Pod konačnim skupom podrazumijeva se svaki skup s ograničenim ili brojivim brojem elemenata. Primjeri konačnih skupova su mramovi koji se nalaze u vreći, skup kuća u susjedstvu ili skup P formiran od prvih dvadeset (20) prirodnih brojeva:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Skup zvijezda u svemiru je zasigurno neizmjeran, ali zasigurno se ne zna je li konačan ili beskonačan. Međutim, skup planeta u Sunčevom sustavu je konačan.
Slika 1. Skup poligona je konačan, a podskup regularnih. (Wikimedia Commons)
Broj elemenata u konačnom skupu naziva se njegova kardinalnost, a za skup P označen je na sljedeći način: Kartica (P) ili # P. Prazan skup ima nultu kardinalnost i smatra se konačnim skupom.
Svojstva
Među svojstvima konačnih skupova spadaju sljedeća:
1- Ujedinjenje konačnih skupa rađa novi konačni skup.
2- Ako se dva konačna skupa presijecaju, rezultat je novog konačnog skupa.
3- Podskup konačnog skupa je konačan i njegova kardinalnost manja je ili jednaka onoj u izvornom skupu.
4- Prazan skup je konačan skup.
Primjeri
Postoji mnogo primjera konačnih skupova. Neki primjeri uključuju sljedeće:
Skup M mjeseci u godini, koji se u proširenom obliku može napisati ovako:
M = {siječanj, veljača, ožujak, travanj, svibanj, lipanj, srpanj, kolovoz, rujan, listopad, studeni, prosinac}, kardinalnost M je 12.
Skup S dana u tjednu: S = {ponedjeljak, utorak, srijeda, četvrtak, petak, subota, nedjelja}. Kardinalnost S je 7.
Skup Ñ slova španjolske abecede je konačan skup, ovaj skup produžetkom piše ovako:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} i njegova kardinalnost je 27.
Skup V samoglasnika na španjolskom je podskup skupa Ñ:
Stoga je V ⊂ Ñ konačan skup.
Konačni skup V u opsežnom obliku piše ovako: V = {a, e, i, o, u} i njegova kardinalnost je 5.
Skupovi se mogu izraziti razumijevanjem. Skup F koji se sastoji od slova riječi "konačan" je primjer:
F = {x / x je slovo riječi "konačno"}
Spomenuti skup izražen u opsežnom obliku bit će:
F = {f, i, n, t, o} čija je kardinalnost 5 i stoga je konačan skup.
Više primjera
Boje duge je još jedan primjer konačnog skupa, skup C ovih boja je:
C = {crvena, narančasta, žuta, zelena, cijan, plava, ljubičasta} i njegova kardinalnost je 7.
Skup faza F Mjeseca je još jedan primjer konačnog skupa:
F = {Mladi mjesec, prva četvrt, pun mjesec, posljednja četvrtina} ovaj skup ima kardinalnost 4.
Slika 2. Planeti Sunčevog sustava tvore konačni skup. (Pixabay)
Drugi konačni skup je onaj koji formiraju planete Sunčevog sustava:
P = {Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun, Pluton} kardinalnosti 9.
Riješene vježbe
Vježba 1
Dat je slijedeći skup A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Izrazite ga riječima i napišite ga produžetkom, naznačite njegovu kardinalnost i recite je li konačan ili ne.
Rješenje: Skup A je skup realnih brojeva x takav da je x kockica kao rezultat 27.
Jednadžba x ^ 3 = 27 ima tri rješenja: oni su x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) i x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Od tri rješenja samo je x1 stvaran, dok su druga dva složeni brojevi.
Kako definicija skupa A kaže da x pripada stvarnim brojevima, tada rješenja složenih brojeva nisu dio skupa A.
Skup A izrazito ekstenzivno je:
A = {3}, što je konačni skup kardinalnosti 1.
Vježba 2
Napišite u simboličkom obliku (po razumijevanju) i opsežnom obliku skup B realnih brojeva koji su veći od 0 (nula) i manji od ili jednaki 0 (nula). Navedite njegovu kardinalnost i je li konačan ili ne.
Rješenje: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Skup B je prazan jer stvarni broj x ne može biti istodobno veći i manji od nule, jednako kao što ne može biti 0, a također je manji i od 0.
B = {} i njegova kardinalnost je 0. Prazan skup je konačan skup.
Vježba 3
Daje se skup S rješenja rješenja određene jednadžbe. Skup S razumijevanjem piše ovako:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Napišite navedeni skup u opsežnom obliku, navedite njegovu kardinalnost i naznačite je li to konačan skup ili ne.
Rješenje: Prvo, analizirajući izraz koji opisuje skup S, dobiva se da je skup stvarnih x vrijednosti koje su rješenja jednadžbe:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Rješenje ove jednadžbe je x = 3, što je realni broj i stoga pripada S. Ali postoji više rješenja koja se mogu dobiti traženjem rješenja kvadratne jednadžbe:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Gornji izraz može se uzeti u obzir na sljedeći način:
(x - 4) (x - 5) = 0
Što nas vodi do još dva rješenja izvorne jednadžbe (*) koja su x = 4 i x = 5. Ukratko, jednadžba (*) ima rješenja 3, 4 i 5.
Skup S izražen u opsežnom obliku izgleda ovako:
S = {3, 4, 5}, koji ima kardinalnost 3 i stoga je konačan skup.
Vježba 4
Postoje dva skupa A = {1, 5, 7, 9, 11} i B = {x ∊ N / x je čak ^ x <10}.
Izričito napišite skup B i pronađite sjedinjenje sa skupom A. Također pronađite presretanje ova dva skupa i zaključite.
Rješenje: skup B sastoji se od prirodnih brojeva tako da su parni, a također su manji od vrijednosti 10, pa je u opsežnom skupu B zapisano kako slijedi:
B = {2, 4, 6, 8}
Ujedinjenje skupa A sa skupa B je:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
a presretanje skupa A sa skupa B piše ovako:
A ⋂ B = {} = Ø je prazan skup.
Treba napomenuti da spajanje i presretanje ova dva konačna skupa dovode do novih skupova, koji su zauzvrat također konačni.
Reference
- Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MATH. Uvod u računicu. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, i Paul, RS (2003). Matematika za menadžment i ekonomiju. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
- Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
- Matematika 10 (2018). "Primjeri konačnih setova". Oporavak od: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I je jednostavno! Tako jednostavno. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Pearson Education.
- Wikipedia. Konačni skup. Oporavak od: es.wikipedia.com