ISTODOBNI VEKTORI: KARAKTERISTIKE, PRIMJERI I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

A istodobno vektori su vektori čija se os se podudara skupine na jednom mjestu, tvoreći između svakog para unutarnjih i vanjskih drugog kuta. Jasan primjer vidi se na donjoj slici gdje su A, B i C vektori koji se paralelno podudaraju.

D i E za razliku od ostalih nisu. Između istodobnih vektora AB, AC i CB nastaju kutovi. Nazivaju se kutima odnosa između vektora.

karakteristike

-Imaju zajedničku točku, koja se podudara s njihovim nastankom: sve veličine istodobnih vektora počinju od zajedničke točke do njihovih krajeva.

- Podrijetlo se smatra točkom djelovanja vektora: mora se uspostaviti točka djelovanja na koju će izravno utjecati svaki od istodobnih vektora.

-Its domena u ravnini i prostora R ² i R ³, respektivno: paralelnih vektori su slobodni pokrije cijelu geometrijski prostor.

-Omogućuje različite oznake u istoj grupi vektora. Prema granama studije, u operacijama s vektorima prisutne su različite oznake.

Vrste vektora

Grana vektora ima više potpodjela, od kojih se neke mogu imenovati: paralelne, okomite, koplanarne, odgovarajuće, suprotne i unitarne. Paralelni vektori su ovdje navedeni, i kao i svi gore navedeni, oni imaju mnogo primjena u različitim znanostima.

Vrlo su česte u proučavanju vektora, jer predstavljaju korisnu generalizaciju u operacijama s njima. I u ravnini i u prostoru, istodobni vektori se obično koriste za predstavljanje različitih elemenata i proučavanje njihovog utjecaja na određeni sustav.

Zapis vektora

Postoji nekoliko načina za predstavljanje vektorskog elementa. Glavni i najpoznatiji su:

kartuzijski

Predložen istim matematičkim pristupom, označava vektore s trostrukom koja odgovara veličinama svake osi (x, y, z)

O: (1, 1, -1) Prostor A: (1, 1) Ravnina

polarni

Oni služe samo za označavanje vektora u ravnini, iako je u integralnom računu dodijeljena komponenta dubine. Sastavljen je s linearnom magnitudom r i kutom u odnosu na polarnu os Ɵ.

O: (3, 45 ⁰) Ravnina A: (2, 45 ⁰, 3) Prostor

Analitički

Oni definiraju veličine vektora pomoću versoresa. Versoresi (i + j + k) predstavljaju jedinične vektore koji odgovaraju osi X, Y i

O: 3i + 2j - 3k

sferni

Slične su polarnoj notaciji, ali dodavanjem drugog kuta koji se nadvija nad ravninom xy koji simbolizira δ.

A: (4, 60 ^ili, π / 4)

Istodobne vektorske operacije

Paralelni vektori se uglavnom koriste za definiranje operacija između vektora, jer je lakše usporediti elemente vektora kada su istovremeno predstavljeni.

Zbroj (A + B)

Zbir paralelnih vektora želi pronaći rezultirajući vektor V _r. Što prema grani studija odgovara završnoj radnji

Na primjer: 3 žice {A, B, C} vezane su u okvir, a svaki kraj niza drži po jedan predmet. Svaki od 3 subjekta mora povući uže u drugom smjeru od ostalih 2.

A: (sjekira, aj, az) B: (bx, po, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Kutija će se moći kretati samo u jednom smjeru, stoga će V _r naznačiti smjer i smjer kretanja kutije.

Razlika (A - B)

Postoji mnogo kriterija za razliku između vektora, mnogi autori odlučuju ga isključiti i navode da je propisana samo zbroj između vektora, gdje je razlika oko zbroja suprotnog vektora. Istina je da se vektori mogu algebarski oduzeti.

