- Kako do normalnog vektora doći do aviona?
- Normalni vektor iz vektorskog produkta
- Primjer
- Riješenje
- Proračun vektorskog produkta
- Jednadžba ravnine
- Reference
Normalno vektor je onaj koji definira smjer okomit na neki subjekt koji se razmatra geometrijski, koji može biti krivuljom, avionu ili površinu, npr.
Vrlo je koristan koncept za pozicioniranje pokretne čestice ili neke površine u prostoru. Na sljedećem je grafu moguće vidjeti kakav je normalan vektor prema proizvoljnoj krivulji C:
Slika 1. Krivulja C s vektorom normalnim na krivulju u točki P. Izvor: Svjo
Razmotrimo točku P na krivulji C. Točka može predstavljati pokretnu česticu koja se kreće stazom u obliku C. Tangenta na krivulju u točki P nacrtana je crvenom bojom.
Imajte na umu da je vektor T tangentan na C u svakoj točki, dok je vektor N okomit na T i upućuje na središte zamišljenog kruga čiji je luk segment C. Vektori su u tiskanom tekstu označeni podebljanim slovima, za razlikovati ih od ostalih nevektorskih količina.
Vektor T uvijek označava gdje se čestica kreće, dakle označava brzinu čestice. S druge strane, vektor N uvijek upućuje u smjeru u kojem se čestica vrti, na taj način označava konkavnost krivulje C.
Kako do normalnog vektora doći do aviona?
Normalni vektor nije nužno jedinični vektor, to jest, vektor čiji je modul 1, ali ako je tako, naziva se normalnim jediničnim vektorom.
Slika 2. S lijeve strane je ravnina P i dva vektora normalna za navedenu ravninu. S desne strane jedinica vektora u tri smjera koja određuju prostor. Izvor: Wikimedia Commons. Pogledajte stranicu za autora
U mnogim je aplikacijama potrebno poznavati normalni vektor prema ravnini, a ne krivulju. Ovaj vektor otkriva orijentaciju navedene ravnine u prostoru. Na primjer, uzmite u obzir ravninu P (žuta) slike:
Na ovoj ravnini postoje dva normalna vektora: n 1 i n 2. Upotreba jedne ili druge ovisit će o kontekstu u kojem se navedena ravnina nalazi. Dobivanje normalnog vektora u ravnini vrlo je jednostavno ako je poznata jednadžba ravnine:
Ovdje je vektor N izražen izrazima okomitih jedinica vektora i, j i k usmjerenima duž tri smjera koja određuju xyz prostor, vidi sliku 2 desno.
Normalni vektor iz vektorskog produkta
Vrlo jednostavan postupak pronalaženja normalnog vektora koristi svojstva vektorskog proizvoda između dva vektora.
Kao što je poznato, tri različite točke, koje nisu kolinearne jedna s drugom, određuju ravninu P. Sada je moguće dobiti dva vektora u i v koji pripadaju navedenoj ravnini koji imaju ove tri točke.
Jednom kada se dobiju vektori, vektorski proizvod u x v je operacija čiji je rezultat zauzvrat vektor koji ima svojstvo biti okomit na ravninu određenu u i v.
Poznat ovaj vektor, označen je s N, a iz njega će se moći odrediti jednadžba ravnine zahvaljujući jednadžbi navedenoj u prethodnom odjeljku:
N = u x v
Sljedeća slika ilustrira opisani postupak:
Slika 3. S dva vektora i njihovim vektorskim produktom ili križom određuje se jednadžba ravnine koja sadrži dva vektora. Izvor: Wikimedia Commons. Nije dostupan autor čitljiv autor. M.Romero Schmidtke pretpostavio (na temelju tvrdnji o autorskim pravima).
Primjer
Pronađite jednadžbu ravnine koja je određena točkama A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Riješenje
Ova vježba ilustrira gore opisani postupak. Imajući 3 boda, jedan je od njih izabran kao zajedničko podrijetlo dva vektora koji pripadaju ravnini definiranoj ovim točkama. Na primjer, točka A postavljena je kao podrijetlo i izgrađeni su vektori AB i AC.
Vektor AB je vektor čija je podrijetla točka A i čija je krajnja točka točka B. Koordinate vektora AB su određene oduzimanjem koordinata B od koordinata A:
Na isti način nastavljamo s pronalaženjem vektora AC:
Proračun vektorskog produkta
Postoji nekoliko postupaka za pronalaženje križnog proizvoda između dva vektora. Ovaj primjer koristi mnemoničku proceduru koja koristi sljedeću sliku za pronalazak vektorskih proizvoda između jediničnih vektora i, j i k:
Slika 4. Grafikon za određivanje vektorskog produkta između jediničnih vektora. Izvor: self made.
Za početak, dobro je zapamtiti da su vektorski proizvodi između paralelnih vektora null, dakle:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
A budući da je vektorski proizvod drugi vektor okomit na vektore koji sudjeluju, krećući se u smjeru crvene strelice, imamo:
Ako se morate kretati u suprotnom smjeru od strelice, dodajte znak (-):
Ukupno je moguće napraviti 9 vektorskih proizvoda s jediničnim vektorima i, j i k, od kojih će 3 biti nula.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Jednadžba ravnine
Vektor N određen je vektorskim produktom prethodno izračunatim:
N = 2 i -8 j -2 k
Stoga je a = 2, b = -8, c = -2, tražena ravnina je:
Vrijednost d ostaje da se utvrdi. To je lako ako su vrijednosti bilo koje od raspoloživih točaka A, B ili C supstituirane u jednadžbi ravnine. Na primjer odabir C:
x = 4; y = 2; z = 1
Ostaci:
Ukratko, tražena karta je:
Radoznao čitatelj može se zapitati da li bi isti rezultat bio postignut ako je umjesto AB x AC izabrano učiniti AC x AB. Odgovor je potvrdan, ravnina određena s ove tri točke jedinstvena je i ima dva normalna vektora, kao što je prikazano na slici 2.
Što se tiče točke odabrane kao podrijetlo vektora, nema problema s odabirom bilo kojeg od preostala dva.
Reference
- Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. Uredio Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Pronalaženje normale u ravnini. Oporavak od: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Izračun i analitička geometrija. Mc Graw Hill. 616-647.
- Linije i ravnine u R 3. Oporavak od: math.harvard.edu.
- Normalni vektor. Oporavak od mathworld.wolfram.com.