KUTNA BRZINA: DEFINICIJA, FORMULA, PRORAČUN I VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Kutna brzina je mjera brzine vrtnje i je definiran kao kut koji zakreće položaja vektor rotirajući objekta, u jedinici vremena. To je veličina koja vrlo dobro opisuje kretanje mnoštva objekata koji se neprestano okreću svuda: CD-ovi, kotači automobila, strojevi, Zemlja i mnogi drugi.

Dijagram «londonskog oka» može se vidjeti na sljedećoj slici. Predstavlja kretanje putnika predstavljeno točkom P, koja slijedi kružnom stazom, zvanom c:

Shematski prikaz kružne staze koju slijedi putnik «londonskog oka». Izvor: self made.

Putnik zauzima položaj P u trenutku t, a kutni položaj koji odgovara tom momentu je ϕ.

Od trenutka t proteče vremensko razdoblje Δt. U ovom periodu novi je položaj suvozača P ', a kutni se položaj povećao za kut Δϕ.

Kako se izračunava kutna brzina?

Za rotacijske količine grčka su slova široko korištena kako bi se razlikovala od linearnih količina. Tako da je u početku srednja kutna brzina ω _m definirana kao kut prošao u određenom vremenskom razdoblju.

Tada će kvocijent Δϕ / Δt predstavljati srednju kutnu brzinu ω _m između instancija t i t + Δt.

Ako želite izračunati kutnu brzinu upravo u trenutku t, tada morate izračunati omjer ϕϕ / Δt kada je Δt ➡0:

Odnos između linearne i kutne brzine

Linearna brzina v, kvocijent je između prijeđene udaljenosti i vremena potrebnog za njezino putovanje.

Na gornjoj slici putovani luk je Δs. Ali taj je luk proporcionalan prijeđenom kutu i polumjeru, a ispunjava se sljedeći odnos koji vrijedi dok se ϕ mjeri u radijanima:

Δs = r ・ Δϕ

Ako prethodni izraz podijelimo s vremenskim odmakom Δt i uzmemo granicu kada je Δt ➡0, dobit ćemo:

v = r ・ ω

Ravnomjerno rotacijsko kretanje

Na slici je glasoviti 'London eye', vrtić kotača visok 135 metara koji se polako okreće kako bi se ljudi mogli ukrcati u kabine u njegovom podnožju i uživati ​​u londonskom krajoliku. Izvor: Pixabay.

Rotacijski pokret je ujednačen ako je u bilo kojem promatranom trenutku kut hodanja jednak u istom razdoblju.

Ako je rotacija ujednačena, tada se kutna brzina u svakom trenutku podudara sa srednjom kutnom brzinom.

Nadalje, kada se napravi potpuno skretanje, kut je 2π (ekvivalent 360 °). Stoga se ujednačenom rotacijom kutna brzina ω povezuje s razdobljem T, slijedećom formulom:

f = 1 / T

To je, pri jednoličnom okretaju, kutna brzina povezana s frekvencijom prema:

ω = 2π ・ f

Riješeni problemi kutne brzine

Vježba 1

Kabine velikog okretnog kotača poznatog kao "London Eye" polako se kreću. Brzina kabine iznosi 26 cm / s, a kotač je promjera 135 m.

Pomoću ovih podataka izračunajte:

i) Kutna brzina kotača

ii) Učestalost rotacije

iii) Vrijeme koje je potrebno da se u kabini napravi potpuni zaokret.

odgovori:

i) Brzina v u m / s je: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Polumjer je pola promjera: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 okreta / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 okreta / s = 0,0368 okreta / min = 2,21 okreta / sat.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 krug / sat = 0,45311 sat = 27 min 11 sek

Vježba 2

Automobil s igračkama kreće se po kružnoj stazi s radijusom od 2 m. Na 0 s njegov kutni položaj je 0 rad, ali nakon nekog vremena t njegov kutni položaj daje se:

φ (t) = 2 ・ t

odrediti:

i) Kutna brzina

ii) Linearna brzina u bilo kojem trenutku.

odgovori:

i) Kutna brzina je izvedenica kutnog položaja: ω = φ '(t) = 2.

Drugim riječima, automobil igračaka u svakom trenutku ima konstantnu kutnu brzinu jednaku 2 rad / s.

ii) Linearna brzina automobila je: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Vježba 3

Isti automobil iz prethodne vježbe počinje se zaustaviti. Njegov kutni položaj kao funkcija vremena dat je sljedećim izrazom:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

odrediti:

i) Kutna brzina u bilo kojem trenutku

ii) Linearna brzina u bilo kojem trenutku

iii) Vrijeme koje je potrebno da se zaustavi od trenutka kada se počne usporavati

iv) Kut putovanja

v) prijeđena udaljenost

odgovori:

i) Kutna brzina je izvedenica kutnog položaja: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) Linearna brzina automobila u svakom trenutku se daje:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Vrijeme potrebno za zaustavljanje od trenutka kada počinje usporavati, određuje se spoznajom trenutka u kojem brzina v (t) postaje jednaka nuli.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

To znači da prestaje 2 s nakon što započne kočenje.

iv) U razdoblju od 2s od trenutka kada počinje kočiti do zaustavljanja, kreće se kut dan φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stupnjeva

v) U razdoblju od 2 s od početka kočenja do zaustavljanja, prijeđena je udaljenost s dana:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Vježba 4

Kotači automobila su promjera 80 cm. Ako automobil putuje brzinom od 100 km / h. Nađite: i) kutnu brzinu rotacije kotača, ii) frekvenciju rotacije kotača, iii) Broj okreta kotača u putu od 1 sata.

odgovori:

i) Prije svega pretvorit ćemo brzinu automobila iz km / h u h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Kutna brzina rotacije kotača dana je:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Učestalost rotacije kotača dana je:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 okretaja / s

Učestalost rotacije se obično izražava u okretajima u minuti okr / min

f = 11,05 okretaja / s = 11,05 okretaja / (1/60) min = 663,15 okr / min

iii) Broj krugova koje kotač napravi u putovanju od 1 sata izračunava se znajući da je 1 sat = 60 min i da je frekvencija broj krugova N podijeljen s vremenom u kojem su napravljeni ti N krugovi.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (okreta / min) x 60 min = 39788,7 okreta.

Reference

1. Giancoli, D. Fizika. Načela s aplikacijama. 6. izdanje Dvorana Prentice. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fizička. Svezak 1. Treće izdanje na španjolskom jeziku. Meksiko. Compañía Uredništvo Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. 7. Izdanje. Meksiko. Udruživanje urednika za učenje. 84-85.
4. geogebra.org