CILINDRIČNE KOORDINATE: SUSTAV, PROMJENA I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U cilindrične koordinate se koriste za pronalaženje točaka u trodimenzionalnom prostoru i sastoje se od radijalne koordinata ρ, φ azimutalna koordinirati i z koordinate visine.

Točka P smještena u prostoru projicirana je pravokutno na ravninu XY, što dovodi do točke P 'u toj ravnini. Udaljenost od početka do točke P 'definira koordinatu ρ, dok kut između osi X i zrake OP' definira koordinatu φ. Konačno, z koordinata je pravokutna projekcija točke P na osi Z. (vidi sliku 1).

Slika 1. Točka P cilindričnih koordinata (ρ, φ, z). (Vlastita obrada)

Radijalna koordinata ρ uvijek je pozitivna, azimutna koordinata φ varira od nula radijana do dva pi radijana, dok z koordinata može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Promjena koordinata

Relativno je lako dobiti kartezijanske koordinate (x, y, z) točke P iz njegovih cilindričnih koordinata (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Ali moguće je dobiti i polarne koordinate (ρ, φ, z) polazeći od saznanja kartezijanskih koordinata (x, y, z) točke P:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorska baza u cilindričnim koordinatama

Definirana je baza vektora cilindričnih jedinica Uρ, Uφ, Uz.

Vektor Uρ je tangentan na liniju φ = ctte i z = ctte (usmjeren radijalno prema van), vektor Uφ je tangentan na liniju ρ = ctte i z = ctte i na kraju Uz ima isti smjer osi Z.

Slika 2. Cilindrična baza koordinata. (wikimedia commons)

U bazi cilindrične jedinice vektor pozicije r točke P piše se vektorski ovako:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

S druge strane, infinitezimalni pomak d r od točke P izražava se na sljedeći način:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Slično tome, infinitezimalni element volumnog dV u cilindričnim koordinatama je:

dV = ρ dρ dφ dz

Primjeri

Bezbroj je primjera uporabe i primjene cilindričnih koordinata. Na primjer, u kartografiji se koristi cilindrična projekcija, koja se temelji upravo na tim koordinatama. Ima više primjera:

Primjer 1

Cilindrične koordinate imaju primjenu u tehnologiji. Kao primjer imamo CHS (Cylinder-Head-Sector) sustav podataka na tvrdom disku, koji se zapravo sastoji od nekoliko diskova:

- Cilindar ili trag odgovaraju koordinati ρ.

- Sektor odgovara položaju φ diska koji se okreće velikom kutnom brzinom.

- Glava odgovara z-položaju glave za čitanje na odgovarajućem disku.

Svaki bajt informacija ima točnu adresu u cilindričnim koordinatama (C, S, H).

Slika 2. Položaj informacija u cilindričnim koordinatama na sustavu tvrdog diska. (wikimedia commons)

Primjer 2

Građevinske dizalice popravljaju položaj tereta u cilindričnim koordinatama. Vodoravni položaj definiran je udaljenošću do osi ili strelice dizalice ρ i njezinim kutnim položajem φ u odnosu na neku referentnu os. Okomiti položaj opterećenja određuje se z koordinata z visine.

Slika 3. Položaj tereta na građevinskoj dizalici može se lako izraziti u cilindričnim koordinatama. (slika pixabay - primjedbe R. Pérez)

Riješene vježbe

Vježba 1

Postoje točke P1 s cilindričnim koordinatama (3, 120º, -4) i točka P2 s cilindričnim koordinatama (2, 90º, 5). Nađi euklidsku udaljenost između ove dvije točke.

Rješenje: Prvo nastavljamo pronalaženje kartezijanskih koordinata svake točke slijedeći gore navedenu formulu.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Euklidska udaljenost između P1 i P2 je:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Vježba 2

Točka P ima kartezijanske koordinate (-3, 4, 2). Pronađite odgovarajuće cilindrične koordinate.

Rješenje: Cilindrične koordinate nastavljamo pomoću odnosa danih gore:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Treba imati na umu da je funkcija lučnog luka višestruka s periodičnošću od 180 °. Također, kut φ mora pripadati drugom kvadrantu, budući da su koordinate x i y točke P u tom kvadrantu. To je razlog zašto je rezultatu φ dodano 180º.

Vježba 3

Izražavajte cilindričnim koordinatama i kartezijanskim koordinatama površinu cilindra s polumjerom 2 i čija se os podudara s osi Z.

Rješenje: Podrazumijeva se da cilindar ima beskonačno produženje u smjeru z, tako da je jednadžba navedene površine u cilindričnim koordinatama jednaka:

ρ = 2

Da bi se dobila kartezijanska jednadžba cilindrične površine, uzima se kvadrat oba člana prethodne jednadžbe:

ρ ² = 4

Pomnožimo oba člana prethodne jednakosti s 1 i primijenimo temeljni trigonometrijski identitet (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Zagrade su razvijene za dobivanje:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Sjetimo se da su prve zagrade (ρ sin (φ)) y koordinata točke u polarnim koordinatama, dok zagrade (ρ cos (φ)) predstavljaju koordinatu x, tako da imamo jednadžbu cilindra u koordinatama Kartezijev:

y ² + x ² = 2 ²

Gornju jednadžbu ne treba miješati s onom opsega u ravnini XY, jer bi u ovom slučaju izgledalo ovako: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Vježba 4

Cilindar radijusa R = 1 m i visine H = 1m njegova masa se radijalno distribuira prema sljedećoj jednadžbi D (ρ) = C (1 - ρ / R) gdje je C konstantna vrijednost C = 1 kg / m ³, Pronađite ukupnu masu cilindra u kilogramima.

Rješenje: Prvo je shvatiti da funkcija D (ρ) predstavlja volumetrijsku gustoću mase i da je gustoća mase raspoređena u cilindričnim školjkama opadajuće gustoće od središta do periferije. Beskonačno mali volumenski element prema simetriji problema je:

dV = ρ dρ 2π H

Dakle, beskonačna minimalna masa cilindrične ljuske bit će:

dM = D (ρ) dV

Stoga će se ukupna masa cilindra izraziti sljedećim određenim integralom:

M = ∫ _ili ^R D (ρ) dV = ∫ _ili ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _ili ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Rješenje navedenog integrala nije teško dobiti, a rezultat je:

∫ _ili ^R (1 - ρ / R) ρ = dρ (⅙) R ²

Uključujući taj rezultat u izraz mase cilindra, dobivamo:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² -

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Reference

1. Arfken G i Weber H. (2012). Matematičke metode za fizičare. Opsežan vodič. 7. izdanje. Akademska štampa. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Riješeni problemi cilindričnih i sfernih koordinata. Oporavak od: izračuna.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cilindrične koordinate." S MathWorlda - Wolfram Web. Oporavak od: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cilindrični koordinatni sustav. Oporavilo sa: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorska polja u cilindričnim i sfernim koordinatama. Oporavilo sa: en.wikipedia.com