DIREKTORSKI VEKTOR: JEDNADŽBA CRTE, RIJEŠENE VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Direktorov vektor podrazumijeva se onaj koji definira smjer crte, bilo u ravnini ili u prostoru. Stoga se vektor koji je paralelan s linijom može smatrati usmjeravajućim vektorom.

To je moguće zahvaljujući aksiomu euklidske geometrije koji kaže da dvije točke definiraju liniju. Tada orijentirani segment formiran od ove dvije točke također definira direktorski vektor navedene linije.

Slika 1. Direktorski vektor crte. (Vlastita obrada)

S obzirom na točku P koja pripada liniji (L) i danu direktorskom vektoru u toj liniji, linija je potpuno određena.

Jednadžba vektora pravca i redara

Slika 2. Jednadžba vektora pravca i redara. (Vlastita obrada)

S obzirom na točku P koordinata P: (Xo, I) i vektor u direktor linije (L), svaka točka Q koordinata Q: (X, Y) mora zadovoljiti da je vektor PQ paralelan s u. Ovaj zadnji uvjet je zajamčen ako je PQ proporcionalan u:

PQ = t⋅ u

u gornjem izrazu t je parametar koji pripada stvarnim brojevima.

Ako su kartezijanske komponente PQ i u zapisane, gornja jednadžba se piše na sljedeći način:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Ako su komponente vektorske jednakosti izjednačene, dobiva se sljedeći par jednadžbi:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrijska jednadžba pravca

Koordinate X i Y točke koja pripada liniji (L) koja prolazi kroz koordinatnu točku (Xo, Yo) i koja je paralelna s direktorskim vektorom u = (a, b), određuju se dodjeljivanjem stvarnih vrijednosti varijabilnom parametru t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Primjer 1

Da bismo ilustrirali značenje parametrijske jednadžbe crte, uzmemo kao usmjeravajući vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a kao poznata točka pravca tačka

P = (Xo, I) = (1, 5).

Parametrijska jednadžba crte je:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Kako bi ilustrirao značenje ove jednadžbe, prikazana je slika 3, gdje parametar t mijenja svoju vrijednost i točka Q koordinata (X, Y) zauzima različite položaje na liniji.

Slika 3. PQ = t u. (Vlastita obrada)

Crta u vektorskom obliku

Dajući točku P na liniji i njezin direktor vektor u, jednadžba crte može se napisati u vektorskom obliku:

OQ = OP + λ⋅ u

U gornjoj jednadžbi Q je bilo koja točka, ali pripada pravcu, a λ je stvarni broj.

Vektorska jednadžba crte primjenjiva je na bilo koji broj dimenzija, čak se može definirati i hiper-linija.

U trodimenzionalnom slučaju za direktorski vektor u = (a, b, c) i točku P = (Xo, Yo, Zo) koordinate generičke točke Q = (X, Y, Z) koje pripadaju liniji su:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Primjer 2

Ponovno razmotrimo liniju koja ima kao usmjeravajući vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a kao poznata točka pravca tačka

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorska jednadžba navedene linije je:

(X, Y) = (1,5) + λ (2, -1)

Kontinuirani oblik linije i redakcijski vektor

Polazeći od parametričkog oblika, brisanja i izjednačavanja parametra λ, imamo:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Ovo je simetrični oblik jednadžbe pravca. Imajte na umu da su a, b i c komponente direktorskog vektora.

Primjer 3

Razmotrimo liniju koja ima kao usmjeravajući vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a kao poznata točka pravca tačka

P = (Xo, I) = (1, 5). Pronađite njegov simetrični oblik.

Simetrični ili kontinuirani oblik crte je:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Opći oblik jednadžbe pravca

Opći oblik crte u ravnini XY poznat je kao jednadžba koja ima sljedeću strukturu:

A⋅X + B⋅Y = C

Izraz za simetrični oblik može se prepisati da ima opći oblik:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

uspoređujući s općim oblikom crte:

A = b, B = -a i C = b⋅Xo - a⋅Yo

Primjer 3

Pronađite opći oblik pravca čiji je direktorijski vektor u = (2, -1)

i koja prolazi kroz točku P = (1, 5).

Da bismo pronašli opću formu, možemo se poslužiti danim formulama, međutim odabran je alternativni put.

Započinjemo pronalaženjem dvostrukog vektora w direktorskog vektora u, definiranog kao vektor dobiven izmjenom komponenti u i množenjem drugog sa -1:

w = (-1, -2)

dvostruki vektor w odgovara rotacije za 90 ° u smjeru kazaljke sata ravnatelja vektora v.

Skalarno množimo w s (X, Y) i s (Xo, Yo) i postavljamo jednako:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

preostalo konačno:

X + 2Y = 11

Standardni oblik jednadžbe pravca

Poznat je kao standardni oblik crte u ravnini XY, onaj koji ima sljedeću strukturu:

Y = m⋅X + d

gdje m predstavlja nagib i d presretanje s osi Y.

S obzirom na vektor smjera u = (a, b), nagib m je b / a.

Y d je dobiven zamjenom X i Y za poznatu točku Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Ukratko, m = b / a i d = I - (b / a) Xo

Imajte na umu da je nagib m kvocijent između y komponente direktorskog vektora i x njegove komponente.

Primjer 4

Pronađite standardni oblik retka čiji je direktorijski vektor u = (2, -1)

i koja prolazi kroz točku P = (1, 5).

m = -½ i d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Riješene vježbe

-Vježba 1

Pronađite direktorski vektor pravca (L) koji je sjecište ravnine (Π): X - Y + Z = 3 i ravnine (Ω): 2X + Y = 1.

Zatim napišite kontinuirani oblik jednadžbe pravca (L).

Riješenje

Iz jednadžbe ravnine (Ω) zazor Y: Y = 1 -2X

Tada jednadžbu ravnine (Π) zamjenjujemo:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Zatim parametriziramo X, biramo parametrizaciju X = λ

To znači da linija ima vektorsku jednadžbu danu sa:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

što se može prepisati kao:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

s kojim je jasno da je vektor u = (1, -2, -3) usmjeravajući vektor linije (L).

Kontinuirani oblik linije (L) je:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Vježba 2

S obzirom na ravninu 5X + a Y + 4Z = 5

a pravac čija je jednadžba X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Odredite vrijednost takve da su ravnina i linija paralelne.

2. rješenje

Vektor n = (5, a, 4) je vektor normalan za ravninu.

Vektor u = (1, 3, -2) je usmjeravajući vektor pravca.

Ako je linija paralelna s ravninom, tada je n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Reference

1. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
2. Kolman, B. (2006). Linearna algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektori. Oporavak od: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Osnovni pojmovi geometrije. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.