo je prikladno napisati jednadžbu obima u kanoničkom obliku, odrediti njegov polumjer R i njegov središte O.

Korak 1: dobiti kanonsku jednadžbu obima

Kanonska jednadžba kruga sa središtem (h, k) je:

(xv) ² + (yk) ² -R ²

Da biste ga dobili, morate popuniti kvadrate:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Imajte na umu da je 6x = 2. (3x) i 14y = 2. (7y), tako da je prethodni izraz prepisao ovako, ostajući nepromijenjen:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

I sada, sjećajući se definicije izvanrednog proizvoda (ab) ² = a ² - 2ab + b ², možete napisati:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Opseg ima središte (3,7) i polumjer R = √169 = 13. Sljedeća slika prikazuje grafikon opsega i akorde koji će se koristiti u teoremi:

Slika 6. Grafikon opsega riješene vježbe 2. Izvor: F. Zapata pomoću mrežnog kalkulatora za grafički prikaz Mathway.

Korak 2: odrediti segmente koji će se koristiti u teoriji teorije

Segmenti koji se koriste su nizovi CD i AB, prema slici 6, oba su izrezana u točki P, dakle:

CP. PD = AP. PB

Sada ćemo pronaći udaljenost između točaka O i P, jer će nam to dati dužinu OP segmenta. Ako ovoj dužini dodamo polumjer, imat ćemo segment CP.

Udaljenost d _OP između dviju koordinatnih točaka (x ₁, y ₁) i (x ₂, y ₂) iznosi:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Sa svim dobivenim rezultatima plus grafikon konstruiramo sljedeći popis segmenata (vidi sliku 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = duljina akorda

Zamjena u teoremu niza:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Duljina niza je 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Može li čitatelj riješiti problem na drugi način?

Reference

1. Baldor, A. 2004. Geometrija ravnina i svemira s trigonometrijom. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Dužina akorda. Oporavilo sa: ck12.org.
3. Escobar, J. Kruženje. Oporavak od: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Oporavak od: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Konop (geometrija). Oporavak od: es.wikipedia.org.