A: (sjekira, aj, az) B: (bx, po, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skalarni proizvod (A. B)

Poznat i kao točkasti proizvod, stvara skalarnu vrijednost koja se može povezati s različitim veličinama ovisno o grani proučavanja.

Za geometriju navedite područje paralelograma formiranog para paralelnih vektora metodom paralelograma. Za mehaničku fiziku definira rad koji vrši sila F pri pomicanju tijela udaljenosti Δr.

ѡ = F. Δr

Kao što mu ime govori, on generira skalarnu vrijednost i definira se kako slijedi:

Neka su vektori A i B

A: (sjekira, aj, az) B: (bx, po, bz)

-Analitički oblik:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Gdje je θ unutarnji kut između oba vektora

-Algebraic oblik:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Poprečni proizvod (A x B)

Vektor ili proizvod dot proizvoda između dva vektora, definira treću vektor C ima kvalitetu okomite na B i C. U fizici je vektor zakretnog momenta τ osnovni element rotacijske dinamike.

-Analitički oblik:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraic oblik:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Ročno kretanje: r _{A / B}

Osnova relativnosti je relativno kretanje, a istodobni vektori su osnova relativnog gibanja. Relativni položaji, brzine i ubrzanja mogu se utvrditi primjenom sljedećeg redoslijeda ideja.

r _{A / B} = r _A - r _B; Relativni položaj A u odnosu na B

v _{A / B} = v _A - v _B; Relativna brzina A u odnosu na B

a _{A / B} = a _A - a _B; Relativno ubrzanje A u odnosu na B

Primjeri: riješene vježbe

Vježba 1

Neka su A, B i C paralelni vektori.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Odredite dobiveni vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Odredite proizvod s točkama (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Računajte kut između A i C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Gdje je θ najkraći kut između vektora

θ = 88,63 ⁰

-Nađite vektor okomit na A i B

Za to je potrebno definirati vektorski produkt između (-1, 3, 5) i (3, 5, -2). Kao što je objašnjeno prije, konstruirana je matrica 3 x 3 gdje se prvi red sastoji od vektora trostrukih jedinica (i, j, k). Zatim se 2. i 3. reda čine vektori koji djeluju, poštujući operativni redoslijed.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Vježba 2

Neka su V _a i V _b vektori brzina A i B respektivno. Izračunajte brzinu B viđenu iz A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

U ovom se slučaju zahtijeva relativna brzina B u odnosu na A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ovo je vektor brzine B koji se vidi iz A. Gdje je novi vektor brzine B opisan, uzimajući referencu od promatrača smještenog na A i koji se kreće brzinom A.

Predložene vježbe

1-Konstruirajte 3 vektora A, B i C koji su paralelni i povežite 3 operacije između njih praktičnom vježbom.

2-Neka su vektori A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) i C: (-2, -1, 10). Pronađite vektore okomite na: A i B, C i B, zbroj A + B + C.

4 Odredite 3 vektora koji su okomiti jedan na drugi, ne vodeći računa o koordinatnim osovinama.

5-Definirajte posao obavljen silom koja podiže blok mase 5 kg s dna bunara dubokog 20 m.

6 - algebrično pokazati da je oduzimanje vektora jednako zbroju suprotnog vektora. Opravdajte svoje postulate.

7-Označite vektor u svim notacijama razvijenim u ovom članku. (Kartezijanska, polarna, analitička i sferna).

8 - Magnetske sile djelovane na magnet koji počiva na stolu daju sljedeći vektori; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Odredite u kojem će se smjeru magnet kretati ako sve magnetske sile djeluju istovremeno.

Reference

1. Euklidska geometrija i transformacije. Clayton W. Dodge. Kurirska korporacija, 1. siječnja 2004
2. Kako riješiti probleme primijenjene matematike L. Moiseiwitsch. Kurirska korporacija, 10. travnja 2013
3. Osnovni pojmovi geometrije. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4. listopada. 2012
4. Vektori. Rocío Navarro Lacoba, 7. lipnja. 2014
5. Linearna algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006